2020高中數(shù)學(xué) 7 等比數(shù)列的性質(zhì)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)(七)(建議用時：60分鐘）[基礎(chǔ)達標(biāo)練]一、選擇題1．等比數(shù)列｛an}的公比q＝－eq\f(1,4),a1＝eq\r(2），則數(shù)列｛an}是(）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列D［由于公比q＝－eq\f（1,4）〈0，所以數(shù)列｛an}是擺動數(shù)列．]2．等比數(shù)列｛an}中，a2＝4，a7＝eq\f（1，16），則a3a6＋a4a5的值是(）A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1，4）C[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×eq\f（1,16）＝eq\f(1,4),所以a3a6＋a4a5＝eq\f（1，2）。]3．在等比數(shù)列｛an｝中，已知a7·a12＝5,則a8·a9·a10·a11等于()A．10 B．25C．50 D．75B［法一：因為a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5,所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.法二：由已知得a1q6·a1q11＝aeq\o\al（2,1)q17＝5，所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝aeq\o\al（4,1)·q34＝（aeq\o\al(2,1)q17)2＝25.]4．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，則a10＋a11＋a12等于（)A．32 B．16C．12 D．8B[eq\f（a4＋a5＋a6,a1＋a2＋a3)＝q3＝eq\f(4，2）＝2,所以a10＋a11＋a12＝（a1＋a2＋a3）q9＝2·(23）＝24＝16.］5．已知等比數(shù)列｛an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn｝是等差數(shù)列，且a7＝b7，則b5＋b9＝(A．8 B．4C．16 D．12A[因為a3a11＝4a7＝aeq\o\al(2，7)，∴a7＝4(a7＝0不合題意，舍去），故b7＝a7＝4＝eq\f(1,2)（b5＋b9），即b5＋b9＝8.］二、填空題6．在等比數(shù)列｛an}中,各項均為正數(shù)，且a6a10＋a3a5＝41,a4a8＝5，則a4＋eq\r(51)[因為a6a10＝aeq\o\al（2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2，4），所以aeq\o\al(2,8)＋aeq\o\al(2,4)＝41。又因為a4a8＝5,an>0,所以a4＋a8＝eq\r(a4＋a82)＝eq\r（a\o\al(2,4）＋2a4a8＋a\o\al(2，8))＝eq\r(51）。］7．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù),使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．3或27［設(shè)此三數(shù)為3，a，b,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＝3＋b，，a－62＝3b,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝3，b＝3))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，，b＝27。)）所以這個未知數(shù)為3或27.］8．設(shè)x，y,z是實數(shù)，9x，12y,15z成等比數(shù)列．且eq\f(1，x），eq\f(1,y)，eq\f（1，z）成等差數(shù)列，則eq\f（x，z)＋eq\f(z，x)的值是________．eq\f(34，15)［由題意可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（12y2＝9x×15z，,\f（2,y）＝\f(1,x）＋\f（1,z)，））所以y＝eq\f（2xz,x＋z)，所以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（24xz，x＋z）))2＝135xz,化簡得15x2＋15z2＝34xz，兩邊同時除以15xz可得eq\f(x,z)＋eq\f（z，x)＝eq\f（34，15）。]三、解答題9．三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列,這三個數(shù)和為6，求這三個數(shù)．［解]由已知,可設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，則a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2,這三個數(shù)可表示為2－d,2,2＋d，①若2－d為等比中項，則有(2－d）2＝2(2＋d),解之得d＝6，或d＝0（舍去）．此時三個數(shù)為－4,2，8。②若2＋d是等比中項，則有(2＋d）2＝2（2－d）,解之得d＝－6，或d＝0（舍去)．此時三個數(shù)為8,2,－4。③若2為等比中項，則22＝(2＋d)·（2－d)，所以d＝0（舍去)．綜上可求得此三數(shù)為－4，2，8。10．已知{an｝為等比數(shù)列．(1）若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a（2）若an＞0，a5a6＝9,求log3a1＋log3a2＋…＋log3［解](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2，3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝（a3＋a5）2＝25，∵a∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5。(2）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝∴a1a2…a9a10＝(a5a6）5＝95,∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10）＝log395＝10.［能力提升練]1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋1＝an＋2；當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋1＝2an－1，則a12等于（)A．32 B．34C．66 D．64C[依題意，a1，a3，a5,a7，a9,a11構(gòu)成以2為首項,2為公比的等比數(shù)列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66,故選C．]2．已知方程（x2－mx＋2）（x2－nx＋2）＝0的四個根組成以eq\f（1，2)為首項的等比數(shù)列,則eq\f(m,n）等于()A．eq\f（3,2） B．eq\f（3，2）或eq\f（2，3)C．eq\f（2，3) D．以上都不對B[不妨設(shè)eq\f（1，2)是x2－mx＋2＝0的根,則其另一根為4,∴m＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f（9，2），對方程x2－nx＋2＝0,設(shè)其根為x1，x2（x1＜x2），則x1x2＝2,∴等比數(shù)列為eq\f(1，2），x1，x2，4，∴q3＝eq\f(4,\f(1,2))＝8,∴q＝2，∴x1＝1,x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴eq\f（m，n)＝eq\f(9，2×3)＝eq\f(3，2)。若設(shè)eq\f(1，2)是x2－nx＋2＝0的根,同理得n＝eq\f（9，2），m＝3，則eq\f(m,n）＝eq\f（2，3)．］3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2，5)＝a10,2(an＋an＋2）＝5an＋1，則數(shù)列{an｝的通項公式an＝________.2n［∵{an｝單調(diào)遞增,∴q＞0，又aeq\o\al（2,5)＝a10＞0，∴an＞0，q＞1,由條件得2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(an,an＋1）＋\f(an＋2，an＋1）))＝5,即2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，q）＋q))＝5，∴q＝2或q＝eq\f（1，2）（舍）,由aeq\o\al（2，5）＝a10得(a1q4）2＝a1q9，∴a1＝q＝2，故an＝2n。]4．在等比數(shù)列｛an｝中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15，8)，a8a9＝－eq\f（9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8）＋eq\f(1，a9)＋eq\f（1，a10)＝________.－eq\f(5,3)［因為eq\f（1，a7)＋eq\f（1，a10)＝eq\f(a7＋a10,a7a10),eq\f(1,a8）＋eq\f（1，a9）＝eq\f(a8＋a9,a8a9），又a8a9＝a7a10，所以eq\f（1,a7)＋eq\f(1，a8）＋eq\f（1,a9）＋eq\f（1，a10）＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10，a8a9）＝eq\f(\f（15,8),－\f(9,8）)＝－eq\f(5,3）.]5．等比數(shù)列{an｝的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an,求數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(1,bn）))(n≥2,n∈N＋）的前n項和．[解］(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,因為aeq\o\al(2，3）＝9a2a6＝9aeq\o\al(2，4)，所以q2＝eq\f（a\o\al（2,4）,a\o\al（2，3）)＝eq\f（1,9），因為an〉0,所以q〉0,所以q＝eq\f（1，3），因為2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝eq\f（1,3)，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)))n.（2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3＝log3（a1·a2·…·an)＝log3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3)))1＋2＋3＋…＋n＝－eq\f(nn＋1，2）.設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f（1，bn）))的前n項和為Sn，則Sn＝