初等數(shù)論 教學(xué)大綱文檔

附錄1：教學(xué)大綱的格式為便于各院系編輯印制課程教學(xué)大綱，建議理論課程、實(shí)驗(yàn)課程、專業(yè)實(shí)習(xí)課程分別采用以下格式：1（小括號(hào)內(nèi)為說(shuō)明文字：初等數(shù)論ElementaryNumberTheory課程編號(hào)（【學(xué)分?jǐn)?shù)】2【學(xué)時(shí)數(shù)】36

課程類別】專業(yè)主干課適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【編寫日期】2006.9讓學(xué)生了解經(jīng)常出現(xiàn)在生活中的自然數(shù)和整數(shù)的一些性質(zhì)，了解初等數(shù)論與算數(shù)的關(guān)的整數(shù)解是很有意義的事情。二、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第一章1.2.3.4.5.第二章1.2.3.4.第三章1.2.3.4.5.6.第四章1.2.3.4.第五章

整數(shù)的可除性（6學(xué)時(shí)）整除的概念帶余數(shù)除法最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)質(zhì)數(shù)算數(shù)基本定理函數(shù)[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用不定方程（4學(xué)時(shí)）二元一次不定方程多元一次不定方程勾股數(shù)費(fèi)馬問(wèn)題的介紹同余（6學(xué)時(shí)）同余的概念及其基本性質(zhì)剩余類及完全剩余系簡(jiǎn)化剩余系與歐拉函數(shù)歐拉定理費(fèi)馬定理及其對(duì)循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用公開密鑰—RSA體制三角和的概念同余式（6學(xué)時(shí)）基本概念及一次同余式孫子定理高次同余式的解數(shù)及解法質(zhì)數(shù)模的同余式二次同余式與平方剩余（8學(xué)時(shí)）必備項(xiàng)：即該項(xiàng)內(nèi)容必須填寫。一般二次同余式單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余勒讓德符號(hào)前節(jié)定理的證明雅可比符號(hào)和數(shù)模的情形把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和把正整數(shù)表成平方和第六章原根與指標(biāo)（6學(xué)時(shí)指數(shù)及其基本性質(zhì)原根存在的條件指標(biāo)及n次剩余2a及合數(shù)模的指標(biāo)組特征函數(shù)（一）總論數(shù)解是很有意義的事情。學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）36主要內(nèi)容：整數(shù)的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式與平方剩余、原根與指標(biāo)教學(xué)要求：有關(guān)定義、定理、性質(zhì)等概念的內(nèi)容按“知道、了解和理解”三個(gè)層次要求；有關(guān)計(jì)算、解法、公式和法則等方法的內(nèi)容按“會(huì)、掌握、熟練掌握”三個(gè)層次要求。重點(diǎn)、難點(diǎn)（可選項(xiàng)2）（如實(shí)驗(yàn)、習(xí)題課、討論課、其它實(shí)踐活動(dòng)：（二）第一章整數(shù)的可除性 學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)主要內(nèi)容：最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)函數(shù)[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用教學(xué)要求：1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法。2、理解素?cái)?shù)與合數(shù)的概念、素?cái)?shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)的素?cái)?shù)分解定理，會(huì)用篩法求素?cái)?shù)。3、了解函數(shù)[x]與{x}的概念、性質(zhì)，n!的素?cái)?shù)分解、組合數(shù)為整數(shù)的性質(zhì)。4、了解抽屜原理的簡(jiǎn)單與一般形式、會(huì)用抽屜原理構(gòu)造一些具有特殊性質(zhì)整數(shù)。重點(diǎn)、難點(diǎn)（可選項(xiàng)）整除的概念[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用（如實(shí)驗(yàn)、習(xí)題課、討論課、其它實(shí)踐活動(dòng)：1學(xué)時(shí)習(xí)題課可選項(xiàng)：即該項(xiàng)內(nèi)容可根據(jù)具體情況確定是否填寫。