江西省臨川市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：12．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平面四邊形ACBD中，ABBC，AB 3，BC2，△ABD為等邊三角形，現(xiàn)將△ABD沿AB翻折，使點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P，且PBBC，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（ ）A．8 B．C．D．8 23f(xf(xf'(xln(1xln(1x)恒成立，則a的取值范圍是（ ）A．(3,1) B．(4,1) C．(3,0)

2 x[11f(ax1)f(x1)1x2 62D．(4,0)若不相等的非零實(shí)數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，且x，y，z成等比數(shù)列，則xy（ ）zA．52

7B．C．2 D．2已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（ ）﹣2

﹣1

C．2 D．405．命題x(0,1),e0

lnx”的否定是（ ）A．x(0,1),exlnx

x0

(0,1),ex

lnx0x0

(0,1),ex

lnx0

x0

(0,1),ex0

lnx00已知F,F是雙曲線C:x2y 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)02

x軸的直線與CB兩點(diǎn)，若1 2 a2 1AB 2ABF2

的內(nèi)切圓半徑為（ ） 333x

3 3

2 33A{xZA．{﹣1，0，1，2，3}

x

0}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，則A∪B＝（ ）B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}8A|x22x15B|0x，則AR

B等于( )A．5,7

B．3,7

C．3,7 D．5,7下列與A．2kπ＋45°(k∈Z)

的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的( )B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm，則該幾何體的體積（單位：cm3）為（ ）16 20 22A． B．6 C． D．3 3 3x2 y2已知點(diǎn)P是雙曲線C: a2 b21

0,b0,c a2b2P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為c2，則雙曲線C的離心率為（ ）42

52

3

D．2 12．設(shè)全集U=R，集合M x|

xNx|2x}，則M

N（ ）UA．B．0,1 C．0,1

D．,1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。π 4 π π13（5分）已知cos ) ，且( ,0)，則2cos 2sin( )的值 ．2 5 2 4AB＝6，O為圓心，CA、B的任意一點(diǎn)，若POC上的動(dòng)點(diǎn)，則PA

PC的最小值為 .李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元65元盒、80元盒、90元/120x80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為 ．函數(shù)fxcos3xπ在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．6 6 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在ABC中，角C的對邊分別為c，且滿足asinBbcosAc，線段BC的中點(diǎn)D.（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）已知sinC 10，求ADB的大小.1018（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改800100.5.0以上的人數(shù)；0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？在（2）中調(diào)查的100882人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為XX.nadbc2附：K2abcdacbdK2k0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919（12分）如圖，在直三棱柱ABCABC中，CACB，點(diǎn)Q分別為AB，CC

的中點(diǎn).求證：1 1 1 1 1PQ//ABC；PQABBA.1 120（12分）已知函數(shù)fx1xalnx.x（1）fx在a的取值范圍：若3

a

5

fx

的兩個(gè)極值點(diǎn)為

x

fx記 1

fx2

Mm2 2的值.

1 2 xx1 221（12分）已知數(shù)列an

nn項(xiàng)和，對于任意的nN*滿足關(guān)系式2Sn

3an

3.求數(shù)列n設(shè)數(shù)列

的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式是b 1

n項(xiàng)和為

，求證：對于任意的正數(shù)n，總有T

3.n n loga3 n

log3

a n nn2422（10分）如圖，平面四邊形ABCD 為直角梯形，AD/BC，ADC90，ABAD2BC2，ABD繞4著AD翻折到PAD.M為PC上一點(diǎn)，且PMMC，當(dāng)平面DMB 時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；當(dāng)平面PAD 與平面PBC 所成的銳二面角大小為30 時(shí)，求PC與平面ABCD 所成角的正弦.參考答案125601、A【解析】將三棱錐PABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心O應(yīng)在棱柱上下底面三形的外心連線上，在Rt OBE中，計(jì)算半徑OB即可.【詳解】ABBCPBBCBCPAB．將三棱錐PABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心O應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記△ABP的外心為E，由△ABD為等邊三角形，2可得BE1．又OEBC1，故在Rt OBE中，OB ，22此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8．故選：A【點(diǎn)睛】2、A【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得fx,fx，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】f(xf'(x是偶函數(shù)f(x)f'(x)ln(1x)ln(1x)

2，1x2，f(xf'(xln(1xln(1x

21x2，f(xf'(xln(1xln(1x

21x2，f(xln(1xln(1xf'(x

2 .1x2f(x的定義域?yàn)?1,1)f'(x

2 0，1x2f(x在(1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)又在(0,1)上，f(x)f(0)0，所以f(x)為偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增.由f(axf(x，ax1x1 11可得1ax11，對x[ , ]恒成立， 62 2ax11x 1 a1 x 11則 2 ， 2

