概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性

（1）定義：D（X）=1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若k是常數(shù),則D(kX)=k2D(X);3.若X1與X2

獨立，則D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);復習：方差（2）計算：方法2:方法1：由定義（3）性質(zhì)：一般地：D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)

二項分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正態(tài)分布:(5)均勻分布:D(X)=D(X)=(6)指數(shù)分布（4）常見分布的方差：(5)切比雪夫不等式設(shè)r.vX具有均值E(X)=,方差D(X)=2，則對>0,有不等式概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!證明:根據(jù)數(shù)學期望與方差的性質(zhì):證明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：

設(shè)E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由

r.vX構(gòu)造r.vY的過程叫做對r.vX標準化。注意:更重要的是要知道如何將一個隨機變量標準化.概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!§3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

Covarianceandcorrelation

coefficient概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!一、協(xié)方差1、定義:設(shè)(X,Y)是一隨機向量，稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

Cov(X,Y)=

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,記作Cov（X，Y）或XY，即若X、Y相互獨立說明①對于r.

vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)協(xié)方差是刻劃r.vX與Y間取值的相互關(guān)系的數(shù)字特征.顯然:②意義:Cov(X,Y)=0,

1)用定義式Cov(X,Y)=

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、計算方法2)用簡單公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,X)=D(X)概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!3、性質(zhì)ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(對稱性)

ⅱ)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常數(shù)；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身的系數(shù)影響.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)為了克服這一缺點，將協(xié)方差標準化，即在計算協(xié)方差時，先對X與Y進行標準化.即:實際上，10X與10Y之間的關(guān)系和X與Y之間的關(guān)系應一致。標準化的協(xié)方差稱為X，Y的相關(guān)系數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!將e視為關(guān)于a,b的二元函數(shù)，求駐點：解得性質(zhì)1）成立。對應的誤差平方為性質(zhì)2）證明略。要使Y與X的某個線性函數(shù)a+bX最為接近,就是要找a,b使得誤差平方e值最小.證：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)對任意的a,b,令刻畫了Y與a+bX的偏離程度（*）概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!1）對于隨機變量X,Y，下面事實是等價的2)X與Y相互獨立X與Y不相關(guān)X與Y不相關(guān),只說明X與Y之間沒有線性關(guān)系，但可以有非線性關(guān)系；但是，對于二維正態(tài)分布，獨立與不相關(guān)等價。即：若二維r.v③E(XY)=E(X)E(Y);

即X與Y不相關(guān)3、重要結(jié)論①Cov(X,Y)=0;②X與Y不相關(guān)；則X與Y相互獨立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).

而X與Y獨立是指X,Y之間既無線性關(guān)系，也無非線性關(guān)系，故“獨立”必然不相關(guān)，但反之不然。概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!三、幾個常用的數(shù)字特征1、矩

(moment):

②③則稱之為X與Y的k+l階混合中心矩。①定義：設(shè)X與Y是隨機變量，④顯然，E(X)為一階原點矩，D(X)是二階中心矩；

Cov(X,Y)是二階混合中心矩。概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!小結(jié)：這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征.注意獨立與不相關(guān)并不是等價的.當(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!對于一個二維隨機向量（X，Y），期望和方差只反映了它們各自的平均取值與相對于其均值的偏離程度，沒有反映出X與Y之間的相互關(guān)系。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}注意到公式若X、Y相互獨立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)。E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，可以發(fā)現(xiàn)E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}這個數(shù)在一定程度上反映了X與Y之間的關(guān)系，稱為X與Y的協(xié)方差。概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!YX-101-100例1

設(shè)r.vX和Y的聯(lián)合分布律為求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布律

X-10

3/82/83/81

Y-10

3/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0說明：雖然Cov(X,Y)=0，但即X與Y不獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!二、相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)設(shè)(X,Y)是一隨機向量，當D(X)>0,D(Y)>0,則稱數(shù)值為X,Y的線性相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù).注：1、定義:⑴相關(guān)系數(shù)也就是標準化的隨機變量X*，Y*的協(xié)方差。⑵ρXY是沒有單位的量，只與兩個r.v有關(guān)，能更好地反映X與Y之間的關(guān)系。2、性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!若=0，Y與X無線性關(guān)系;Y與X存在線性關(guān)系;若若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.ρ=0時，稱X和Y不相關(guān)。由（*）式知，ρXY的含義說明：概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例2設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為證明:先求邊緣概率密度函數(shù)fY(y)同理所以f(x,y)fX(x)fY(y)故X與Y不獨立驗證X與Y不相關(guān),且不相互獨立。-1１Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0即X與Y不相關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-4事件的獨立性共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!2、協(xié)方差矩陣（了解）①二維r.v(X,Y)有四個二階中心矩即D(X)、cov(X,Y)、cov(Y,X)、D(Y