2021-2022學年江蘇省無錫市太湖高級中學高一年級上冊學期12月階段性測試數學試題【含答案】

2021-2022學年江蘇省無錫市太湖高一上學期12月階段性測試數學試題一、單選題1．設集合，，，則A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}D【分析】先求，再求．【詳解】因為，所以.故選D．集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構成，能化簡的要先化簡，同時注意數形結合，即借助數軸、坐標系、韋恩圖等進行運算．2．函數的圖象恒過定點（

）A． B．C． D．B【分析】根據指數函數的圖象過定點及函數圖象變換求解即可.【詳解】解：因為指數函數圖象向左平移個單位，再向上平移個單位即可得到函數的圖象，指數函數過定點，所以函數的圖象恒過定點.故選：B3．已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．A【分析】根據指數與對數的關系及對數的性質計算可得；【詳解】解：因為，所以所以==，故選：A．4．已知角的終邊經過點，那么（

）A．-2 B． C． D．2C【分析】根據三角函數終邊上點的定義求解即可.【詳解】解：因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：C5．已知，，，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據指數函數、冪函數和對數函數的單調性，結合臨界值和可確定的大致范圍，從而得到結果.【詳解】，即本題正確選項：本題考查根據指數函數、冪函數和對數函數單調性比較大小的問題，解決此類題的常用方法是利用臨界值來確定所比較數字的大致范圍.6．已知，，若，則A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值A【分析】根據基本不等式的性質，即可求解有最小值，得到答案.【詳解】由題意，可知，，且，因為，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，取得最小值，故選A．本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中合理應用基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.7．函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．C【分析】利用函數的定義域，特定區(qū)間的函數值，結合選項得到答案．【詳解】解：函數的定義域為，，故函數為奇函數，因為，故當時，，當，，所以結合各選項中的圖象可得C是正確的.故選：C.8．關于x的不等式對任意的恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．B令，利用基本不等式得到的范圍，把問題轉化為對任意的恒成立，也即對任意的恒成立，所以只需，即可求出結果.【詳解】關于x的不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，當且僅當時取等號；則對任意的恒成立，也即對任意的恒成立，所以只需，所以，即．故選：B．關鍵點睛：令，利用基本不等式得到的范圍，把問題轉化為對任意的恒成立是解決本題的關鍵.二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分不必要條件C．，，則：，D．AB【分析】解分式不等式可知A正確；由充分條件和必要條件的定義，可得B正確；含有全稱量詞命題得否定，，故C錯誤；結合指數冪的運算求解判斷D選項.【詳解】解：對于A選項，由，即，，A正確；對于B選項，時一定有，但時不一定有成立,因此“”是“”成立的充分不必要條件，B正確；對于C選項，命題，則，C錯誤；對于D選項，，故錯誤.故選：AB．10．已知冪函數的圖象經過點.則（）A．的定義域為 B．的值域為C．是偶函數 D．的單調增區(qū)間為ABD先求出冪函數的解析式，再根據解析式判斷各項的正誤.【詳解】因為為冪函數，故，所以，故，故，所以函數的定義域為，值域為，單調增區(qū)間為，且不是偶函數，故選：ABD.11．下列結論中正確的是（

）A．終邊經過點的角的集合是；B．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是；C．若是第三象限角，則是第二象限角，為第一或第二象限角；D．，，則ABD【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合間的關系求出結果.【詳解】A.終邊經過點的角的終邊在第一象限平分線上，故角的集合是，所以A正確；B.將表的分針撥慢10分鐘，按逆時針旋轉，則分針轉過的角度為，對應弧度數是，所以B正確；C.因為是第三象限角，即，所以，當為奇數時，是第四象限角，當為偶數時，是第二象限角；，所以的終邊位置在第一或第二象限或軸非負半軸，所以C錯誤；D.，，易知，所以D正確；故選：ABD.12．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，．已知函數，則關于函數的敘述中正確的是（

）A．是偶函數 B．是奇函數C．在上是增函數 D．的值域是BC計算得出判斷選項A不正確；用函數的奇偶性定義，可證是奇函數，選項B正確；通過分離常數結合復合函數的單調性，可得出在R上是增函數，判斷選項C正確；由的范圍，利用不等式的關系，可求出，選項D不正確，即可求得結果.【詳解】根據題意知，.∵，，，∴函數既不是奇函數也不是偶函數，A錯誤；，∴是奇函數，B正確；在R上是增函數，由復合函數的單調性知在R上是增函數，C正確；，，，，，D錯誤.故選：BC.關鍵點睛：本題是一道以數學文化為背景，判斷函數性質的習題，屬于中檔題型，本題的關鍵是理解函數，然后才會對函數變形，并作出判斷.三、填空題13．計算：_____.8【分析】根據指數、對數的運算性質進行計算即可.【詳解】故8．14．若關于的方程有兩個實數根，且一根大于1，另一根小于1，則實數的取值范圍為___________.【分析】令，根據題意，由求解.【詳解】令，因為方程有兩個實數根，且一根大于1，另一根小于1，所以，解得，所以實數的取值范圍為，故15．對于函數，若在定義域內存在實數滿足，則稱函數為“函數”.設為其定義域上的“函數”，則實數的取值范圍是___________.【分析】由題可得：在上有解，即可轉化為：在上有解，且在上恒成立，轉化為的值域且，問題得解【詳解】解：由函數為“函數”的定義可得：在上有解.即：在上有解則在上有解，且在上恒成立即：在上有解，且在上恒成立記，由于函數在上均單調遞增，所以在上單調遞增，且所以所以，即：，解得：又在上恒成立，由對勾函數性質得在上單調遞增，所以，解得：綜上所述：實數的取值范圍是故答案為:四、雙空題16．已知，則____________；___________.

