概率及概率密度分布函數(shù)

第1章

概率及概率密度分布函數(shù)概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!系統(tǒng)狀態(tài)宏觀量系統(tǒng)狀態(tài)微觀量統(tǒng)計(jì)方法最基礎(chǔ)的概念概率概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!§1.1概率的基本概念

統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性概率的定義

概率的基本性質(zhì)

概率的簡(jiǎn)單計(jì)算概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件確定性事件:可以被預(yù)言的事情.例如，做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的單擺，只要知道其固有頻率及初始條件，我們就能計(jì)算出擺球在任何時(shí)刻的位置和速度。隨機(jī)現(xiàn)象

:只能確定影響它們演化的一部分因素，還有一部分因素是無(wú)法確定，或無(wú)法控制的，所以，現(xiàn)象發(fā)展的結(jié)局不是唯一的，到底如何，事先不能預(yù)言。例如，容器中的氣體，盡管我們可以控制容器的容積、氣體的壓強(qiáng)、乃至其溫度，但我們無(wú)法控制氣體分子在熱運(yùn)動(dòng)中怎樣和其他分子、又怎樣和容器壁去碰撞，因而無(wú)從預(yù)言各個(gè)分子每一時(shí)刻的空間位置與速度，我們說(shuō)，氣體中一個(gè)分子所在的空間位置及其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何，是一種隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)事件:在一定條件下，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可以出現(xiàn)的多種結(jié)果中的每一個(gè)，就叫做一個(gè)隨機(jī)事件。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!基本隨機(jī)事件組內(nèi)的事件具有互不相容性:在單次實(shí)驗(yàn)中,若上述事件B發(fā)生了，也就是A1、A2...、Am中的任何一個(gè)發(fā)生了，而A1、A2...、Am中的任兩個(gè)事件絕不可能在單次實(shí)驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生，我們稱它們是互不相容的?；倦S機(jī)事件組內(nèi)的事件都是互不相容的。一般地，凡不可能在單次實(shí)驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)隨機(jī)事件，就是互不相容的隨機(jī)事件。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!隨機(jī)現(xiàn)象基本隨機(jī)事件基本事件組復(fù)雜隨機(jī)事件……A1A2AnAm-1Am概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!如圖,一個(gè)帶有玻璃面板的大盒內(nèi)用豎直隔板分成許多等寬的小格，另有一斜放著的、底板面釘有許多小鐵釘?shù)哪静?，其開口處與大盒口的一邊相接。常叫這種裝置為伽爾頓板。伽爾頓板令小球從釘板上方滾下，它要與板上鐵釘進(jìn)行無(wú)規(guī)則的碰撞，在下滾途中受力的復(fù)雜細(xì)節(jié)是失去人為控制的，尤其在把不止一個(gè)小球乃至大量小球同時(shí)或連續(xù)沿釘板撒下時(shí)，我們不可能一一控制它們落下的初始狀態(tài)，而且它們除與鐵釘碰撞還要彼此碰撞，更使得每個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)。盡管各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)都遵從牛頓力學(xué)定律，但它們離開釘槽時(shí)的速度無(wú)論在大小還是方向上都具有偶然性，以致，就單個(gè)小球來(lái)說(shuō)，它滾下后究竟會(huì)落在大木盒中的哪一個(gè)格子里，是不能預(yù)知的。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!伽爾頓板實(shí)驗(yàn)結(jié)論:大數(shù)量小球落在大盒各格中的分布不再具有偶然性，它說(shuō)明，在一定條件下，對(duì)大量隨機(jī)事件的整體而言，具有較穩(wěn)定的特性，是有必然規(guī)律可循的，這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!統(tǒng)計(jì)規(guī)律性一定伴隨有所謂“漲落”現(xiàn)象。在伽爾頓板實(shí)驗(yàn)中，如果我們每次都逐格清點(diǎn)落入的小球數(shù)目，并做下記錄，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每次實(shí)驗(yàn)中球數(shù)的實(shí)際分布與經(jīng)極多次實(shí)驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)算得的平均分布是有偏差的。這就叫做“漲落”，而且用來(lái)投撒的小球總數(shù)較少時(shí)，這種“漲落”現(xiàn)象就很明顯。大量隨機(jī)事件所必然遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是依存于個(gè)別隨機(jī)事件的偶然性的，漲落現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性相伴正表明了偶然性與必然性之間的辯證關(guān)系。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!1.1.4概率的基本性質(zhì)

