二次函數(shù)之距離最小思維

二次函數(shù)之最短路徑問題例1.(廣東)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O(0,0)時，求二次函數(shù)的解析式；如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點C,頂點為D,求C、D兩點的坐標(biāo)；在(2)的條件下，x軸上是否存在一點P,使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標(biāo)；若P點不存在，請說明理由．例2.(甘肅蘭州)如圖，RtAABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐25標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4)，拋物線y=；x2+bx+c經(jīng)過點B,且頂點在直線x=^上．求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；⑵若把AABO沿x軸向右平移得到ADCE,點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；⑶在⑵的條件下，連接BD,已知對稱軸上存在一點P使得APBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；例3?如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點N,其頂點為D．拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)點M(3,m),求使MN+MD的值最小時m的值；若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作EF//BD交拋物線于點F,以B,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值.

例4.(湖南郴州)已知拋物線y=ax牙bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點.求這條拋物線的解析式；如圖一，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)；如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E,垂足為D,M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G,使ACMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例5.(遼寧)如圖16,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—石兀-"3與x軸交于點A，與y軸交于點C,拋物線22^°、經(jīng)過A，B，C三點.y=ax乙-3x+c(a豐0)求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；試探究在直線AC上是否存在一點M，使得'MBF的周長最小，若存在，求出M點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由．圖16圖16例6.(山西)綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2^2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.圖16求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標(biāo)；點P是x軸上一個動點，過P作直線1//AC交拋物線于點Q,試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q,使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．請在直線AC上找一點M,使AEDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo).例7?如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標(biāo)分別為A(4,0)、C(0,2),D為OA的中點?設(shè)點P是ZAOC平分線上的一個動點(不與點O重合).試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；當(dāng)點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；設(shè)點E是(2)中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P運動到何處時，APDE的周長最??？求出此時點P的坐標(biāo)和厶PDE的周長；設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P,使ZCPN=90°?若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)．例8.(德州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是(4,0)，并且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.求拋物線的解析式；是否存在點P,使得AACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo).練習(xí)：(煙臺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與OM相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-1,0)，(0,-2),點D在x軸上且AD為QM的直徑?點E是QM與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH丄AD于點H,且FH=1.5求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；若點P是x軸上的一個動點，試求出厶PEF的周長最小時點P的坐標(biāo)；在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使AQCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.例10?已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點A(1，3)和點B(2，1)。求此拋物線解析式；點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值，并寫出C.D兩點的坐標(biāo);①在拋物線AB段上存在一點E,使ABE的面積最大，求E點的坐標(biāo)；②請直接寫出以A.B和E為頂點的平行四邊形的第四個頂點P的坐標(biāo)。1~o123^例11.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的頂點為C(l,4),交x軸于A、B兩點，交y軸于點D,其中點B的坐標(biāo)為(3,0).(1)求拋物線的解析式；如圖2,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H,使D、G,H、F四點所圍成的四邊形周長最??？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；如圖3,在拋物線上是否存在一點T,過點T作x軸的垂線，垂足為點M,過點M作MN//BD，交線段AD于點N,連接MD,使△DNMs^BMD?若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例12.已知拋物線y=-x^bx+c與x軸交于點A(m—2,0)和B(2m+1,0)(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C,頂點為P,對稱軸為1：x=1.求拋物線解析式．⑵直線y=kx+2(k#0)與拋物線相交于兩點Mg,y),N(x2,y?)(xfx?),當(dāng)Ix^x?|最小時，求拋物線與直線的交點M和N的坐標(biāo).(3)首尾順次連接點O,B,P,C構(gòu)成多邊形的周長為L.若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點O,B移動后的坐標(biāo)及L的最小值．*6字4321L--1-1i-i--J-?-.01,11-1-2-3-4-5-6例9.(衢州)如圖，已知點A(-4,8)和點B(2,n)在拋物線y=ax2上.求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q,使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標(biāo)；平移拋物線y=ax2記平移后點A的對應(yīng)點為A',點B的對應(yīng)點為B',點C(-2,0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點．當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A'B'CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在,請說明理由．例13?(重慶)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，交軸于點W,頂點為C,拋物線的對稱軸與軸的交點為D。求直線BC的解析式。點E(m,O),F(m+2,0)為x軸上兩點，其中，，分別垂直于x軸，交拋物線與點，，交BC于點M,N,當(dāng)?shù)闹底畲髸r，在y軸上找一點R,使得值最大，請求出R點的坐標(biāo)及的最大值。例14.(自貢)如圖，拋物線1交x軸于點A(-3,0)、B(1,0),交y軸于點C(0,-3).將拋物線1沿y軸翻折得拋物線J求11的解析式；在*的對稱軸上找出點P,使點P到點A的對稱點舛及C兩點的距離差最大，并說出理由；例15?如圖，已知直線y=1/2x+1與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y=1/2x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為(1,0).(1)求該拋物線的解析式；動點P在x軸上移動，當(dāng)APAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)P;在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標(biāo)例16?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC//AD,上BAD=90°,BC與y軸相交于點M,且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標(biāo)分別是A(T，0),B(T，2),D(3,0).連接DM,并把線段DM沿DA方向平移到ON?若拋物線y二ax2+bx+C經(jīng)過點D、M、N.求拋物線的解析式．拋物線上是否存在點P,使得PA=PC，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為E,點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)點Q在什么位置時有IQE-QCI最大？并求出最大值.檢測1?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(2,0)、B(4,0)兩點，直線y=fx+2交號軸于點C,且過點D(8,m).求拋物線的解析式；在x軸上找一點P,使CP+DP的值最小，求出點P的坐標(biāo)；將拋物線y=x2+bx+c左右平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A，,點B的對應(yīng)點為B',當(dāng)四邊形A'B'DC的周長最小時，求拋物線的解析式及此時四邊形A'B'DC周長的最小值.設(shè)拋物線的頂點為Q,過點C作x軸的平行線L,點M在直線L上,且MN丄x軸，垂足為N,若DM+MN+NQ最小，直接寫出此時點M,N的坐標(biāo)。.2~1~1__3~~~4~8^-I-Z「2?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=點D為點C關(guān)于x軸的對稱點，過點A作直線1:y=^x+遠(yuǎn)點D為點C關(guān)于x軸的對稱點，過點A作直線1:y=^x+遠(yuǎn)交BD于點E,