數(shù)學(xué)-拋物線多選題專題

Word版本見(jiàn)：高考高中資料無(wú)水印無(wú)廣告word群559164877：新高考資料全科總?cè)?32599440；高考數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)探究群562298495多選已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3．則下列說(shuō)法正確的是（）A．拋物線的方程是 B．拋物線的準(zhǔn)線是C．的最小值是 D．線段AB的最小值是6【答案】BC【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，得拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，可得，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤，B正確；由題知直線的斜率存在，，設(shè)，，直線的方程為，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，故線段AB的最小值是4，即D錯(cuò)誤；所以圓Q的半徑為，在等腰中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即C正確，故選BC．多選已知拋物線的焦點(diǎn)為，且，，在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若，則C．若，則的中點(diǎn)到軸距離最小值為2D．若直線過(guò)點(diǎn)，則直線與的斜率之積為【答案】BCD由于點(diǎn)在拋物線上得，故，所以的坐標(biāo)為，A錯(cuò)；對(duì)B選項(xiàng)，得所以，又所以成立，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，由，所以則，所以則的中點(diǎn)到軸距離最小值為2，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)直線方程為，代入拋物線得所以，直線與的斜率之積為，故D正確故選：BCD多選已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為x＝－1，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，B1，P為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()A．線段AB長(zhǎng)度的最小值為4B．∠A1FB1為銳角C．A，O，B1三點(diǎn)共線 D．P的坐標(biāo)可能為(3，－2)解析：拋物線C的方程為y2＝4x，線段AB長(zhǎng)度的最小值為通徑2p＝4，A正確；軸，∴，同理，∴，B錯(cuò)誤；設(shè)直線與拋物線交于AB：，聯(lián)立拋物線：，設(shè)則，，∵，∴，A，O，B1三點(diǎn)共線，C正確；設(shè)AB的中點(diǎn)，則，，取m＝－1時(shí)，P(3，－2)，D正確；答案：ACD多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過(guò)點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；若，則過(guò)點(diǎn)，則的最小值即拋物線通徑的長(zhǎng)，為，即，選項(xiàng)C正確，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)，，分別作準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，，所以，．所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確．故選：BCD多選已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)不重合，且，，則（）A.圓的半徑是4B.圓與直線相切C.拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為4D.拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和的最小值為4由拋物線的定義，得，，準(zhǔn)線以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，所以，即軸，又，所以；因?yàn)?，所以是等邊三角形，即；設(shè)點(diǎn)在第一象限，作的中點(diǎn)，連接，，，則，即，解得：，則拋物線的方程為：，則=3，對(duì)于A選項(xiàng)，有，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，易得圓與直線不相切，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則化簡(jiǎn)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，由拋物線的定義，知，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.多選已知F是拋物線的焦點(diǎn)，，是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且，的斜率為k，且，C，A兩點(diǎn)在x軸上方，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B．四邊形面積最小值為 C． D．若，則直線的斜率ACD多選已知拋物線，其焦點(diǎn)為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，斜率分別為，，則（）A. B.C.過(guò)定點(diǎn) D.的最小值為【答案】AC由已知得，設(shè)，，所以，，將看作的函數(shù)求導(dǎo)可得斜率，所以過(guò)A點(diǎn)的切線方程為，即，①所以，同理過(guò)B點(diǎn)的切線方程為，即，②所以，聯(lián)立①②可得，又因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，則，則，因?yàn)椋訟正確；為不定值，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€AB的方程為，即，所以AB恒過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤.多選已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則拋物線的方程為B．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．線段AB長(zhǎng)度的最小值是D．的取值范圍為BCD由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，對(duì)于A中，由拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為，所以A不正確；對(duì)于B中，分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖所示，則線段的中點(diǎn)為到準(zhǔn)線的距離為根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，所以，即圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，即以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以B正確；設(shè)，由拋物線的定義，可得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，此時(shí)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，綜上可得，線段AB長(zhǎng)度的最小值是，所以C正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，則則點(diǎn)到的距離為，所以，所以，所以D正確.故選：BCD.多選設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交拋物線于點(diǎn)，則（）若，則B．是的中點(diǎn)C．不可能是等邊三角形 D．