1.任意一事件的概率PA,必有0≤PA≤1.PA=1意味著A事件在給定的條件下一定發(fā)生,是必然事件；PA=0則是A事件在給定的條件下根本不可能發(fā)生，這是不可能事件。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!3.基本隨機(jī)事件組中各事件的概率歸一.(概率的歸一化條件)若A1至An構(gòu)成一隨機(jī)基本事件組,亦即包含了某隨機(jī)現(xiàn)象所有可能獨(dú)立出現(xiàn)的全部基本隨機(jī)事件,那么A便是必然事件:概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!1.1.5概率的簡(jiǎn)單計(jì)算一.古典式隨機(jī)現(xiàn)象的概率的簡(jiǎn)單計(jì)算:古典式隨機(jī)現(xiàn)象要滿足以下兩個(gè)條件：(1)該隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)事件組的事件數(shù)目有限；(2)每一基本隨機(jī)事件發(fā)生的概率相等。例一:擲一只勻質(zhì)、形狀規(guī)則的骰子，它有六個(gè)對(duì)稱的面，擲出去究竟出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是幾，有六種等概率的可能，這是一個(gè)古典式隨機(jī)現(xiàn)象。例二:容器內(nèi)有N個(gè)氣體分子，若以一假想截面將容器分為容積相等的A、B兩部分，每個(gè)分子都可自由往來(lái)于A、B之間，倘視N個(gè)分子是可以彼此區(qū)分的，但又各自獨(dú)立地以同樣方式熱運(yùn)動(dòng)著，那么這些氣體分子在A、B兩部分中的分布共有種可能，而且每種分布出現(xiàn)的概率都相等。這又是一個(gè)古典式隨機(jī)現(xiàn)象。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!§1.2隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)![例1-2-1]設(shè)盒中有3個(gè)白球，兩個(gè)黑球，從中隨便摸取3個(gè)球?？疾?在摸取的3個(gè)球中黑球的數(shù)目?，F(xiàn)給這5個(gè)球編號(hào)，(1)、(2)、(3)號(hào)為白球，(4)、(5)號(hào)為黑球。則“摸取3個(gè)球”的可能結(jié)果w有十種，見表1.2.1列，給出了十種可能里各自摸到的三球的編號(hào)。設(shè)隨機(jī)變量X(w)為每種可能情形下摸到黑球的數(shù)目，其值也列于表1.2.1中。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)![例1-2-2]硬幣的一面刻著國(guó)徽，另一面刻著幣值。拋擲一枚硬幣，它落地時(shí)哪一面朝上是隨機(jī)的。我們可以事先約定，令刻著國(guó)徽的一面朝上對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量X=1，而刻有幣值的一面朝上對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量X=0。這樣，對(duì)于并不顯現(xiàn)為某某數(shù)量如何的隨機(jī)事件，也照樣能用隨機(jī)變量把它們標(biāo)識(shí)出來(lái)。[例1-2-3]氣體分子處于不停的、無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，任何單個(gè)分子所在的空間位置及運(yùn)動(dòng)速度都在隨機(jī)地瞬息萬(wàn)變?？梢园褑蝹€(gè)分子的速率取做隨機(jī)變量，或者把它的速度分量取做隨機(jī)變量組，還可以把它的空間位置坐標(biāo)取做隨機(jī)變量組。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!1.2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布為了完全地描述一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，只知道其隨機(jī)變量X可取哪些值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要知道X取各個(gè)值的概率。