動力學教案-第四章功與能

第四章功與定理、功能原理和機械能守恒定律）教學要求*掌握功概念,計算直線運動及簡*掌握質點動能定理和質點系動解決質點在平面內運動時的簡單*綜合運用有關動量、角動量能的各定理、定律解決質點在平面內運動時的簡單教學內容§4- §4- 動能§4- 勢§4- 機械能守恒（學時：3學時教學重變力的功的計算，功與能量的*任意保守力場勢能的計算動能定理、功能原理及機械能有關動量、角動量及功能的定01；4-05；4-10；4-14_15)；4_17)；4_20)；4_21)；4_22)-§4-功功的定義：F所作的功等于F與受力點位移Δr的標積AFFcos

（4-討論功是標量，有0〈θ°力對物體作正功 °力對物體不作功90θ180力對物體作負功關于受力點位若研究對象不是質點，有時受力受力點A移動2S,才能使物移S，計算功時，取那個位移呢？應取受力點A的位移。用力F拉B端，彈簧上各部分的位移是不同的。B點位移最大，A點位移最小為零，計算功時，取那點位移呢？應取受力點B的功是相對量關，因此功的大小也與參考系有關例如運動的車上有一物體m，車上一人F推物體，物體相對車位移了S，問人對物體做了多功為F與受力點位移Δr的標積，Δr在不同的參考系中是不同的。以車為參考系：A1=F·S以地為參考系：A2F（S+ut）可見功的計算與參考系有關bbaFl*物體在某一位置作一元位dr，dA

Fdr

F（4-*F物體由初始位置aL到過程中，力作的功為bAdAa

F（4-3（F沿路L的線積分變力（隨位置變化的函數關系FF(x) AdA

2Fxx為曲線與橫軸包圍的面積—陰影部二合力的多個力同時作用在質點上，合力FFii

(i1

2,,合力的功為bAab

F

a

(Fi)bibb(abi

dr)i合力的功等于各分力做的功的代三功dt時間F作的功dA，則功率為PdAdt由于AF drdt

，代入上式，為P

F功率為力與質點速度的點積。*作功公式t2t2A 1*功的量綱為ML2T–2，單位J(焦功率的量綱為ML2T-1W四一對一對力特指兩個物體間的作用力過程中一對力作功的代數和。一對力的元功之和：dA2

（4-dr12m2m1的相結論一對力的元功等于其中一質受力與該質點對另一質點相對元位點間的相對位移，由于相對位移與參考系的選擇沒有關系，因此一對力作的總功與參考系的選擇無關。一對力做的總b系統(tǒng)中的二質點由初態(tài)時的相對位置a變化到未態(tài)時相對位置b，bA

dA

a

例4.1一繩長為l，小球質量m的單擺豎直懸掛水平力F的作用下，小球由靜止極其緩慢地移動，直至繩與豎方向的夾角為求FlmFG解：因小球極其緩慢地移動，近似所受合力水平力FG矢量FGFT由于合力的切向分

F

sinFmgtanF做AF

Fdrcos0

mgtan

mgl0

sindmgl(1

cos4.2一對質量分別為m1m2的質點，彼此間存在萬有引力作用。設m1固定不動m2在引力作用下由a經某路l運動b。已知m2ab點時距m1分別ra求：萬有引力的功blbldrF解4.2取m1為坐標原點，某時刻m2對m1的位矢為r，Fr方向m2在引力作用下完成元位移dr時，引力dA

F

G

drcosr由圖可

（此dr為位矢大小的增量）dA

G r總功AdA

rbGm1m2drGm1 r1注意：萬有引力功只與質點的初態(tài)末態(tài)的相對位ra

有關與路徑L“?！?-動能定線路徑運ab點速率分別V1V2當質點在某一位置移動一元位F對質點所作的元dAFFcos——

mdvdt以及

代入上dt式則dA

mdrdvdtmvdv

d(2

mv2

Ek

mv22dA

dEk質

(4-動能定理(微分表明：力對質點做的元功等于質點動能的微增量dEk考慮質點a經路L運動bbA b

dr

Ekb(4-—理（積分形式討論（1（4-動能定理是與一段做功的過相聯(lián)系，表明了合功與初、未狀態(tài)化關系，不涉及中間各個瞬功和動能的概惟一確定了動能是運動狀態(tài)函數，是映質點運動狀態(tài)的物理量功是和質點受力并經歷位移這二質點系的能定ii 1mv2ii2 ki2 對系統(tǒng)中第i個質點，應用質點