-0.1【分析】結合，將所求式子化弦為切后再將代入即可求解【詳解】解：，，故；五、解答題17．已知半徑為6的圓中，弦的長為6.(1)求弦所對圓心角的大??；(2)求圓心角所在的扇形的弧長及弧所在的弓形的面積(1)(2)，【分析】（1）根據三角形形狀得圓心角的大?。唬?）根據扇形的弧長以及面積公式求解.【詳解】(1)解：半徑為6的圓中，弦的長為6，所以三角形為正三角形，所以弦所對圓心角為，(2)解：由弧長公式得：扇形的面積又，所以，即弧所在的弓形的面積.18．已知函數的定義域為集合，集合.（1）當時，求；（2）若是的必要條件，求實數的取值范圍.（1）；（2）（1）先求得集合A，當時，可求得集合B，根據并集的運算法則，即可求得答案；（2）根據題意，可得，分別討論和兩種情況，根據集合的包含關系，即可求得答案.【詳解】由題意得：，所以集合，（1）當時，集合，所以.（2）若是的必要條件，則，當時，，解得，符合題意，當時，則，解得，綜上的取值范圍為易錯點點睛：當出現，即B集合為小范圍，且B集合含有參數時，需討論B集合是否為空集，再進行求解，考查分析理解的能力，屬基礎題.19．已知，.(1)求角的集合：(2)求角的終邊所在的象限；(3)試判斷的符號.(1)(2)第二、四象限(3)正號【分析】（1）根據條件判斷出所在象限，即可寫出α的集合；（2）由（1）求出范圍，即可判斷象限；（3）根據的象限即可判斷函數值正負.【詳解】(1)由，知在第三、四象限或y軸的負半軸上，由，知在第二、四象限，故角在第四象限，其集合為；(2)由（1）知，故，故的終邊在第二、四象限；(3)當在第二象限時，，，，所以，當在第四象限時，，，，所以，綜上，取正號.20．已知函數為偶函數，為奇函數，且.(1)求函數和的解析式；(2)若在恒成立，求實數的取值范圍.(1)；(2).【分析】（1）根據函數為偶函數，為奇函數，結合求解；（2）將在恒成立，轉化為在恒成立求解.【詳解】(1)解：因為函數為偶函數，為奇函數，所以，又，則，即，兩式聯立解得；(2)由（1）知：，因為在恒成立，所以在恒成立，令，則，由對勾函數的性質得函數y在上遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍.21．科技創(chuàng)新在經濟發(fā)展中的作用日益凸顯．某科技公司為實現9000萬元的投資收益目標，準備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當投資收益達到3000萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數不低于100萬元，且獎金總數不超過投資收益的20%．（1）現有三個獎勵函數模型：①，②，③，．試分析這三個函數模型是否符合公司要求？（2）根據（1）中符合公司要求的函數模型，要使獎金額達到350萬元，公司的投資收益至少要達到多少萬元？（1）見解析；（2）投資收益至少要達到萬元（1）根據公司要求知函數為增函數，同時應滿足且，一一驗證所給的函數模型即可；（2）由，解不等式即可.【詳解】（1）由題意符合公司要求的函數在為增函數，在且對，恒有且．①對于函數，當時，，不符合要求；②對于函數為減函數，不符合要求；③對于函數在，顯然為增函數，且當時，；又因為；而，所以當時，．所以恒成立；因此，為滿足條件的函數模型．（2）由得：，所以，所以公司的投資收益至少要達到萬元．本題主要考查的是函數模型的選擇與運用，考查函數的單調性和最值以及恒成立問題，對數不等式的解法，考查學生的分析問題解決問題的能力.22．已知函數且.(Ⅰ)若1是關于x的方程的一個解，求t的值；(Ⅱ)當且時，解不等式；(Ⅲ)若函數在區(qū)間（-1,2]上有零點，求t的取值范圍.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)或【詳解】試題分析：（Ⅰ）由，即可求得的值；(Ⅱ)當時，當時，即，利用對數函數的單調性可得真數間的大小關系，注意對數函數的定義域；(Ⅲ)分情況討論：若，則在上沒有零點，當時，分在內有重根，則△=0,解得的值；在上只有一個零點，且不是方程的重根時；在上有兩個相異實根三種情況，根據函數零點判定定理可得不等式，解出即可；試題解析：（Ⅰ）