高一數(shù)學(xué)：《3-1 函數(shù)的概念及其表示》最新教研教案教學(xué)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)分段函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解分段函數(shù)的概念，會(huì)求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫(huà)出分段函數(shù)的圖象．(重點(diǎn)，難點(diǎn))2．能在實(shí)際問(wèn)題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解分段函數(shù)的含義，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力．(重點(diǎn))1.通過(guò)分段函數(shù)求值問(wèn)題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．利用分段函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．分段函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．思考：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)還是幾個(gè)函數(shù)？提示：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．1．下列給出的式子是分段函數(shù)的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④B[結(jié)合分段函數(shù)的定義可知①④是分段函數(shù)，②③中不同對(duì)應(yīng)關(guān)系的定義域有重疊部分，故選B.]2．函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．[答案][0，＋∞)3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]分段函數(shù)的求值問(wèn)題【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)當(dāng)a≤－2時(shí)，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去．當(dāng)－2<a<2時(shí)，a2＋2a＝3即a2＋2a－3＝0∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合題意．當(dāng)a≥2時(shí)，2a－1＝3，即a＝2符合題意綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，a＝1或a＝2.1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟：(1)先對(duì)字母的取值范圍分類(lèi)討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過(guò)解方程求出字母的值．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．提醒：求某條件下自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn)．1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.8[∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函數(shù)的解析式【例2】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長(zhǎng)為7cm，腰長(zhǎng)為2eq\r(2)cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫(xiě)出左邊部分的面積y關(guān)于x[思路點(diǎn)撥]可按點(diǎn)E所在的位置分E在線段AB，E在線段AD及E在線段CD三類(lèi)分別求解．[解]過(guò)點(diǎn)A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當(dāng)點(diǎn)F在BG上，即x∈[0,2]時(shí)，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當(dāng)點(diǎn)F在GH上，即x∈(2,5]時(shí)，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即x∈(5,7]時(shí)，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖象如圖所示．1．當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫(huà)．2．通過(guò)本例讓學(xué)生初步嘗試用分段函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)．2．某市“招手即?！惫财?chē)的票價(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5公里以?xún)?nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按照5公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為20公里，請(qǐng)根據(jù)題意，寫(xiě)出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象．[解]設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，定義域?yàn)?0,20]．由題意得函數(shù)的解析式如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖象如圖所示：分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．函數(shù)f(x)＝|x－2|能用分段函數(shù)的形式表示嗎？能否作出其圖象？提示：能．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．2．結(jié)合探究點(diǎn)1，你能說(shuō)一下畫(huà)含有絕對(duì)值的函數(shù)圖象的方法嗎？提示：含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．【例3】已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫(huà)出f(x)的圖象；(3)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的值域．[思路點(diǎn)撥](1)分－2<x<0和0≤x≤2兩種情況討論，去掉絕對(duì)值可把f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；(2)利用(1)的結(jié)論可畫(huà)出圖象；(3)由(2)中得到的圖象，找到圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得值域．[解](1)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域?yàn)閇1,3)．把本例條件改為“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3個(gè)問(wèn)題[解](1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))(2)函數(shù)的圖象如圖所示．(3)由圖可知，f(x)的值域?yàn)閇－2，＋∞)．分段函數(shù)圖象的畫(huà)法作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.1．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．2．分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．3．分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫(huà)出圖象，要注意確定每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象．1．思考辨析(1)分段函數(shù)由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成．()(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函數(shù)．()[答案](1)×(2)√2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)D[∵f(3)＝eq\f(2,3)≤1，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9).]3．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其解析式為_(kāi)_______．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))[當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f(x)＝kx，又過(guò)點(diǎn)(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3.綜上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2