概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性

§2.5幾種重要的連續(xù)型分布指數(shù)分布正態(tài)分布Γ分布*對數(shù)正態(tài)分布* 前面我們曾經(jīng)討論的均勻分布是最簡單的常用連續(xù)型分布。在這一節(jié)里，將介紹另幾種常用連續(xù)型分布，它們有著廣泛的應(yīng)用背景。1概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!指數(shù)分布定義:如果隨機變量X的概率密度為其中>0,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,X

～Exp(λ).易知,其分布函數(shù)為2概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!指數(shù)分布的分布函數(shù)推導(dǎo)當(dāng)x≤0時,當(dāng)x>0時,3概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!指數(shù)分布的期望、方差4概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例題與解答例1.某電子元件的壽命X(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布.(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解:由題意可知, X~電子元件在已使用t小時之后再使用s小時的概率,與它使用s小時的概率是相同的.稱這樣的隨機變量具有“無記憶性”,正是指數(shù)分布的重要特點.5概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例題與解答例2.顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布,X的計時單位為分鐘.若等待時間超過10分鐘,則他就離開.設(shè)他一個月內(nèi)要來銀行5次,以Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求Y分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率P(Y≥1).解:由題意不難看出Y~B(5,p)而其中的概率p=P(X>10)，現(xiàn)X的概率密度函數(shù)為因此,Y的分布律為于是P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e-2)5≈0.5167.

6概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!正態(tài)分布正態(tài)分布也叫高斯分布,正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛,在理論上研究最多的分布之一,故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。例如測量的誤差；人的生理尺寸:身高、體重；一個班的考試成績；普通人的年收入；工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑、長度、寬度、高度；一個地區(qū)的降雨量等等都近似服從正態(tài)分布。一般說來，若某一數(shù)量指標(biāo)受到大量微小的，獨立的隨機因素的影響，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。7概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!泊松積分公式8概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!正態(tài)分布的兩個特性(1)單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線x=μ對稱

f()＝maxf(x)＝

(2)σ的大小直接影響概率的分布 σ越大,曲線越平坦,σ越小,曲線越陡峻。9概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)特性(1)

j(x)有各階導(dǎo)數(shù)(2)

j(-x)=j

(x),偶函數(shù)(3)在(-,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,+)嚴(yán)格下降.在 x=0處達到最大值:j

(0)=(2)-1/20.3989.(4)在x=1處有兩個拐點;(5)x軸是j

(x)的水平漸近線:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表示為:10概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!正態(tài)分布的期望若隨機變量X~N(,2),則EX=。證明:11概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!Φ(-x)當(dāng)

時,x0y(1)表中

x

的取值范圍[0,4.49],(2)當(dāng)

時,則有Φ(x)Φ(x)x0y當(dāng)

x

≤

-4.5

時,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表12概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!例題與解答例4.X~N(0,1),求P(X1.96),P(X-1.96), P(|X|1.96),P(-1<X2),P(X5.9)。解P(X

1.96)=F(1.96)=0.975

P(X

-1.96)=F(-1.96) =1-F(1.96)=1-0.975=0.025

P(|X

|1.96)=P(-1.96X

1.96) =2F(1.96)-1=0.95

P(-1<X

2)=F(2)-F(-1)=F(2)-[1-F(1)] =0.81855

P(X

5.9)=F(5.9)=1.13概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,

都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.證明:X~即任何一個一般的正態(tài)分布14概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例題與解答例6.X~N(,2),P(X-5)=0.045,P(X3)=0.618,求及。解：15概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!3σ原則例8.設(shè)X~N(,σ2),求P{-3σ<X<+3σ}解:P{-3σ<X<+3σ}=P{-3<(X-)/σ<3} =Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.9973≈1本題結(jié)果稱為3σ(三倍標(biāo)準(zhǔn)差)原則。在工程應(yīng)用中,通常認為P{|X-μ|≤3σ}≈1，忽略{|X-μ|>3σ}的值。如在質(zhì)量控制中,常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3σ作兩條線,當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報,表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。16概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!例題與解答例9一種電子元件的使用壽命Ｘ(小時)服從正態(tài)分布Ｎ(100,225),某儀器上裝有3個這種元件,三個元件損壞與否是相互獨立的。求使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率。解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),則Y~B(3,p)，其中故17概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!