設(shè)可能取的值是，相應(yīng)的概率分別是Pi=P(X=xi)(i=1,2,…,n)經(jīng)適當(dāng)選定隨機(jī)變量，還可以把不同隨機(jī)事件的概率P寫成各事件相應(yīng)的隨機(jī)變量X的函數(shù)：P=f(x)概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!一維“無(wú)規(guī)行走(Randomwalk)”問(wèn)題[例1-2-4]一條筆直的東西走向的狹街上立著一電線桿，桿下有一醉漢沿街踉踉蹌蹌忽東忽西地走路。假定他每一步的步長(zhǎng)都是l，但各步朝東還是朝西不受上一步影響，是完全隨機(jī)的。試求他從電線桿處出發(fā)走了N步之后，離電線桿距離為x的概率?！盁o(wú)規(guī)行走”是有名的概率問(wèn)題。它可以不限于一維，也可以每步長(zhǎng)不相等，那就要涉及更多個(gè)隨機(jī)變量。物理中有許多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型就是“無(wú)規(guī)行走”。例如布朗粒子的運(yùn)動(dòng)猶如醉漢行路，用“無(wú)規(guī)行走”模型來(lái)討論它們的方均位移就很合適。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量是在實(shí)數(shù)軸的某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值連續(xù)型隨機(jī)變量取某一確定值的概率必然為零概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!再取?v=50米·秒－1，仍用各速率區(qū)間所對(duì)應(yīng)的分子比率來(lái)做圖，如圖中虛線所示。在0～700米·秒－1的速率范圍內(nèi)所做出的十四個(gè)小矩形的高度之和仍應(yīng)為92％，但其上方輪廓線較先前七個(gè)矩形的明顯地降低了。本來(lái)，速率間隔取得足夠小才能細(xì)致地描寫速率分布的情況，但如果照上法，以為縱橫坐標(biāo)畫小矩形來(lái)做圖示，則必定是取得越小，小矩形數(shù)目越多，雖然它們的高度之和不變，但它們的上方輪廓線隨之縮小發(fā)生顯著的下移，越來(lái)越貼近橫軸。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!思路[B]：先近似認(rèn)為分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的個(gè)分子是平均分布在該速率區(qū)間內(nèi)的每單位速率間隔上的，那么分布在內(nèi)每單位速率間隔上的分子數(shù)比率就是。下面，改用為縱坐標(biāo)來(lái)描繪速率介于0～700米·秒－1之間的分子按速率的分布情況。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!圖1-2-2分子按速率的分布概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!圖1-2-3速率分布曲線概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!(3).從f(v)的引入過(guò)程不難推知圖1-2-3中速率分布曲線下的面積應(yīng)當(dāng)是1，寫成積分形式，就是概率密度分布函數(shù)的歸一化條件：變量的概率密度分布函數(shù)的歸一化條件為：(積分遍及的取值范圍)概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!1.3.1統(tǒng)計(jì)平均值1、離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值普遍適用于計(jì)算離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值的公式：加權(quán)平均----不僅要考慮隨機(jī)變量的取值，還要考慮到它取的那些值所相應(yīng)的概率。