面積的最小值為【答案】BD拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：，如圖：對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，由拋物線定義知，則，則直線l的斜率，A不正確；直線l：，由得，設(shè)，則，對(duì)于B選項(xiàng)：線段AB中點(diǎn)M，點(diǎn)，線段MD中點(diǎn)E滿足拋物線C的方程，即B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由|ME|=|MF|得，解得，即直線l傾斜角為或，從而有，是等邊三角形，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，點(diǎn)到直線的距離，則面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD[多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若直線過(guò)點(diǎn)，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD】易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；若，則過(guò)點(diǎn)，則的最小值即拋物線通徑的長(zhǎng)，為，即，選項(xiàng)C正確，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)，，分別作準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，，所以，．所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確．故選：BCD多選在平面直角坐標(biāo)系中，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，記為，則（）A.B.以為直徑的圓與直線相切C.若，則D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)作軸，與的交點(diǎn)為，則的軌跡為直線【答案】ACD解：根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率存在，設(shè)為，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程得，所以，，所以，故A選項(xiàng)正確；所以，，以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，故以為直徑的圓與直線相離，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)得，即，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作軸，則方程為，直線方程為，故聯(lián)立方程得，所以點(diǎn)為，即的軌跡為直線，故正確.故選：ACD多選已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別記為，，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值【答案】ABD由得：，則；對(duì)于A，為定值，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，不為定值，C錯(cuò)誤；D，則為定值，D正確.故選：ABD.多選過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于和，其中直線AB垂直于軸（其中，位于軸上方），直線，交于點(diǎn)．則（）A. B.C.QP平分D.的最小值是【答案】ABD設(shè)點(diǎn)設(shè)直線的方程為：將直線方程與拋物線方程聯(lián)系方程組得：，故A正確由題意可知：則，直線的方程為：,直線的方程為：消去得：將代入上式得：，所以，故B正確，但，故C錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故D正確故選：ABD多選已知拋物線，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，設(shè)，，下列說(shuō)法正確的有（）A.B.的最小值為C.D.【答案】ABD【詳解】設(shè)直線的方程為，則由，消去整理，得，因?yàn)橹本€交拋物線與兩點(diǎn)，設(shè)，，則所以，，故A正確.，m=0時(shí)等號(hào)成立，故B正確.，同理，可得，則，故C不正確..,即，故D正確.故選：ABD.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)Q．下列說(shuō)法正確的是()A.B.(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為C.D.若，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】A∵l過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為，∴直線l的方為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，，∴，，又，∴，∴；不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴過(guò)A的切線斜率為，同理可得過(guò)B的切線斜率為，∴，∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，若，則，則D錯(cuò)誤．故選：A．多選設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則（）A．|BF|＝3 B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線C的方程為y2＝6x【答案】BCD根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)閨FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，B正確；∠ABD＝90°，，過(guò)F作FC⊥AB交于C，則C為AB的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為，所以A的橫坐標(biāo)為，，，所以A不正確，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以C正確；拋物線的方程為y2＝6x，所以D正確．故選BCD．多選在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)的直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則()A．y1y2＝eq\f(1,4)B．以AB為直徑的圓與直線eqy＝－\f(1,2)相切C．OA＋OB的最小值eq2\r(,2)D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA交點(diǎn)一定在定直線上【答案】ABD設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，則（）A.線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離為4B.直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，C.直線的傾斜角的取值范圍為D.線段垂直平分線過(guò)某一定點(diǎn)【答案】AD設(shè)，拋物線：，得，所以線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離為，則A正確；若直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，則，所以所以，B錯(cuò)；設(shè)直線的方程為，由得，則，得，又得，故或，故C錯(cuò)；線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為所以線段的垂直平分線方程為又，故化為，過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也成立，故D正確．故選：AD多選已知直線l過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)G，設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.以線段AF為直徑的圓與相切C.GF⊥ABD.當(dāng)時(shí)，直線l的斜率為±【答案】AC對(duì)于A，拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程，設(shè)直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立得，，正確；對(duì)于B，，以線段AF為直徑的圓圓心為，到直線的距離為，所以以線段AF為直徑的圓不與相切，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，點(diǎn)A處的切線方程為，即，點(diǎn)B處的切線方程為，聯(lián)立得G，即G，，，故GF⊥AB，正確；對(duì)于D，，，，解得，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：AC.