統(tǒng)計學第四章參數(shù)估計課件

案例：食品的包裝質量檢查某食品公司生產的某規(guī)格袋裝食品，產量基本保持穩(wěn)定，規(guī)定每袋食品合格重量不低于100g。為對產品包裝質量進行檢測，該公司質檢部門采用抽樣技術：每天抽取一定數(shù)量的食品，檢測袋裝重量是否符合要求?，F(xiàn)某一天生產的一批8000袋食品中采用不重復抽樣，隨機抽取了25袋檢查。通過樣本觀測分析發(fā)現(xiàn)，平均每袋重量105.36g，檢測人員以95%的把握程度確信，該整批食品重量在101.45~109.27g之間，且估計誤差不超過4g。1第4章參數(shù)估計學習目標學習要求：理解——參數(shù)估計的兩種方法

——2類抽樣誤差的實質及計量掌握——參數(shù)估計的優(yōu)良評判標準

——單一總體參數(shù)的區(qū)間估計方法

——樣本容量的確定學習重點：估計量的評判標準單一總體參數(shù)的區(qū)間估計學習難點：單一總體參數(shù)的區(qū)間估計2第4章參數(shù)估計第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題二、參數(shù)估計的兩種方法一、估計量與估計值第四章參數(shù)估計

(Parameterestimation）3第4章參數(shù)估計（一）總體參數(shù)的點估計（pointestimation）1、含義：利用樣本計算的估計值直接作為對應總體參數(shù)的取值。例如:用樣本均值或中位數(shù)作為總體均值的估計值，用樣本比率作為總體比率的估計值，用修正樣本方差作為總體方差的估計值。2、實質：抽樣分布曲線上的一個確定數(shù)值（點）該估計值能否直接作為真實的參數(shù)使用？二、參數(shù)估計的兩種方法5第4章參數(shù)估計3、估計量的優(yōu)良性準則（點估計）（1）無偏性（unbiasedness）：估計量抽樣分布的數(shù)學期望（均值）等于被估計的總體參數(shù)。即：可以證明，樣本均值、樣本比率、修正樣本方差分別是總體均值、總體比率、總體方差的無偏點估計。無偏有偏AB●6第4章參數(shù)估計樣本均值的分布樣本中位數(shù)的分布例：與正態(tài)分布的中位數(shù)相比，樣本均值是有效估計量（2）有效性（efficiency）基于相同樣本容量計算的兩個無偏估計量，方差較小的那個為有效估計量。即：若兩個無偏估計量，存在，則前者為有效估計量?！?第4章參數(shù)估計（3）相合性（一致性）（consistency）樣本容量越大，估計值越接近被估計的參數(shù)。AB小樣本容量大樣本容量P(X)x8第4章參數(shù)估計（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計（intervalestimation）1、含義：在對參數(shù)點估計的基礎上，以一定的置信水平估計出包含估計量與參數(shù)二者誤差信息的區(qū)間。2、置信水平（confidencelevel）：表明估計量和總體參數(shù)的誤差不超過一定范圍的概率，記為1-α。顯著性水平α形式：[估計值-允許出現(xiàn)的誤差，估計值+允許出現(xiàn)的誤差]10第4章參數(shù)估計0常用Z與置信水平的對應關系（雙邊顯著性水平α）Z=1，P

=0.6827;Z=1.64，P=0.9；Z=1.96，P=0.95;Z=2，P=0.9545;Z=2.58，P=0.99;

Z=3，P=0.99731-α既定，重復抽樣12第4章參數(shù)估計4、區(qū)間估計的基本思路：思路：利用實際抽樣資料，計算出待估總體參數(shù)值在給定置信水平下的上限和下限，即參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍。對于總體參數(shù)θ，計算出樣本的兩個估計值θ1和θ2，使被估計指標θ落在區(qū)間[θ1，θ2]內的概率為1-α，即P（θ1≤θ≤θ2)=1一α。則稱區(qū)間[θ1，θ2]為總體指標θ的置信區(qū)間，其估計置信水平為1一α，稱α為顯著性水平，θ1是置信下限，θ2是置信上限。14第4章參數(shù)估計一、抽樣誤差（Samplingerror）（一）有關誤差的概念1、抽樣誤差：是指由于隨機抽樣的偶然因素使抽樣估計值與總體參數(shù)之間存在的偏差。2、分類：抽樣平均誤差：反映抽樣誤差一般水平的指標。

