上海市北中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個數(shù)為（）①當(dāng)時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當(dāng)時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．43．已知點、．若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點的個數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．636．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．17．已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知集合，，則（）A． B．C． D．9．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．11．設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．12．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，對任意，有，且，則______.14．我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺：問亭方幾何？”大致意思是：有一個四棱錐下底邊長為二丈，高三丈；現(xiàn)從上面截取一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且四棱臺的上底邊長為六尺，則該正四棱臺的高為________尺，體積是_______立方尺（注：1丈=10尺）.15．在直角坐標(biāo)系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標(biāo)分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點的直角坐標(biāo).20．（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長度21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱與所成的角的大?。唬?）在棱上確定一點，使二面角的平面角的余弦值為.22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.2、C【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當(dāng)時，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時，，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結(jié)論錯誤．故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解析】

設(shè)出點的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題．4、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.5、B【解析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.6、B【解析】

由，進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力.8、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準(zhǔn)線方程為，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．10、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．11、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．12、B【解析】,選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．14、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積.【詳解】如圖所示：正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱臺ABCD-A'B'C'D'，且上底邊長為A'B'=6尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是，故答案為：21；3892.【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了棱臺的體積計算問題，屬于中檔題.15、【解析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標(biāo)系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標(biāo)重復(fù)，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標(biāo)必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達(dá)式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當(dāng)時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當(dāng)時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當(dāng)時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認(rèn)真仔細(xì)．18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求導(dǎo)得，分類討論和，利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當(dāng)時，，此時在上遞增；當(dāng)時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設(shè)，則，令，則，則在單調(diào)遞減，∴，即，則在單調(diào)遞減∴，∴，∴.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論和構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.19、【解析】

將直線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點坐標(biāo),結(jié)合的取值范圍進(jìn)行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標(biāo)方程為，所以直線的普通方程為，又因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程,解得或，因為，所以舍去，故點的直角坐標(biāo)為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.20、【解析】解：解：將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，即，它表示以為圓心，2為半徑圓，………4分直線方程的普通方程為，………8分圓C的圓心到直線l的距離，……………10分故直線被曲線截得的線段長度為．……………14分21、（1）（2）【解析】試題分析：（1）因為AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A為坐標(biāo)原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過A，且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標(biāo)，求出棱AA1與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大小；

（2）設(shè)棱B1C1上的一點P，由向量共線得到P點的坐標(biāo)，然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標(biāo)．試題解析：解（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，.，故與棱所成的角是.（2）為棱中點，設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，，則，故而平面的法向量是，則，解得，即為棱中點，其坐標(biāo)為.點睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的