對x[ , ]恒成立， a0 x3a1得4a0，

a0 62 xa的取值范圍是(3,1).A.【點(diǎn)睛】3、A【解析】y

xzz2xyyx2xz2z20,x

2y

z，代入即得解【詳解】

2 z 2由x，y，z成等差數(shù)列，y

xz，又x，z，y成等比數(shù)列，2z22

xyyx2xz2z20，x2

x20

x1

x2所以 z z

，解得 或 ，z z因?yàn)閤，y，z是不相等的非零實(shí)數(shù)，x2yz，z 2xy所以

12

5 ．z 2 2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、C【解析】根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)（，（）與點(diǎn)（﹣，（﹣）滿足﹣）＝，故它們關(guān)于點(diǎn)（2，1）f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．5、D【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】x(0,1)exlnxx0

(0,1)，ex．0D．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.6、B【解析】首先由AB 解.

2求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求【詳解】由題意b1xc代入雙曲線C的方程y12a a

2,a 2,c 3,由AF AF2

BF2

BF1

2a2 2,ABF2

的周長為AF BF2

|AB2aAF1

2aBF1

|AB4a2|AB6 2,

的內(nèi)切圓的半徑為r則16 2r

12 3 2,r 3,2 2 2 3故選：B【點(diǎn)睛】7、A【解析】解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】A{xZ

3xx

0}{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故選：A．【點(diǎn)睛】8、B【解析】解不等式確定集合A，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】A|x22x15{x|x3x5}，∴A{x|3x5}，R( A)R

B{x|3x7}．B.【點(diǎn)睛】9、C【解析】利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成k＋ ∈Z，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】（1）.(2)與終邊相同的角=k3600+10、D【解析】

其中kz.根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖

ACE,1 1 1所以該幾何體的體積為：VV

V 2221122122,ABCDABCD

BACE

3 2 3故選：D【點(diǎn)睛】

1111

1 11本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.11、A【解析】P的坐標(biāo)為(mn，代入橢圓方程可得b2m2a2n2a2b2P到兩條漸近線的距離，由距離之1積為c2，并結(jié)合b2m2a2n2a2b2，可得到abc.4【詳解】P

(mn

m2n2

1，得b2m2a2n2a2b2.a2 b2雙曲線的兩條漸近線方程為bxay0和bxay0，則點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為bmana2b2

bmana2b2

b2m2a2n2a2b2

a2b2，c2 a2 所以 c2，則4a2(c2 a2) c4，

c22a2

0，故c22a2

0，即e2c

2，所以e 2.2c2 4 a22A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造a,b,c12、A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】M{x|x2}x|0xNx|2x}x|}，NN|UM故選：A．【點(diǎn)睛】

x0，N|U0x[N|U本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。113、25【解析】由于π)cos(πsin4，且(π,0)，則cos

3，得sin22sincos24，1sin21sin2π 則2cos2 2sin(2 )1cos2 2(sincos π

cos2

πsin

1sin21．149.2【解析】

4 4 4 25 POPC

3 9.PAPBPC2POPC2POPC2(

)22( )22 2 215、130. 15.【解析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得x的最大值.【詳解】x10,需要支付8010130元.y元,y120元時(shí)y80%,符合要求.y120元時(shí)有yx80%y70%恒成立即8yx7yx

yxy

15元.8 8所以x的最大值為15.

min【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).16、3【解析】求出3x6

的范圍，再由函數(shù)值為零，得到3x6

的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】00x3x6 63x

π6 3x

3x 由題可知

，或 解得x

6 2,4,或7

6 2 6 29 9 9故有3個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（Ⅰ）B4

（Ⅱ）ADB.4.【解析】（Ⅰ）由正弦定理邊化角，再結(jié)合sinCsinAB轉(zhuǎn)化即可求解；（Ⅱ）可設(shè)AC1，由c

bb

a52，再由余弦定理a2c22accosBb2解得a2 ，52sinC sinB 22222 2cos4對△ABD中，由余弦定理有AD2222 2cos4解【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得sinAsinBsinBcosAsinC.而sinCsinABsinABsinAcosBcosAsinB.由以上兩式得

sinAsinBsinAcosB，即sinAsinBcosB0.由于sinA0，所以sinBcosB，.又由于B0,，得B.4（Ⅱ）設(shè)c1，在ABC 中，由正弦定理有c

b5 b .5sinC sinB22 22由余弦定理有a2c22accosBb2，整理得a2 a 0，2由于a0，所以a2 a .22 2 2 222cos4所以AB2AD2BD2，所以BAD，ADB.