實質：估計量抽樣分布的標準差抽樣允許誤差：極限誤差，抽樣允許的最大誤差

實質：估計區(qū)間的半徑第二節(jié)單一總體參數(shù)的區(qū)間估計15第4章參數(shù)估計（二）抽樣平均誤差(Meansamplingerror)不重復抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關：重復抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差與總體離散程度以及樣本容量大小兩個因素有關：1、樣本均值的抽樣平均誤差16第4章參數(shù)估計2、樣本比率p的抽樣平均誤差在不重復抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關：在重復抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差與總體的離散程度以及樣本容量大小兩個因素有關：17第4章參數(shù)估計3、抽樣平均誤差所反映的內容可通過調整樣本單位數(shù)來控制抽樣平均誤差。重復抽樣條件下，樣本均值（比率）分布的平均誤差僅為總體標準差的，不重復抽樣時誤差更小。4、影響抽樣平均誤差大小的因素：1）總體離散程度2）樣本容量n3）抽樣方法4）抽樣調查的組織形式18第4章參數(shù)估計（三）抽樣允許誤差(Ultimatesamplingerror)1、含義：進行區(qū)間估計時，對應于一定置信水平下允許出現(xiàn)的最大誤差范圍。稱為總體均值的估計區(qū)間或置信區(qū)間。稱為總體比率的估計區(qū)間或置信區(qū)間。2、抽樣允許誤差的表示：20第4章參數(shù)估計（四）抽樣允許誤差與抽樣平均誤差的關系以樣本均值服從正態(tài)分布的重復抽樣為例，正態(tài)標準化后，滿足：Z021第4章參數(shù)估計（1）已知允許誤差，估計給定誤差下的置信區(qū)間抽取樣本，代入樣本估計量函數(shù)（如均值或比率），計算結果作為對應總體參數(shù)的點估計值。若總體標準差已知，進入下一步。否則，計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差。將抽樣極限誤差除以抽樣平均誤差求Z值，查《標準正態(tài)分布概率表》求出相應的置信水平。根據(jù)給定的抽樣極限誤差，構造估計參數(shù)的置信區(qū)間。給出結論。以？%的置信水平，估計某參數(shù)取值在？——？之間。23第4章參數(shù)估計例2：對某型號電子元件進行耐用性能檢查，抽查的資料分組列表如下，要求耐用時數(shù)的允許誤差為10.5小時，試估計該批電子元件的平均耐用時數(shù)。總體均值的區(qū)間估計（已知抽樣允許誤差）—12251175112510751025975925875組中值x100合計11200以上31150-120091100-1150431050-1100351000-10506950-10002900-9501900以下元件數(shù)f耐用時間（小時）1055501225352510125462253587558501850875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f24第4章參數(shù)估計抽取樣本，代入樣本估計量函數(shù)（均值或比率），計算結果作為相應總體參數(shù)的點估計值。若總體標準差已知，進入下一步。否則，