概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!2、連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值把這結(jié)果在整個(gè)速率變化范圍內(nèi)積分，便得到個(gè)分子的速率總和：

接下來(lái)，容易得到分子熱運(yùn)動(dòng)的方均速率一般地，已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)，則與該隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的函數(shù)之平均為：積分遍及的取值范圍。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!1.3.2圍繞統(tǒng)計(jì)平均值的漲落統(tǒng)計(jì)規(guī)律必伴隨有漲落現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象單次試驗(yàn)的觀測(cè)值與其統(tǒng)計(jì)平均值之差或大或小、或正或負(fù)，是隨機(jī)變化的。各次觀測(cè)所得數(shù)據(jù)的波動(dòng)狀況，也是反映客觀現(xiàn)象的一個(gè)重要方面，于是我們有必要來(lái)研究如何表征隨機(jī)變量取值的分散程度.

概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!只在相對(duì)漲落很小時(shí)，統(tǒng)計(jì)平均值才有意義如果研究的對(duì)象是由極大數(shù)目N個(gè)相同的獨(dú)立或近獨(dú)立部分所組成,例如一定量氣體由N個(gè)分子所組成，屬于這對(duì)象的一些物理量是它各獨(dú)立部分相應(yīng)量之和，例如質(zhì)量、能量、總磁矩等，就具有這樣的可加性，熱力學(xué)中稱之為“廣延量”。這些廣延量的相對(duì)誤差比例于

概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!本章小結(jié)在確定條件下，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)事件多次發(fā)生時(shí)，就表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每一隨機(jī)事件的發(fā)生都有一定的概率；概率分布函數(shù)(對(duì)離散型隨機(jī)變量)或概率密度分布函數(shù)(對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量)給出各種隨機(jī)事件發(fā)生概率的分布情況；隨機(jī)現(xiàn)象所表現(xiàn)出的各種平均結(jié)果，由相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均給出；由于統(tǒng)計(jì)規(guī)律性離不開個(gè)別隨機(jī)事件的偶然性，所以統(tǒng)計(jì)規(guī)律必然伴隨有漲落現(xiàn)象。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，在單次實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的不能再“分解”的事件，叫做基本隨機(jī)事件。例如擲骰子可能出現(xiàn)不同點(diǎn)數(shù)這一隨機(jī)現(xiàn)象，在單次實(shí)驗(yàn)中分別出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)，就是它的六個(gè)基本隨機(jī)事件。一隨機(jī)現(xiàn)象的所有基本隨機(jī)事件構(gòu)成一基本事件組.擲骰子的基本事件組就由上述六個(gè)基本事件而組成。復(fù)雜隨機(jī)事件:某一隨機(jī)事件B是由隨機(jī)事件A1、A2、...、Am所構(gòu)成，即:當(dāng)且僅當(dāng)這m個(gè)事件中有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件B才發(fā)生。這樣的隨機(jī)事件B就屬于復(fù)雜隨機(jī)事件了。

還以擲骰子為例，我們可以取“擲出的點(diǎn)數(shù)等于或大于5”為一隨機(jī)事件，記為B。顯然，不論擲出的點(diǎn)數(shù)是5還是6，都算做事件B發(fā)生了。我們稱B事件是由“擲出的點(diǎn)數(shù)為5”這一基本隨機(jī)事件與另一“擲出的點(diǎn)數(shù)為6”的基本隨機(jī)事件而構(gòu)成的.這時(shí),隨機(jī)事件B就屬于復(fù)雜隨機(jī)事件了.概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!兩個(gè)隨機(jī)事件具有各自獨(dú)立性:有時(shí)，對(duì)于選定的隨機(jī)事件A與B，其中之一是否發(fā)生并不受另一個(gè)是否發(fā)生所影響，則稱A與B是互相獨(dú)立的。例如，同時(shí)擲兩只骰子，其一是否出現(xiàn)5點(diǎn)與另一個(gè)是否出現(xiàn)3點(diǎn)毫無(wú)聯(lián)系，兩骰子分別出現(xiàn)5點(diǎn)與3點(diǎn)這兩個(gè)隨機(jī)事件盡管可以同時(shí)發(fā)生，卻互相獨(dú)立。即便拿一只骰子來(lái)說(shuō)，“這次投擲是否出現(xiàn)5點(diǎn)”與“下次投擲是否出現(xiàn)3點(diǎn)”也是不相干的，盡管是兩次相繼的投擲，這兩個(gè)隨機(jī)事件仍是各自獨(dú)立的。

