2022-2023學年江蘇省泰州市五校高二年級上冊學期期中聯(lián)考模擬數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省泰州市五校高二上學期期中聯(lián)考模擬數(shù)學試題一、單選題1．拋物線的焦點到其準線的距離為（

）A． B． C．2 D．4C【分析】將拋物線方程化為標準式，即可得到，再根據(jù)的幾何意義得解；【詳解】解：拋物線，即，則，所以，所以拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：C2．已知直線l過點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或D【分析】對直線是否經(jīng)過原點分類，結(jié)合條件，求出的方程．【詳解】解：若直線經(jīng)過原點，滿足條件，可得直線的方程為，即；若直線不經(jīng)過原點，可設(shè)直線的方程為，把點代入可得，解得，直線的方程為，即，綜上可得直線的方程為或；故選：D．3．直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（

）A．6 B．8 C．2 D．4B【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點坐標，結(jié)合焦點弦長公式求解即可【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B4．點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（

）A． B． C．3 D．9C【分析】根據(jù)題意可得：直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心（－，－1），代入運算解得k＝4，再代入求圓的半徑．【詳解】圓＝0的標準方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標為（－，－1），半徑為因為點M，N在圓＝0上，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．5．已知、是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為，由余弦定理可得即，整理可得，所以，即.故選：B6．如果橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．B【分析】判斷點在橢圓內(nèi)，再借助“點差法”求出這條弦所在直線的斜率即可計算作答.【詳解】依題意，點在橢圓內(nèi)，設(shè)這條弦的兩個端點，由得：，又，于是得弦AB所在直線斜率，方程為：，即，所以這條弦所在的直線方程是.故選：B7．19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展.提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根.若圓上有且只有一個點在橢圓的蒙日圓上，則的值為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意得橢圓的蒙日圓方程為，進而得該圓與已知圓相切，再根據(jù)圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓的蒙日圓方程為，因為圓上有且只有一個點在橢圓的蒙日圓上，所以該圓與已知圓相切，又兩圓圓心間距離為，所以或（無解，舍去），解得故選：C.8．已知圓，圓，分別為圓和圓上的動點，為直線上的動點，則的最小值為A． B． C． D．A【分析】求出圓的圓心坐標和半徑，作出圓關(guān)于直線的對稱圓，連結(jié)，則與直線的交點即為點，此時點為與圓的交點關(guān)于直線對稱的點，為與圓的交點，的最小值為.【詳解】由圓，圓，可知圓圓心為，半徑為1，如圖，圓圓心為，半徑為2，圓關(guān)于直線的對稱圓為圓，連結(jié)，交于，則為滿足使最小的點，此時點為與圓的交點關(guān)于直線對稱的點，為與圓的交點，最小值為，而，的最小值為，故選A.本題考查了圓方程的綜合應(yīng)用，考查了利用對稱關(guān)系求曲線上兩點間的最小距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.二、多選題9．已知直線，其中，則（

）A．直線l過定點B．當時，直線l與直線垂直C．若直線l與直線平行，則D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)ABD【分析】A.令判斷；B.由兩直線的位置關(guān)系判斷；C.由兩直線的位置關(guān)系判斷；D.由直線的方程判斷.【詳解】對于A，當時，，與a的取值無關(guān)，故直線l過定點，所以A正確；對于B，當時，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，所以當時，直線l與直線垂直，所以B正確；對于C，若直線l與直線平行，則，解得或，所以C錯誤；對于D，當時，直線l的方程為，橫截距和縱截距分別是，1，互為相反數(shù)，所以D正確.故選：ABD10．在平面直角坐標系中，，，，，設(shè)點的軌跡為，下列說法正確的是（

）A．軌跡的方程為B．面積的最大值為C．的最小值為D．若直線與軌跡交于，兩點，則BD【分析】A選項：設(shè)，利用列等式，整理即可得到點的軌跡；B選項：根據(jù)幾何的思路得到當點縱坐標的絕對值最大時，面積最大時，然后求面積即可；C選項：根據(jù)幾何的思路得到，然后求最小值即可；D選項：利用勾股定理求弦長即可.【詳解】設(shè)點，化簡得，，故A錯誤；當點縱坐標的絕對值最大時，面積最大時，此時，故B正確；設(shè)軌跡的圓心為，半徑為，所以，，點在圓內(nèi)，所以，故C錯誤；圓心到直線的距離為，，，故D正確．故選：BD.11．已知橢圓焦點分別為為坐標原點，直線與交于，兩點，點為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，直線與垂直B．點在直線上C．的取值范圍為D．存在點，使得BC【分析】解：設(shè)，聯(lián)立，，結(jié)合韋達定理求得點M的坐標，然后逐項判斷.【詳解】解：設(shè)，聯(lián)立，可得，，所以，所以，，所以點的坐標為.則，，所以直線與直線不垂直，A錯誤；顯然點在直線上，B正確；當時，，此時與相切，取切點，則，故的取值范圍為，C正確；由橢圓方程得，故，故，不存在點，使，D錯，故選：BC.12．拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．當時，C．若，則的取值范圍為D．在直線上存在點，使得BC【分析】對A，根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解最小值即可；對B，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系可得直線傾斜角，再根據(jù)拋物線焦點弦長公式求解即可；對C，根據(jù)拋物線的定義可得，再分析臨界條件求解即可；對D，【詳解】對A，如圖，由拋物線的定義，的長度為到準線的距離，故的最小值為與到準線距離之和，故的最小值為到準線距離，故A錯誤；對B，不妨設(shè)在第一象限，分別過作準線的垂線，垂足，作.則根據(jù)拋物線的定義可得，故.故，所以.故B正確；對C，過作垂直于準線，垂足為，則，由圖易得，故隨的增大而增大，當時在點處，此時取最小值1；當與拋物線相切時最大，此時設(shè)方程，聯(lián)立有，，此時解得，不妨設(shè)則方程，此時傾斜角為，.故的取值范圍為，故C正確；對D，設(shè)，中點，故到準線的距離，又，故，故以為直徑的圓與準線相切，又滿足的所有點在以為直徑的圓上，易得此圓與無交點，故D錯誤；故選：BC三、填空題13．的頂點，，，則BC邊上的中線所在的直線方程是____________．【分析】由中點坐標公式求出BC中點坐標，由中線過點A，利用兩點式求出直線方程.【詳解】由中點坐標公式，BC中點坐標為，BC邊上的中線過點A，由直線兩點式方程，得，化為一般式方程為:，故14．橢圓與雙曲線有公共點P，則P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成三角形的周長為_________．24【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線方程得到橢圓與雙曲線具有共同的焦點，，從而得到P與雙曲線兩焦點的距離之和，再根據(jù)，求出周長.【詳解】由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點，，由橢圓定義可知：，故P與雙曲線兩焦點的距離之和為14，又，因此P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成三角形的周長為.故2415．過點且與圓相切的直線的方程是______．或【分析】當直線斜率不存在時，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當直線斜率存在時，設(shè)斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當直線l的斜率不存在時，因為過點，所以直線，此時圓心到直線的距離為1=r，此時直線與圓相切，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，所以，即，因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故或四、雙空題16．探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出．根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標系中，拋物線，一條光線經(jīng)過，與軸平行射到拋物線上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過射出，則________，光線從點到經(jīng)過的總路程為________．