設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為p(x),而Y=f(X)，如f(x)在不相重疊的區(qū)間I1,I2…上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為h1(y),h2(y),…而且h′1(y),h′2(y),…均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=f(X)是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為18概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

已知電源電壓X~N(220,252)(單位:伏),在電源電壓不超過200伏、200~240伏和超過240伏三種情況,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,試求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200~240之間的概率.解：設(shè)B=“電子元件損壞”,Ai=“三種電壓”(i=1,2,3)且或:則A1,A2,A3是一完備事件組,19概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!分布*定義：如果隨機變量X的概率密度為則稱X服從分布，簡記作X~(λ,r),其中λ,r均為常數(shù),。(-函數(shù))20概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!χ2分布與正態(tài)分布的關(guān)系定理:設(shè)X~N(0,1),則X2~χ2(1)。證明:設(shè)X2的概率密度為fX2(x),X的概率密度仍用φ(x)表示。由分布函數(shù)法

FX2(x)=P{X2≤x} 當(dāng)x≤0時,FX2(x)=0,故fX2(x)=0; 當(dāng)x>0時,FX2(x)=P{X2≤x}=P{-x1/2≤X≤x1/2} =F(x1/2)-F(-x1/2)所以21概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!對數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布關(guān)系定理(1):若X~N(,2),則Y=eX服從參數(shù)為和σ2的對數(shù)正態(tài)分布。定理(2):若Y服從參數(shù)為和σ2的對數(shù)正態(tài)分布,則X=lnY~N(,2)。另外,參數(shù)為和σ2的對數(shù)正態(tài)分布的期望、方差為:22概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!1、一種電子元件的使用壽命X（單位：小時）服從參數(shù)為1/10的指數(shù)分布，求其中一個的使用壽命在10到20小時的概率。作業(yè)P836723概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!當(dāng)k為偶數(shù)時,令于是24概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!指數(shù)分布應(yīng)用背景指數(shù)分布經(jīng)常用來作各種“壽命”分布的近似。如隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間,某些消耗性產(chǎn)品(電子元件等)的壽命,產(chǎn)品首次發(fā)生故障（需要維修）的時間都常被假定服從指數(shù)分布。某產(chǎn)品的壽命T服從參數(shù)為λ=0.002的指數(shù)分布，則該產(chǎn)品的平均壽命

E(T)=l-1=(0.002)-1=500對指數(shù)分布,任何實數(shù)a,b(0≤a<b),有25概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!指數(shù)分布的無后效性定理：設(shè)X是連續(xù)型非負隨機變量，則X服從指數(shù)分布P(X>s+t|X>s)=P(X>t)的充分必要條件是對任何的s,t≥0,有無后效性是指數(shù)分布的特征.26概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!例題與解答例3.某公路橋每天輛汽車過橋時刻為T,設(shè)[0,t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解:當(dāng)t≤0時，當(dāng)t>0時，=1-P{在t時刻之前無汽車過橋}于是27概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!正態(tài)分布定義:如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中s,m為常數(shù),并且s>0,則稱X服從正態(tài)分布,簡記作X~N(m,s2)。特別地,當(dāng)m=0,s=1時,稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度記為j

(x),這時X~N(0,1)。28概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點29概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖xj

(x)01-130概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!

因此對同一長度的區(qū)間,x0y-11若此區(qū)間越靠近點

x=0,則其即X

在該區(qū)間上取值的概率所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布規(guī)律是

“中間多,兩頭少”.越大,對應(yīng)的曲邊梯形的面積越大,31概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!正態(tài)分布的方差若隨機變量X~N(,2),則DX=2

。證明:32概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!(x)的計算(1)x0時,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)=(a)[1(a)]=2(a)1

33概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理

設(shè)X~N(,

2),則Y~N(0,1).推論:

若X~N(,

2),則34概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!例題與解答例5.X

~N(8,0.52),求P(|X

-8|<1)及P(X

10)。解:因為X

~N(8,0.52),所以(X

-8)/0.5~N(0,1)35概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例題與解答例7.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似地服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.36概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!正態(tài)分布的3原則設(shè)X~N(,2),則

P(|X|≤

)=2Φ(1)-1=68.27%.

P(|X|≤2)=2Φ(2)–1=95.45%.

P(|X|≤

3)=2Φ(3)-1=99.73%.

P(|X|≤6)=99.999999802682%.37概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!

設(shè)X~N(0,1),求Y=X2的密度函數(shù).解：Y是非負隨機變量.是連續(xù)函數(shù)，對y>0可微，所以Y的密度是對y>0,分布函數(shù)課堂練習(xí)38概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!

設(shè)X~N(0,1),求Y=X2的密度函數(shù).解：y=f(x)=x2,分段單調(diào)，因此Y的密度函數(shù)為39概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!解：(1)(2)40概率統(tǒng)計和隨機過程課件13事件的獨立性共45頁，您現(xiàn)在瀏覽的是