再以我們?cè)诒菊n程中將特別關(guān)注的氣體分子的速度為例，一分子速度的X分量介于怎樣的大小區(qū)間與它的Y分量介于怎樣的大小區(qū)間，Z分量又介于怎樣的大小區(qū)間，是互相獨(dú)立的。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!1.1.2統(tǒng)計(jì)規(guī)律性演示實(shí)驗(yàn)對(duì)大量隨機(jī)事件的整體有統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循.伽爾頓板實(shí)驗(yàn):概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!一.現(xiàn)保持木槽的傾斜度不變，先把少量小球從釘板上撒下，它們將滾落在盒中各格里而有一分布。以盡量相同的方式將同樣數(shù)量的小球再撒下一次，又一次，…，發(fā)現(xiàn)：每次小球在各格中的分布是有明顯差異的。二.現(xiàn)改撒大量小球，盒中各格里接到小球的數(shù)目是不相等的，越靠?jī)蛇吀窭锏男∏驍?shù)目越少，中間有一格中落入小球數(shù)目最多。究竟是哪一格中最多這與木槽的傾斜度有關(guān)。用同樣多的小球再撒一次，按上面所說(shuō)單個(gè)小球運(yùn)動(dòng)軌跡不可控制，以致落入盒中哪一格完全具有偶然性來(lái)推想，或許仍會(huì)象少量小球撒下時(shí)那樣，出現(xiàn)明顯不同于前次的分布。但事實(shí)上，只要木槽傾斜度固定，球的數(shù)目足夠多，且總數(shù)保持不變，撒球的方式也盡量相同，那么多次實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果彼此都非常接近。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!統(tǒng)計(jì)規(guī)律性包容著單個(gè)隨機(jī)事件的偶然性:試將大量小球中的一只染成與眾不同的顏色，在多次實(shí)驗(yàn)得到各格小球數(shù)有穩(wěn)定分布的同時(shí)，這只可被識(shí)別的染色小球出現(xiàn)在哪一格中卻完全沒(méi)有一定。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!1.1.3隨機(jī)事件發(fā)生的可能性----概率的定義:概率是統(tǒng)計(jì)規(guī)律中最基本的概念。概率----給出一隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有多大。在確定的條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀測(cè)實(shí)驗(yàn)，將看到該現(xiàn)象中各種可能的隨機(jī)事件。設(shè)實(shí)驗(yàn)的總次數(shù)為N，其中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為NA，定義

為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。這頻數(shù)會(huì)依N不同有所變化；但隨著N的增大，由于偶然因素所起的作用相對(duì)降低，隨機(jī)現(xiàn)象本身的固有特性變得明顯，以致vA會(huì)穩(wěn)定在某一值附近而只有越來(lái)越小的起伏。當(dāng)N較大時(shí)，頻數(shù)趨于一極限：

PA就叫事件A出現(xiàn)的概率。顯然，概率反映了隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性，PA越大，事件A出現(xiàn)的可能性就越大。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!2.加法定理設(shè)A1、A2為兩互不相容事件，若A1或者A2出現(xiàn)時(shí)都可認(rèn)為事件A已出現(xiàn)，稱A為A1與A2的“或”(或稱為“和”).表示為:A=A1+A2或A=A1∪A2。則有:PA=PA1+PA2式中PA、

PA1和PA2分別為出現(xiàn)A、單獨(dú)出現(xiàn)A1和單獨(dú)出現(xiàn)A2的概率。若A為若干個(gè)互不相容隨機(jī)事件的“或”:A=A1∪A2∪…∪An則:概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!4.乘法定理設(shè)A、B兩事件是相容的，把A、B都發(fā)生的事件稱之為C，換句話說(shuō)，C是在A和B都出現(xiàn)時(shí)方才實(shí)現(xiàn)的事件，簡(jiǎn)單地稱C是A和B的“交”(也稱為“積”).表示為:C=AB或C=A∩B則有:PC=P(A∩B)=PA·P(B|A)其中,PA是A事件發(fā)生的概率;P(B|A)是在A發(fā)生的前提下B事件出現(xiàn)的概率，叫“條件概率”

.當(dāng)A、B兩事件是互相獨(dú)立的，即B出現(xiàn)的概率跟是不是附加上A出現(xiàn)這一條件無(wú)關(guān)，反之亦然,則有：P(B|A)=PB;P(A|B)=PA.