【分析】由點與點的縱坐標相同和韋達定理可得，利用拋物線的定義可求得總路程.【詳解】如圖，設(shè)第一次射到拋物線上的點記為，第二次射到拋物線上的點記為，易得，因為，所以直線的方程為．聯(lián)立消去整理得，可設(shè)，顯然和是該方程的兩個根，則，所以．（方法一）光線從點到經(jīng)過的總路程為．（方法二）設(shè)拋物線的準線為，則其方程為，分別過點，做準線的垂線，垂足分別為，，則，，所以，故光線從點到經(jīng)過的總路程為．故；20.五、解答題17．（1）已知雙曲線的漸近線方程是，焦點是，，求雙曲線的標準方程.（2）若一個圓過點且與圓相切于點，求此圓的方程.（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為，列出方程組，解之即得解；（2）設(shè)所求圓的圓心為D，則D為PM的垂直平分線與直線CM的交點，求出PM的垂直平分線與直線CM的方程即得解.【詳解】（1）焦點在x軸上，設(shè)雙曲線方程為，由漸近線方程可知：，又因為，故由可知，所以雙曲線的標準方程為.根據(jù)題意，，設(shè)所求圓的圓心為D，則D為PM的垂直平分線與直線CM的交點.直線PM的斜率為，則PM的垂直平分線所在直線方程的斜率為1，PM的中點坐標為，則PM的垂直平分線所在直線方程為，即，直線CM的斜率為，則直線CM的方程為，即，由，得又因為，所以所求圓的方程為18．已知橢圓的兩個焦點分別為，，且橢圓經(jīng)過點．（1）求橢圓方程；（2）若點為橢圓上一動點，則點到直線的最小距離．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，利用代入法，結(jié)合橢圓中的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)橢圓的切線性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：（1）橢圓的焦點為，①又點在上，②，而③聯(lián)立①②③得，橢圓方程為（2）設(shè)與橢圓相切聯(lián)立方程組：，顯然易知當時，與距離最近，.19．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.(1)求拋物線方程；(2)直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標原點，若，求實數(shù)的值；(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達定理求解.【詳解】（1）解：由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.20．已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．(1)過點的直線被圓M截得的弦最短，求的方程；(2)若的外接圓圓心為C，試問：當P運動時，圓C是否過定點？若過定點，求出所有的定點的坐標；若不過定點，請說明理由；(1)(2)圓過定點，.【分析】（1）判斷點Q在圓M內(nèi)，進而可得過點且與MQ垂直的弦長最短，然后根據(jù)斜率公式求出的斜率即可求解；（2）設(shè)，由，進而可得圓C的方程為，即，從而即可求解.【詳解】（1）解：因為圓，，所以，所以Q在圓內(nèi)，所以過點且與MQ垂直的弦長最短，因為圓心M點坐標為，所以，所以所求直線的斜率k＝1，所以的方程為，即；（2）解：由題意，設(shè)，因為，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓N以MP為直徑的圓，其方程為，即，由，解得或，所以圓過定點，．21．已知點，，設(shè)動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若動直線l經(jīng)過點，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．（1）；（2）直線AC和BD的斜率之比為定值．【分析】（1）設(shè)，依據(jù)兩點的斜率公式可求得曲線E的方程．（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線AC的斜率，直線BD的斜率，并代入計算，可得其定值.【詳解】解：（1）設(shè)，依題意可得，所以，所以曲線E的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線l：，，，由，可得，則，，因為直線AC的斜率，直線BD的斜率，因為，所以，所以直線AC和BD的斜率之比為定值．22．設(shè)橢圓的左右焦點分別為是該橢圓C的右頂點和上頂點，且，若該橢圓的離心率為(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l與橢圓C交于兩點，且與x軸交于點若直線與直線的傾斜角互補，求的面積的最大值.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件中離心率已知，結(jié)合建立方程組求得，得到橢圓的標準方程；（2）根據(jù)兩條直線的傾斜角互補，建立斜率關(guān)系，并用坐標進行表示.然后設(shè)定直線方程與橢圓聯(lián)立后消元化