多選已知拋物線：，過(guò)其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為2 D.面積的最小值為4【答案】ABD對(duì)A，易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項(xiàng)A正確.對(duì)B，設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項(xiàng)B正確.對(duì)C，設(shè)，，其中，.則：，即.代入點(diǎn)，得，同理可得，故：，故.故選項(xiàng)C不正確.對(duì)D，同C，切線方程：；：，代入點(diǎn)有，，故直線的方程為，即，聯(lián)立有，則，故，又到的距離，故，故當(dāng)時(shí)的面積小值為，故D正確；故選：ABD多選拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則平分C.若，則D.若，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線【答案】ABD若，則拋物線，，的焦點(diǎn)為，直線的方程為：，可得，，選項(xiàng)正確；時(shí)，因?yàn)?，所以，又，所以，所以平分，選項(xiàng)B正確；若，則拋物線，，，的焦點(diǎn)為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程求解可得，所以，選項(xiàng)C不正確；若，則拋物線，，，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，由C選項(xiàng)可知，所以，，三點(diǎn)共線，故D正確.多選已知F為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A．拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為eq\f(1,2a)B．已知拋物線C與直線l：4x－3y－2p＝0在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若|EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)|＝λ|EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)|，則λ＝4C．過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形ADBE面積的最小值為8p2D．若過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切l(wèi)1，l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線上【答案】BCD由題意，對(duì)于選項(xiàng)A，拋物線y＝ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，則其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為±eq\f(1,2a)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，F(xiàn)(EQ\F(p,2)，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由EQ\B\lc\{(\a\al(4x－3y－2p＝0,y\S(2)＝2px))聯(lián)立得，8x2－17px＋2p2＝0，解得x1＝2p，x2＝EQ\F(p,8)，因?yàn)閨EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)|＝λ|EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)|，所以λ＝EQ\F(\o\ac(|\S\UP7(→),AF)|,\o\ac(|\S\UP7(→),FB)|)＝EQ\F(x\S\DO(1)＋\F(p,2),x\S\DO(2)＋\F(p,2))＝EQ\F(2p＋\F(p,2),\F(p,8)＋\F(p,2))＝4；故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知拋物線的焦點(diǎn)為F(EQ\F(p,2)，0)，顯然l1，l2的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－EQ\F(p,2))，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由EQ\B\lc\{(\a\al(y＝k\b\bc\((\l(x－\F(p,2))),y\S(2)＝2px))消去x得y2－EQ\F(2p,k)y－p2＝0，則y1＋y2＝EQ\F(2p,k)，y1y2＝－p2，AB＝EQ\R(,1＋\F(1,k\S(2)))|y1－y2|＝EQ\R(,1＋\F(1,k\S(2)))×EQ\R(,\b\bc\((\l(y\S\DO(1)＋y\S\DO(2)))\s\up3(2)－4y\S\DO(1)y\S\DO(2))＝2p(1＋EQ\F(1,k\s\up3(2)))，同理CD＝2p(1＋k2)，所以eqS＝\f(1,2)AB·CD＝2p2(1＋k2)(1＋EQ\F(1,k\s\up3(2)))＝2p2(2＋k2＋EQ\F(1,k\s\up3(2)))≥2p2(2＋2EQ\R(,k\S(2)·\F(1,k\S(2))))＝8p2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝EQ\F(1,k\s\up3(2))，即k＝±1時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由題意知F(EQ\F(p,2)，0)，當(dāng)y＞0時(shí)，拋物線可化為y＝EQ\R(,2px)，則y′＝EQ\R(,2p)EQ\F(1,2\R(,x))，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x－EQ\F(p,2))，由EQ\B\lc\{(\a\al(y＝k\b\bc\((\l(x－\F(p,2))),y\S(2)＝2px))，消去y，整理得4k2x－(4k2p2＋8p)x＋k2p2＝0，所以x1＋x2＝EQ\F(2k\S(2)＋4p,2k\S(2))，x1x2＝EQ\F(p\S(2),4)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2－p)＝k(EQ\F(2k\S(2)＋4p,2k\S(2))－p)＝EQ\F(2p,k)，y1y2＝2pEQ\R(,x\S\DO(1)x\S\DO(2))＝－p2，則直線l1的方程為y－EQ\R(,2px\S\DO(1))＝EQ\R(,2p)EQ\F(1,2\R(,x\S\DO(1)))(x－x1)，即y＝EQ\R(,2p)EQ\F(1,2\R(,x\S\DO(1)))x－EQ\F(3\R(,2),2)EQ\R(,px\S\DO(1))，同理，直線l2的方程為y＝EQ\R(,2p)EQ\F(1,2\R(,x\S\DO(2)))x－EQ\F(3\R(,2),2)EQ\R(,px\S\DO(2))，兩直線聯(lián)立可得x＝－EQ\F(1,\R(,x\S\DO(1)x\S\DO(2)))＝－EQ\F(4,p)，所以則點(diǎn)P在定直線x＝－EQ\F(4,p)上，故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選BCD．多選已知A（a，0），M（3，-2），點(diǎn)P在拋物線上，則（）A.當(dāng)時(shí)，最小值為1B.當(dāng)時(shí)，的最小值為3C.當(dāng)時(shí)，的最小值為4D.當(dāng)時(shí)，的最大值為2【答案】ACD當(dāng)時(shí)，為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，則，故的最小值為1，A正確；設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，此時(shí)，故當(dāng)N，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，C正確；當(dāng)時(shí)，，連接AM，并延長(zhǎng)AM交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)為的最大值，當(dāng)在其他位置時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知均小于，因?yàn)?，故D正確；此時(shí)當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：ACD多選已知P(x，y)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.若z＝x－y，則z的最大值為1B.存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得點(diǎn)P到該定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到該定直線的距離C.P到直線y＝－x－2的距離的最小值為D.