高一數(shù)學：《3-1 函數(shù)的概念及其表示》最新教研教案教學設計

第2課時分段函數(shù)學習目標核心素養(yǎng)1.了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖象．(重點，難點)2．能在實際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關問題．(重點、難點)3．通過本節(jié)內容的學習，使學生了解分段函數(shù)的含義，提高學生數(shù)學建模、數(shù)學運算的能力．(重點)1.通過分段函數(shù)求值問題培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．利用分段函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．分段函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．思考：分段函數(shù)是一個函數(shù)還是幾個函數(shù)？提示：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．1．下列給出的式子是分段函數(shù)的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④B[結合分段函數(shù)的定義可知①④是分段函數(shù)，②③中不同對應關系的定義域有重疊部分，故選B.]2．函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．[答案][0，＋∞)3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]分段函數(shù)的求值問題【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實數(shù)a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)當a≤－2時，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去．當－2<a<2時，a2＋2a＝3即a2＋2a－3＝0∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合題意．當a≥2時，2a－1＝3，即a＝2符合題意綜上可得，當f(a)＝3時，a＝1或a＝2.1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值．2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟：(1)先對字母的取值范圍分類討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過解方程求出字母的值．(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內．提醒：求某條件下自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗．1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.8[∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函數(shù)的解析式【例2】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關于x[思路點撥]可按點E所在的位置分E在線段AB，E在線段AD及E在線段CD三類分別求解．[解]過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當點F在BG上，即x∈[0,2]時，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當點F在GH上，即x∈(2,5]時，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)當點F在HC上，即x∈(5,7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖象如圖所示．1．當目標在不同區(qū)間有不同的計算表達方式時，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應關系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．2．通過本例讓學生初步嘗試用分段函數(shù)解決實際問題的意識，培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng)．2．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．[解]設票價為y元，里程為x公里，定義域為(0,20]．由題意得函數(shù)的解析式如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖象如圖所示：分段函數(shù)的圖象及應用[探究問題]1．函數(shù)f(x)＝|x－2|能用分段函數(shù)的形式表示嗎？能否作出其圖象？提示：能．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．2．結合探究點1，你能說一下畫含有絕對值的函數(shù)圖象的方法嗎？提示：含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．【例3】已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域．[思路點撥](1)分－2<x<0和0≤x≤2兩種情況討論，去掉絕對值可把f(x)寫成分段函數(shù)的形式；(2)利用(1)的結論可畫出圖象；(3)由(2)中得到的圖象，找到圖象最高點和最低點的縱坐標，可得值域．[解](1)當0≤x≤2時，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當－2<x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．把本例條件改為“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3個問題[解](1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))(2)函數(shù)的圖象如圖所示．(3)由圖可知，f(x)的值域為[－2，＋∞)．分段函數(shù)圖象的畫法作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.1．分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．2．分段函數(shù)求值要先找準自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．3．分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標系中，根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和表達式依次畫出圖象，要注意確定每段圖象的端點是空心點還是實心點，各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個分段函數(shù)的圖象．1．思考辨析(1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構成．()(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函數(shù)．()[答案](1)×(2)√2．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)D[∵f(3)＝eq\f(2,3)≤1，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9).]3．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))[當0≤x≤1時，設f(x)＝kx，又過點(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；當1<x<2時，f(x)＝2；當x≥2時，f(x)＝3.綜上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2