內

Eki2

對系統(tǒng)中所有質點求i

i

Eki

Eki即

Ek(4-

Ek1—質點系的動能定所有外力對質點系做的功與所有討論A內+A外=0時，Ek2=Ek14.3一鏈l，質m，放鏈條一端a假設鏈條重力作用下由靜止開始下滑求：鏈條全部離開桌面時的速度xxxx解重力做功只體現在懸掛的一段設某時刻懸掛著的一段鏈x，所受重 x

gi

mgxi經過位移元dx，重力的元功為dA

dx

mgxdx當懸掛長度由a變?yōu)閘時，重力的功為lmAdAa lm

gxdx

g(l

a2根據動能定理，外力的功等于鏈A

a2)

1mv22得g(lg(l a2l4.4mB的木板靜止在光滑桌面上，質量為mA的物體放在木B的一端，現給物體A一初始速度

使其B板上滑動（圖(a)，A、B之間，mAmBA滑B的另A、B恰好具有相同的求B板的長度以及B板走過的距(A可視AABAB解解：A向右滑動時，BA一向左的摩擦力，AB一向右的摩擦摩擦力的

mAg

視為一系統(tǒng)，摩擦力是內力因此系統(tǒng)水平方向動量守恒B右端時二者共同速度v

(mA

mB解vv02再對AB系統(tǒng)用質點系動能定（擦力功是一對力的功B不動ABL摩擦力mAgL代入質點系動能定mAgL

(m

)v

12vL 4g再單獨B板應用質點動能定理，B

mAg

x

v2得x

v028g勢—保守力和非保守力

§4-做功與做功的具體路徑無關，只統(tǒng)始末狀態(tài)的相對位置有關沿任一閉合路徑做的功等于零——保守力sF保守

dl（如：重力、彈簧力、萬有引力非保守做功與路徑有關的擦力等二勢重力的功hhacdGbOx地球與質點為一系統(tǒng)，重力是系統(tǒng)一對內力，總功只與相對位移有設地球不動，質點m在重力作a(ha)經路acbb(hb)，在元位移dr做的元功為dA

G

mg

（dh

dr

是元位移dr在方向的分量b重力做的b重力

a

G（4-結論

重力做功只與重力系統(tǒng)(地球與質點)的始末相對位置ha、hb有與做功的具體路徑沒有關系（如質點經虛adb路徑b點）

G

mg

mg

（

AbdaA

(Aadb)彈力的功FFOx彈簧和振子構成的系統(tǒng)，彈力是一對內力設彈簧一端固定，另一端振子受

kx彈力做的元功為dA

b彈力的功為b

aF

12122 21212(4-結論子經歷任何閉合路徑，彈力的功等萬有引力的功由例4.2計算過萬有引力b功——萬有引力是保守力b

b 保守力F沿任一閉合路徑做功等于sF保守

dl（保守力的環(huán)流 環(huán)路積分等系統(tǒng)的勢能（EP功是物體(系統(tǒng))在運動過程中能量分析保守力做功，認識另一種形式 bb

a

G

b

dx1kx21kx彈 a b

m1m2

aF

其中：第一項與系統(tǒng)初態(tài)時的相對第二項與系統(tǒng)末態(tài)時的相對位(hb、xb、rb因此，保守力做功改變的是與系統(tǒng)定義勢能或勢函數，用

表示與初態(tài)位形相關的勢能用

EPa示，與末態(tài)位形相關的勢能

EPb表示b上面三式就可以歸納b

aF

EPa(4--系統(tǒng)的勢能定對保守內力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或勢能增說明相互作用的形式，又取決于物體之間的相對位置，因此勢能是系統(tǒng)共有的能量，是一種相互作用能，不為單個物體所具有。選擇無關，因此勢能差具有絕對意三勢能能曲OhO(a)重力勢能曲 (b)彈性勢重力勢

為勢能零點，質量m的物體重力勢能為EP(h)

0Ghhh

mgdh

mgh

h0

0EP

*曲圖(a過原點的直彈性勢x0

為勢能簧伸長(或縮)x時，彈性勢EP(x)

0 x彈12xx彈12

12

2x0

0，則EP(x)

1kx2（以彈簧的原F彈0，為能零點*曲圖(b3勢兩質點構成的(萬有)引力系統(tǒng)，其相對位置r表示。以二質點相距

r0

0)為勢能零點，引力勢能為 (r) 0 dr

r0G r

r r

r

r0無窮遠為零EP(r)