（三）第二章不定方程 學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)課程實(shí)驗(yàn)學(xué)主要內(nèi)容：二元一次不定方程多元一次不定方程勾股數(shù)費(fèi)馬問(wèn)題的介紹教學(xué)要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程的方法。2重點(diǎn)難點(diǎn)：二元一次不定方程、多元一次不定方程、勾股數(shù)、費(fèi)馬問(wèn)題的介紹其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課（四）第三章同余 學(xué)時(shí)6主要內(nèi)容：同余的概念及其基本性質(zhì)剩余類及完全剩余系簡(jiǎn)化剩余系與歐拉函數(shù)公開密鑰—RSA體制三角和的概念教學(xué)要求：1、理解整數(shù)同余的概念及同余的基本性質(zhì)，熟練掌握整數(shù)具有素因子的條件，會(huì)利用同余簡(jiǎn)單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果。2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟練掌握判斷剩余系的方法，理解歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)。3、了解歐拉定理、Fermat小定理，掌握循環(huán)小數(shù)的判定方法。馬定理及其對(duì)循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用、三角和的概念其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課（五）第四章同余式學(xué)時(shí)：6主要內(nèi)容：基本概念及一次同余式孫子定理高次同余式的解數(shù)及解法質(zhì)數(shù)模的同余式教學(xué)要求：1、理解同余式的定義，掌握一次同余式有解的條件，熟練掌握求解一次同余式。2、理解中國(guó)剩余定理，掌握中國(guó)剩余定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握求解簡(jiǎn)單同余式方程組的方法。3、了解高次同余式解的個(gè)數(shù)的判斷方法，知道解高次同余式的方法，了解模整數(shù)同余式與模素?cái)?shù)同余式的關(guān)系，掌握求簡(jiǎn)單的（3、4次）同余式解的方法。4、了解素?cái)?shù)模同余式的次數(shù)化簡(jiǎn)、Wilson定理，了解同余式的次數(shù)與解的個(gè)數(shù)的關(guān)系，知道n次同余式有n個(gè)解的條件。重點(diǎn)難點(diǎn)：一次同余式、孫子定理、高次同余式、質(zhì)數(shù)模的同余式其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課（六）第五章二次同余式與平方剩余學(xué)時(shí)8主要內(nèi)容：一般二次同余式單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余勒讓德符號(hào)前節(jié)定理的證明雅可比符號(hào)和數(shù)模的情形把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和把正整數(shù)表成平方和教學(xué)要求：1、理解二次同余式的一般形式、模整數(shù)同余與模素?cái)?shù)冪同余的關(guān)系、平方剩余與平方非剩余的概念。2、理解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的歐拉判定法，了解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的個(gè)數(shù)。3、了解Legendre符號(hào)的定義、性質(zhì)及Jacobi符號(hào)的定義、性質(zhì)，熟練掌握利用Legendre和Jacobi符號(hào)判斷同余式的解的存在性。4、掌握非素?cái)?shù)模的二次同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論。重點(diǎn)難點(diǎn)：二次同余式、單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余、勒讓德符號(hào)、雅可比符號(hào)、和數(shù)模的情形、把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和、把正整數(shù)表成平方和其他教學(xué)環(huán)節(jié)：1學(xué)時(shí)習(xí)題課（七）第六章原根與指標(biāo)主要內(nèi)容：指數(shù)及其基本性質(zhì)原根存在的條件指標(biāo)及n次剩余模及合數(shù)模的指標(biāo)組特征函數(shù)

學(xué)時(shí)6教學(xué)要求：1、了解原根的定義、階數(shù)的定義及其基本性質(zhì)。2、會(huì)討論原根存在的條件，掌握求原根的簡(jiǎn)單方法。3、會(huì)利用原根得到整數(shù)簡(jiǎn)化剩余系的方法。4、了解指標(biāo)的定義、性質(zhì)，掌握指標(biāo)的應(yīng)用（討論同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)）。n次剩余、模及合數(shù)模的指標(biāo)組、特征函數(shù)其他教學(xué)環(huán)節(jié)：