的最小值為6【答案】ABD【詳解】由題意知：，即曲線為拋物線的右半部分（包含原點(diǎn)），由拋物線定義可知，B正確；，當(dāng)時(shí)，，A正確；由圖像可知，原點(diǎn)到直線y＝－x－2的距離最小，此時(shí)距離為，C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，易知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，D正確.故選：ABD.多選已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn).下面說(shuō)法中正確的是（）A．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；B．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多兩條；C．對(duì)于拋物線內(nèi)的一點(diǎn)，則；D．若直線垂直于軸，則直線與直線的交點(diǎn)在拋物線上.【答案】ACD【解析】如圖一：過(guò)作準(zhǔn)線于，過(guò)作準(zhǔn)線于，過(guò)中點(diǎn)作準(zhǔn)線于，則，故以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，A正確；點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線包括兩條切線和軸所在直線，B錯(cuò)誤；如圖二：過(guò)作準(zhǔn)線于，過(guò)作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線方程為，，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，C正確；設(shè)，，，，則直線：，：，交點(diǎn)，帶入滿足拋物線方程，故D正確.故選：ACD.多選已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，．則下列選項(xiàng)正確的是（）B.以線段為直徑的圓與直線相離C.當(dāng)時(shí)，D.面積的取值范圍為【答案】BD拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，可得，，，故A錯(cuò)誤；由，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，可得，即有以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，則它與直線相離，故B正確；由，可得，即，又，，解得，，，，所以，故C錯(cuò)誤；由即的導(dǎo)數(shù)為，可得處的切線的方程為，處的切線的方程為，聯(lián)立兩條切線的方程，解得，，即，到的距離為，，則的面積為，當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則面積的取值范圍為，，故D正確．故選：BD．多選已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的最小值為1 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】AC拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.多選坐標(biāo)系中，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，記M到y(tǒng)軸的距離為d．將滿足的M的軌跡記為，且直線與交于相異的兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的為（）A.曲線的方程為 B.直線l過(guò)定點(diǎn)C. D.k可能是整數(shù)【答案】BC】由題意，點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離為d，將滿足的M的軌跡記為，即點(diǎn)M到軸的距離和點(diǎn)到的距離相等，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)軌跡方程為，所以A不正確；由直線，可化為，所以直線必過(guò)定點(diǎn)，所以B正確；由，整理得，可得，所以C正確；又由，即，解得，所以D不正確.故選：BC.多選已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則（）A． B．C． D．點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB對(duì)于A，設(shè)，，由得：，，又線段的中點(diǎn)為，，解得：，A正確；對(duì)于B，在直線上，，B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，又，，，在以為直徑的圓上，D錯(cuò)誤.故選：AB.多選已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若F到準(zhǔn)線的距離為2，則下列說(shuō)法正確的有（）A.周長(zhǎng)的最小值為B.若，則最小值為4C.若直線過(guò)點(diǎn)F，則直線的斜率之積恒為D.若外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為【答案】BD因?yàn)镕到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線，，，準(zhǔn)線，對(duì)于A，過(guò)作，垂足為，則，所以周長(zhǎng)的最小值為，故A不正確；對(duì)于B，若，則弦過(guò)，過(guò)作的垂線，垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為，設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)作，垂足為，則，即最小值為4，故B正確；對(duì)于C，若直線過(guò)點(diǎn)F，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，設(shè)、，則，，所以，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)闉橥饨訄A的弦，所以圓心的橫坐標(biāo)為，因?yàn)橥饨訄A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓的半徑為，所以該圓面積為，故D正確.故選：BD多選阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A、B處的切線交于點(diǎn)P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D.【答案】ABD設(shè)，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設(shè)，，則，，故，，，A項(xiàng)正確；又因?yàn)椋?，故直線PA的斜率為，直線PA的方程為，即，同理可得直線PB的方程為，，所以，B項(xiàng)正確；聯(lián)立，可得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C項(xiàng)錯(cuò)誤；易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，，所以，D項(xiàng)正確．故選：ABD.多選已知為拋物線：的焦點(diǎn).設(shè)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)為，則（）A．的最小值為4 B．直線過(guò)點(diǎn)C．軸 D．線段的中垂線過(guò)定點(diǎn)【答案】ABC由題意可得，準(zhǔn)線，設(shè)，，，所以，不妨設(shè)在軸上方，則，，直線：，直線：，將兩直線聯(lián)立可得，，則，，又，所以的最小值為4，故A正確；，，所以共線，所以直線過(guò)點(diǎn)，故B正確；因?yàn)橹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故軸，故C正確；由點(diǎn)差法可得，，又，的垂直平分線方程為，故線段的中垂線不過(guò)定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC多選已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則拋物線的方程為B．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．線段AB長(zhǎng)度的最小值是D．的取值范圍為BCD由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，對(duì)于A中，