（引力勢能是一負值*圖(c曲線的一可見

EP（一般認為二質點相距較遠時系統(tǒng)r

EP

，一個合理的結果，因此

0注意：一復雜的系統(tǒng)可能包含不止如一個豎直懸掛的彈簧振子就既有把各種勢能的總和定義為系統(tǒng)的勢Aab

EPa

(EPb

EPa即：在一個過程中系統(tǒng)內保守力的四由勢函數求保守FlFd按勢能計算的公式：勢能(勢函數)是保守力對空間的積分，反之，保守力是勢能(勢函數)對空間的導數。設質點在保F作用下沿l方向元位移dl（如圖，按勢能定dA

F

F

dl

dl量

是保守Fl方向的dEP

為勢能的微增量dl移到等式右邊

dEPdl

（4-

dEP 為勢能(勢函數)對dl方向的一階導數，表示勢能沿l方表明：保守力在某方向的分量等于負號表示保守力的方向指向勢能減少的方向*EP

h為參重G

dEP

*EP(x)

1kx2

x軸為參

彈F(x)

dEP

(x)

*EP(r)

(r參考方引F(r)

dEP(r)

r2在一般情況下，勢函數為空間位置的多元函 ，例如EP(x

yzl別等于x,y,z,則由上面結論

EP

EP

FFx

jFz

i

j i

j

kEP保守力F等于其勢函數梯度的值*i

j —梯度算符(矢量梯

例4.5原子間的相互作用力是保守已知某雙原子分子的原子間相互的勢函數為EP(r)

r6、為常量，r為兩原間的距離求：原子間作用力的函數式及原 已知勢函數求保守力可(4-13F(r)

dEP(r)

6 r7離，可F=0：

126 r r -§4-4機械能守恒定按質點系的動能定理k2外內 k2而內力分為保守力和非保守力，內力的功相應分為保守力的A內保和非保守力A內非保。由及

內保

(EP

EP1動能和勢能都是系統(tǒng)因機械運動而 EEk EP

(Ek

EP2

(Ek1E2（4-質點系功能原理：外力與非保守內力做功之和等于質點系機械能的增二機械能守恒定如果外力與非保守內力不做功或做功之和等的機械能守恒若

內非保則：定

E2

?！獧C械能守在機械能守恒的前提下，系統(tǒng)的動能和勢能可互相轉化，各組成部能量可互相轉移，但它們的總和不例4.6下圖勁度系k的輕彈簧下端固定，沿斜面放置，斜面傾角。質m物體從與彈簧上端相距為a位置以初

沿斜面下滑并使彈簧最多壓b求：物體與斜面之間的摩擦因數mmab解解將物體、彈簧、地球視為一只有摩擦Fk為非保守內力且做等于系統(tǒng)機械能的增量，

b)

kb2

2 以及

cos1

mg(ab)n

12mg(ab)例 兩質量為m1和m2的木板，用勁k的輕彈面上（下圖問：至少要用多大的力F壓縮上面木板，才能在該力撤去后因上面的下面的木板提起FFxOG1 F后彈簧壓縮m1處于平衡(圖(a))，F

會向上運動，F足大以至彈力F1足夠大，m1上升至彈由壓縮轉為拉伸將m2提離地面將m1、m2、彈簧和地球視為一個m2恰好提離地面時為末態(tài)，初態(tài)動能均設彈簧原長時為坐標原點和勢能零點(圖(b))，機械能守恒，為

12

m1gx0

12（縮量

為壓F作用時彈簧的由圖4-15(a)可

kx0（式中xm2恰好能提離地的伸長量由圖4-15(c)可知kx

m2

聯(lián)立求解方程(1)、(2)、(3)式F(1m2)g

提離地面的最小壓力為

m2 輕彈簧下端固定在地面，上端連接一質量M的木板，靜止不動，一質量m0的彈性小球從距木板h高度處以水

平拋，落在木板上與木板性碰撞，設木板沒有左右擺動求碰后彈簧對地面的最大作hmx初動解（分過程討論*m0平拋到達木板時，其水平和豎直vx

2ghvy 2gh*小球與木板的彈性碰撞過程因碰后木板沒有左右擺動，小球速度不變因豎直方向動量守恒ymy設碰后小球速度豎直分量為V，木板速度ymym0vy

因彈性碰撞，系統(tǒng)動能不變12

(vx2

vy2)

2

(vx2