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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.2.設(shè)函數(shù),的定義域都為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)3.已知集合,,,則()A. B. C. D.4.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.5.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.6.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.38.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.10.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.12.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線C的離心率為________.14.在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù),則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.15.若實(shí)數(shù),滿足,則的最小值為__________.16.已知函數(shù),則關(guān)于的不等式的解集為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),若直線的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)的軌跡是曲線(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為,,點(diǎn)為射線與曲線的交點(diǎn),求點(diǎn)的極徑.18.(12分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團(tuán),由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知中,角,,的對(duì)邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大?。唬?)若的面積為,,求.20.(12分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實(shí)數(shù),且滿足.證明:.21.(12分)已知橢圓,上、下頂點(diǎn)分別是、,上、下焦點(diǎn)分別是、,焦距為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn),過作與軸平行的直線,直線與交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),判斷是否為定值,說明理由.22.(10分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.2、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:是奇函數(shù),是偶函數(shù),,,,故函數(shù)是奇函數(shù),故錯(cuò)誤,為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,是奇函數(shù),故正確.為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.3、D【解析】
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意挖掘隱含條件.6、D【解析】
設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因?yàn)閳A柱的表面積公式為,所以,解得,因?yàn)閳A柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.7、A【解析】
直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
利用先求出,然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,,故當(dāng)時(shí),,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式,只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果,較為基礎(chǔ).10、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.11、C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由等腰三角形及雙曲線的對(duì)稱性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.14、【解析】
先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長度,然后根據(jù)幾何概型中的長度模型,即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí),,區(qū)間長度是,又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的區(qū)間長度是,所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長度.15、【解析】
由約束條件先畫出可行域,然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當(dāng)平行線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最小值,由可得,此時(shí),所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí),解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標(biāo)函數(shù),結(jié)合圖形求出最值,需要掌握解題方法.16、【解析】
判斷的奇偶性和單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,運(yùn)用單調(diào)性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)將兩直線化為普通方程,消去參數(shù),即可求出曲線的普通方程;(2)設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出,代入曲線C可求解.【詳解】(1)直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數(shù)k,得曲線C的普通方程為整理得.(2)設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線C的方程可得,解得(舍),所以點(diǎn)的極徑為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標(biāo)方程,極徑的求法,屬于中檔題.18、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在、之間的學(xué)生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為,在之間的學(xué)生人數(shù)為,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又,所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,利用正弦定理可得,結(jié)合,可求,從而可求的值;(2)由三角形的面積可解得,利用余弦定理可得,故可得.試題解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)由題意,只需找到的最大值即可;(2),構(gòu)造并利用基本不等式可得,即.【詳解】(1),∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價(jià)于,(?。┊?dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,(ⅱ)當(dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為,則實(shí)數(shù)的最大值為3,即.(2)證明:根據(jù)(1)求解知,所以,又∵,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即,∴,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題,是一道中檔題.21、(1);(2),理由見解析.【解析】
(1)求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可求得的值,由此可得出橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,求出直線的方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),由此計(jì)算出直線和的斜率,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可求得的值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,橢圓的上焦點(diǎn)為、,由橢圓的定義可得,可得,,因此,所求橢圓的方程為;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,得,直線的斜率為,所以,直線的方程為,聯(lián)立
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