計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的置信水平,反查標準正態(tài)分布概率表得到Z值。用抽樣平均誤差乘Z值計算抽樣極限誤差，估計參數(shù)的置信區(qū)間。得出結論。以？%的置信水平，估計某參數(shù)取值在？——？之間。（2）已知置信水平，估計給定置信下的區(qū)間26第4章參數(shù)估計例3：某紗廠某時期內生產10萬個單位的紗，按隨機不重復抽樣方式抽取2000個單位檢驗，結果合格率為95%。試以95%的把握程度，估計該批紗合格品率及合格品數(shù)量的區(qū)間范圍。解：已知合格率區(qū)間下限：合格率區(qū)間上限：因此以95%的置信水平估計該批紗合格率在94.06%和95.94%之間，合格品數(shù)量在94060—95940個之間。合格品數(shù)量上限：合格品數(shù)量下限：樣本比率的抽樣平均誤差：由得Zα/2=1.9627第4章參數(shù)估計練習：1、某大學從該校學生中隨機抽取100人，調查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95％的置信水平估計該大學全體學生平均每天參加體育鍛煉的時間（假設總體標準差為6分鐘）。分析：大樣本，總體容量未知，當做重復抽樣來處理，總體方差已知，所以直接構造正態(tài)分布來估計即可。2、一家保險公司收集到36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡數(shù)據(jù)，試確立投保人年齡90％的置信區(qū)間。分析：總體分布和容量未知，方差也未知，在大樣本條件下，用樣本方差估計總體方差，采用重復抽樣條件下的正態(tài)分布估計即可。28第4章參數(shù)估計2、小樣本條件下，一般只討論均值估計（1）總體若服從正態(tài)分布，方差已知，則構造估計量的正態(tài)分布進行參數(shù)估計，過程類似于大樣本條件。例4：一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，按規(guī)定每袋的重量不低于100g。為對產品質量進行監(jiān)測，企業(yè)質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。已知產品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。現(xiàn)從某天生產的一批食品中隨機抽取25袋，測得每袋重量。試估計該批產品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95％。30第4章參數(shù)估計解：總體服從正態(tài)分布且標準差已知，考慮到總體容量未知，按重復抽樣來處理，所以直接構造正態(tài)分布來估計即可。計算樣本均值的抽樣平均誤差：因此可以作如下估計，即以95%的置信水平，估計該批食品的平均包裝重量在101.44-109.28克之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構造總體均值的估計區(qū)間：由置信水平為95%，得知下限為上限為計算區(qū)間估計的允許誤差：31第4章參數(shù)估計2、小樣本條件下（2）總體若服從正態(tài)分布，方差未知，則構造估計量的t分布進行參數(shù)估計，自由度為（n-1)t032第4章參數(shù)估計正態(tài)分布的小樣本條件下，均值區(qū)間估計步驟：抽取樣本，代入均值估計量函數(shù)，作為總體均值的點估計值。計算樣本標準差。根據(jù)給定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，確定t值。估計參數(shù)的置信區(qū)間。給出結論。以？%的置信水平，估計總體均值在？—？之間例5：例4中假設總體標準差未知，估計總體平均每包重量的95%的置信區(qū)間33第4章參數(shù)估計解：總體服從正態(tài)分布但標準差未知，n=25，在小樣本條件下構造t分布來估計總體均值。計算樣本均值的抽樣平均誤差：因此可以作如下估計，即以95%的置信水平，估計該批食品的平均包裝重量在101.38-109.34克之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構造總體均值的估計區(qū)間：由置信水平為95%，自由度df=n-1=24，得下限為上限為計算區(qū)間估計的允許誤差：34第4章參數(shù)估計練習：3、從一個正態(tài)總體中抽取一個容量為16的隨機樣本，計算其均值為50，標準差為8。請建立總體均值的95%的置信區(qū)間。分析：總體方差未知的正態(tài)分布的小樣本參數(shù)估計，利用t分布4、某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產品中隨機抽取９件，測得其平均長度為2.14mm。已知總體標準差

=0.15mm，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。35第4章參數(shù)估計根據(jù)置信水平和自由度，推算

分位數(shù)。（二）總體方差的區(qū)間估計抽取樣本，計算修正樣本方差，作為總體方差的點估計值。給出估計區(qū)間0

給出結論。36第4章參數(shù)估計解：依據(jù)已知計算修正樣本方差：因此可以作如下估計，即以概率為95%的保證程度，估計該批電子元件耐用時數(shù)的標準差在45.81—60.61小時之間。根據(jù)顯著性水平例2【續(xù)】：試以95%的置信水平估計該批電子元件耐用時數(shù)的標準差。和自由度查卡方分布表得：代入置信區(qū)間公式計算出總體方差的估計區(qū)間：總體標準差的相應估計區(qū)間：