此時(shí),PC=P(A∩B)=PA·PB兩相容的獨(dú)立事件都出現(xiàn)的概率，等于兩獨(dú)立事件單獨(dú)出現(xiàn)的概率之乘積，這叫做乘法定理。推廣到計(jì)算多個(gè)相容的獨(dú)立事件都出現(xiàn)的概率：概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!設(shè)一古典式隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)事件組中含有n個(gè)基本事件，那么依古典式隨機(jī)現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件，易得每一基本事件發(fā)生的概率:

--(1.1.8)如果該隨機(jī)現(xiàn)象的某個(gè)復(fù)雜隨機(jī)事件c是由m個(gè)基本事件復(fù)合而成的，則c的概率:

--(1.1.9)在具體計(jì)算中，必須先適當(dāng)?shù)囟x基本事件組，并由(1.1.8)和(1.1.9)式可見，關(guān)鍵是計(jì)算n和m，這需要用到數(shù)學(xué)中有關(guān)排列、組合的公式。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!1.2.1隨機(jī)變量為了討論隨機(jī)事件與相應(yīng)概率之間的關(guān)系，首先要把隨機(jī)事件數(shù)值化，于是，引進(jìn)隨機(jī)變量.定義:把在確定條件下的隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)隨機(jī)事件w都唯一地與一個(gè)實(shí)數(shù)值X(w)相對(duì)應(yīng)，則稱實(shí)數(shù)值變量X(w)為一個(gè)隨機(jī)變量。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!表1.2.1隨機(jī)事件w與隨機(jī)變量X(w)wX(w)(1)(2)(3)0(1)(2)(4)1(1)(2)(5)1(1)(3)(4)1(1)(3)(5)1(2)(3)(4)1(2)(3)(5)1(1)(4)(5)2(2)(4)(5)2(3)(4)(5)2這里，我們看到，所選取的隨機(jī)變量可以取0，1，2三個(gè)實(shí)數(shù)值，區(qū)分出了三種不同的復(fù)雜隨機(jī)事件。而的每種可能，是在給定條件下，符合明確要求的一個(gè)基本隨機(jī)事件，它對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定值；但的一個(gè)確定值卻可以對(duì)應(yīng)不止一個(gè)基本隨機(jī)事件，例如，X=1就對(duì)應(yīng)著的六個(gè)不同的可能情況。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!隨機(jī)變量分類:離散型隨機(jī)變量:隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量組)所取的值可被一一列舉出來(lái)；非離散型隨機(jī)變量:隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量組)所取的值不能被一一列舉出來(lái):在例1-2-3中，分子位置坐標(biāo)可以取某一范圍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)值，不盡窮舉。分子的速率和速度三個(gè)分量取值也是如此。實(shí)際遇到的非離散型隨機(jī)變量大都有很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，按數(shù)學(xué)家定義，有連續(xù)型隨機(jī)變量之稱概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!概率分布----二項(xiàng)式分布有一些隨機(jī)現(xiàn)象，在單次試驗(yàn)觀測(cè)中所出現(xiàn)的結(jié)果只可能有兩種，就是說(shuō)，它的基本事件組中只包含兩個(gè)基本事件，記為A和B。設(shè)它們各自的概率分別為p和q，根據(jù)概率歸一化條件有

p+q=1(1.2.1)現(xiàn)在，要對(duì)這樣的一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的N次獨(dú)立試驗(yàn)結(jié)果來(lái)做整體的察看。求在這N次獨(dú)立試驗(yàn)序列中有n1次出現(xiàn)事件A(自然也就是有N-n1次出現(xiàn)B)的概率。由互不相容事件的“或”的概率加法定理:

(1.2.2)式中因子是以各種不同次序在N次實(shí)驗(yàn)中有n1次A出現(xiàn)的組合數(shù)，通常記為。利用二項(xiàng)式定理及(1-2-1)式，不難證明(1-2-2)式給出的概率分布函數(shù)滿足歸一化條件：也正由于概率分布函數(shù)PN(n1)恰是二項(xiàng)式展開中P的第n1次冪的通項(xiàng)，所以這一分布叫做二項(xiàng)式分布.概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)![解]基本隨機(jī)事件只有兩個(gè)：或朝東走，或朝西走。設(shè)他朝東、朝西走的概率分別是p和q。p可以等于、也可以不等于q，例如這條街路面是傾斜的，那么醉漢朝上坡方向走的概率就小于朝下坡方向走的概率；而若街道水平，則可以認(rèn)為p=q=1/2。先來(lái)看在他走過(guò)的N步中若有n1步是朝東走的這種可能性有多大。取n1為隨機(jī)變量，這正是要求得一維無(wú)規(guī)行走問(wèn)題的概率分布函數(shù)PN(n1)，而它恰應(yīng)是二項(xiàng)式分布：

(1-2-4)

(N-n1)是他向西走的步數(shù)，我們視之為n2。取x軸平行于街道，原點(diǎn)在電線桿所在處，從原點(diǎn)向東為正軸方向。既然走了N步之后距原點(diǎn)x遠(yuǎn)，那么必有：這里，N若為奇數(shù)，則x必為奇數(shù)倍步長(zhǎng)；而N若為偶數(shù)x則必為偶數(shù)倍步長(zhǎng)。容易解出：將所得的n1及n2代入分布函數(shù)(1-2-4)，便得到以為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)：(1-2-5)

------本題所要求的概率。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!示例：分子按速率分布情況的描述自擬一組氣體分子按速率分布的數(shù)據(jù)，見表1-2-2:思路[A]：先取速率間隔?v=100米·秒－1，用各速率區(qū)間所對(duì)應(yīng)的分子比率?N/N做圖，如圖1-2-1中實(shí)線所示。該圖中每一小矩形之寬表示所取速率間隔的大小，而矩形之高則表示分布在相應(yīng)速率區(qū)間內(nèi)的分子比率。由于速率大于700米·秒－1的分子比率大于8％，則速率介于0～700米·秒－1之間的分子比率即為92％。對(duì)圖1-2-1中用實(shí)線所畫的七個(gè)矩形之高求和，即得92％。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!圖1-2-1分子按速率分布的一種圖示概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!先取?v=100米·秒－1，如圖1-2-2，每一小矩形之寬仍表示速率間隔之大小，矩形之高則表示分布在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)、平均每單位速率間隔上的分子數(shù)比率。顯然相應(yīng)的矩形面積表示分子在區(qū)間內(nèi)的分子比率，那么圖1-2-2中用實(shí)線畫出的七個(gè)矩形面積之和應(yīng)等于92%。再將取為?v=50米·秒－1，所畫的十四個(gè)小矩形的上方輪廓線將圍繞以前的那七個(gè)小矩形的上方輪廓線上下起伏，如該圖虛線所示，且十四個(gè)小矩形的面積之和為92%。概率及概率密度分布函數(shù)共53頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!概率密度分布函數(shù)

當(dāng)速率間隔取得足夠小時(shí)，、，一排細(xì)窄矩形的上輪廓線將趨于一條光滑曲線，如圖1-2-3所示。這條曲線就代表了分布在附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)比率隨的變化情況，稱這曲線為速率分布曲線，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為: