二次函數(shù)之距離最小思維

二次函數(shù)之最短路徑問題例1.(廣東)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)時，求二次函數(shù)的解析式；如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；在(2)的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請說明理由．例2.(甘肅蘭州)如圖，RtAABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐25標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4)，拋物線y=；x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,且頂點(diǎn)在直線x=^上．求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；⑵若把AABO沿x軸向右平移得到ADCE,點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；⑶在⑵的條件下，連接BD,已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得APBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；例3?如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D．拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時m的值；若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)，求AAPC的面積的最大值.

例4.(湖南郴州)已知拋物線y=ax牙bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點(diǎn).求這條拋物線的解析式；如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E,垂足為D,M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G,使ACMG的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例5.(遼寧)如圖16,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—石兀-"3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線22^°、經(jīng)過A，B，C三點(diǎn).y=ax乙-3x+c(a豐0)求過A，B，C三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；試探究在直線AC上是否存在一點(diǎn)M，使得'MBF的周長最小，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由．圖16圖16例6.(山西)綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2^2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).圖16求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，過P作直線1//AC交拋物線于點(diǎn)Q,試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M,使AEDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).例7?如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0)、C(0,2),D為OA的中點(diǎn)?設(shè)點(diǎn)P是ZAOC平分線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合).試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到何處，PC總與PD相等；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B的距離最小時，試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，APDE的周長最小？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和厶PDE的周長；設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點(diǎn)P,使ZCPN=90°?若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．例8.(德州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0)，并且OA=OC=4OB,動點(diǎn)P在過A,B,C三點(diǎn)的拋物線上.求拋物線的解析式；是否存在點(diǎn)P,使得AACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；過動點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).練習(xí)：(煙臺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與OM相交于A、B、C、D四點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)，(0,-2),點(diǎn)D在x軸上且AD為QM的直徑?點(diǎn)E是QM與y軸的另一個交點(diǎn)，過劣弧上的點(diǎn)F作FH丄AD于點(diǎn)H,且FH=1.5求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；若點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，試求出厶PEF的周長最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使AQCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.例10?已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)和點(diǎn)B(2，1)。求此拋物線解析式；點(diǎn)C、D分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的最小值，并寫出C.D兩點(diǎn)的坐標(biāo);①在拋物線AB段上存在一點(diǎn)E,使ABE的面積最大，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；②請直接寫出以A.B和E為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)P的坐標(biāo)。1~o123^例11.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的頂點(diǎn)為C(l,4),交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D,其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).(1)求拋物線的解析式；如圖2,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G,H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最??？若存在，求出這個最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；如圖3,在拋物線上是否存在一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN//BD，交線段AD于點(diǎn)N,連接MD,使△DNMs^BMD?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例12.已知拋物線y=-x^bx+c與x軸交于點(diǎn)A(m—2,0)和B(2m+1,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P,對稱軸為1：x=1.求拋物線解析式．⑵直線y=kx+2(k#0)與拋物線相交于兩點(diǎn)Mg,y),N(x2,y?)(xfx?),當(dāng)Ix^x?|最小時，求拋物線與直線的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo).(3)首尾順次連接點(diǎn)O,B,P,C構(gòu)成多邊形的周長為L.若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點(diǎn)O,B移動后的坐標(biāo)及L的最小值．*6字4321L--1-1i-i--J-?-.01,11-1-2-3-4-5-6例9.(衢州)如圖，已知點(diǎn)A(-4,8)和點(diǎn)B(2,n)在拋物線y=ax2上.求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；平移拋物線y=ax2記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A',點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個定點(diǎn)．當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A'B'CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在,請說明理由．例13?(重慶)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交軸于點(diǎn)W,頂點(diǎn)為C,拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)為D。求直線BC的解析式。點(diǎn)E(m,O),F(m+2,0)為x軸上兩點(diǎn)，其中，，分別垂直于x軸，交拋物線與點(diǎn)，，交BC于點(diǎn)M,N,當(dāng)?shù)闹底畲髸r，在y軸上找一點(diǎn)R,使得值最大，請求出R點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值。例14.(自貢)如圖，拋物線1交x軸于點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,-3).將拋物線1沿y軸翻折得拋物線J求11的解析式；在*的對稱軸上找出點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)舛及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說出理由；例15?如圖，已知直線y=1/2x+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線y=1/2x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).(1)求該拋物線的解析式；動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)APAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P;在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM-MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)例16?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC//AD,上BAD=90°,BC與y軸相交于點(diǎn)M,且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(T，0),B(T，2),D(3,0).連接DM,并把線段DM沿DA方向平移到ON?若拋物線y二ax2+bx+C經(jīng)過點(diǎn)D、M、N.求拋物線的解析式．拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得PA=PC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時有IQE-QCI最大？并求出最大值.檢測1?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，直線y=fx+2交號軸于點(diǎn)C,且過點(diǎn)D(8,m).求拋物線的解析式；在x軸上找一點(diǎn)P,使CP+DP的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；將拋物線y=x2+bx+c左右平移，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A，,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',當(dāng)四邊形A'B'DC的周長最小時，求拋物線的解析式及此時四邊形A'B'DC周長的最小值.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為Q,過點(diǎn)C作x軸的平行線L,點(diǎn)M在直線L上,且MN丄x軸，垂足為N,若DM+MN+NQ最小，直接寫出此時點(diǎn)M,N的坐標(biāo)。.2~1~1__3~~~4~8^-I-Z「2?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線1:y=^x+遠(yuǎn)點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線1:y=^x+遠(yuǎn)交BD于點(diǎn)E,