1.2 4【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，屬于中檔題18（1）144（2）0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系詳見解析【解析】由題意可計(jì)算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.05.0以上的的人數(shù)；由題中數(shù)據(jù)計(jì)算k2的值，對照臨界值表可得答案；826人，可得X0，1，2.【詳解】解3727100372763（人）所以后三組頻數(shù)依次為24，21，18，所以視力在5.0以上的頻率為0.18，5.0以上的的人數(shù)約為8000.18144人1004418326

150（2）k2 7.8957.879，50507624 190.005.調(diào)查的10024人，從中抽取8

1，這8人中不做眼保健操和堅(jiān)持做眼26人，X0，1，2，

24 3 C0C2 1

C1C1

12 3

C2C0 15P X0 6

2 ,P X1 6 2 ,P X2

6 2 ，C2gX的分布列

28 C28

28 7 C2 288X012P128371528XEX012P128371528

1 121

152

1.5.【點(diǎn)睛】

28 28 28本題主要考查頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢測及離散型隨機(jī)變量的期望與方差等相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力，屬于中檔題.19（1）見解析（2）見解析【解析】1（）取AB的中點(diǎn)，連結(jié)PD，CD.根據(jù)線面平行的判定定理即得（）先證1

CD，CDABABBB1ABBA11 1

B，由（1）得CDPQ.【詳解】取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD .

中，P，D分別為

，AB中點(diǎn)，1PD∥

1，且PD

1ABCAB

CC

BB，

BB

Q為棱

的中點(diǎn)，1 2 11

1 1 1

1 1 1 1 1CQ∥BB1

，且CQ

BB.212PD∥CQ，PDCQ.PDCQ.又CDABCPQABC，ABC.ABCAB

ABC.又CDABC，

CD.

CACB，D為AB中點(diǎn)，CDAB.

1 1 1 1 1由（1）知CDPQ，BB1

PQ，ABPQ.AB BBB1又 ，AB 平面AB BBB11 1

，BB1

平面ABBA，1 1PQABBA.1 1【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.ln220（）a2）3【解析】（1）fx11ax2ax1.fx單調(diào)，轉(zhuǎn)化為

x2x2

10對x0恒成立求解x2 x x2（2）由（1）x

x2ax10

x，令t

a a24 4

2.根據(jù)2x1 2 1 x

x a a24 a a2423 2 5

1 1 f

f

f

fx

t1

t1a

，確定

t ，將 1

2 轉(zhuǎn)化為 1

2 2 lnt

令ht lnt，2 2 4 2

xx1 2

xx1 2

t1 t1用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】（1）fx的定義域?yàn)?，fx

1a

x2ax1.x2 x x2fxx2ax10x0恒成立，1ax1

x0，恒成立，xx

2x1時(shí)取等號(hào)，xa2；（2）由（1）xx1 2

x2ax10的兩個(gè)根.x

a，x

1

x，1 2 12 1 2a a24a a2a a24a a24x.4.a242x aa2423 2因?yàn)?a3 2

5ta1

t1.2 2 4 2fx1

fx2

1 1

lnx1

lnx2xx xx xx1 2 12 1 22xx1 2

lnx1x1

ln2x22

2t1lnt.t1h

t1

t12lntlnt，則ht t .t1 a2fx1x2lnx在上為減函數(shù).x所以當(dāng)t1m(x)1t2lntm0.tht0，所以h在上為減函數(shù).3 2所以當(dāng) a3 2

5Mmh1h1

ln2.4 2 32 2 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.21（1）an

3n（2）證明見解析【解析】根據(jù)公式an

S n

n1

得到an

3an1

n2，計(jì)算得到答案.

11

1 ，根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到T

111 1

1 ，得到證明.n n 2n n2 2 2 n1 n2【詳解】（1）由已知得22Sn

S

3an

，故an

3an1

n2.故數(shù)列a為等比數(shù)列，且公比q3.nn12a1

3.a3a 3a 3，a11

3n.（2）b 1

1

11 1 .n

aloga

n2 2n n23 n 3

n2T bb

b

1 1 1 1 1 1

1

1 n 1 2

2 3 2 4 3 5

n n2111 1

1 3.2 2 n1 n2 42【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.