2022-2023學(xué)年江西省宜春市豐城市高二年級上冊學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省宜春市豐城市高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．空間中垂直于同一條直線的兩條直線（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．以上均有可能D【分析】在正方體里對題干條件一一分析即可得到.【詳解】如圖所示，，，相交；，，平行；，，互為異面直線；故選：D.2．如圖所示的直觀圖的平面圖形ABCD是A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四邊形 D．平行四邊形B【詳解】試題分析：由直觀圖可知，BC，AD兩條邊與橫軸平行且不等，邊AB與縱軸平行，得到AB與兩條相鄰的邊之間是垂直關(guān)系，而另外一條邊CD不和上下兩條邊垂直，得到平面圖形是一個(gè)直角梯形．解：根據(jù)直觀圖可知，BC，AD兩條邊與橫軸平行且不等，邊AB與縱軸平行，∴AB⊥AD，AB⊥BC∴平面圖形ABCD是一個(gè)直角梯形，故選B．平面圖形的直觀圖．3．若直線平分圓，則的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2A【分析】將圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，依據(jù)題意可知直線過圓心，代點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】圓，即，圓心坐標(biāo)為由題可知：直線過圓心，所以故選：A4．若直線與平行，則與間的距離為（

）A． B．C． D．B【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解】∵直線與平行，∴且，解得．∴直線與間的距離．故選：B．5．正方體的全面積是，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)正方體的全面積求得邊長，由此求得體對角線長，也即外接球的直徑，由此求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)正方體的邊長為，則，所以，，所以正方體的體對角線長為，所以正方體外接球的半徑為，球的表面積為.故選：B本小題主要考查正方體表面積有關(guān)計(jì)算，考查正方體外接球表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6．已知圓，則原點(diǎn)在（

）A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．圓上或圓外B【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，代入原點(diǎn)可判斷.【詳解】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)?，所以，即原點(diǎn)在圓外.故選：B.7．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】確定曲線是半圓（右半圓），直線過定點(diǎn)，求出直線過點(diǎn)時(shí)的斜率，再求得直線與半圓相切時(shí)的斜率，由圖形可得的范圍．【詳解】直線恒過定點(diǎn)，曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，．如圖，作出半圓，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為．由圖形可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選：A．8．橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）C設(shè)P（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠F1PF2是鈍角推斷出PF12+PF22＜F1F22代入P坐標(biāo)求得x和y的不等式關(guān)系，求得x的范圍．【詳解】解：設(shè)P（x，y），由橢圓方程得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且∠F1PF2是鈍角??（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20?x2+5+y2＜10?x2+4（1﹣）＜5?x2＜．所以．故選：C．結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，中，為銳角，為直角，為鈍角．二、多選題9．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段的長度可能為（

）A． B． C．12 D．14BC【分析】直線過定點(diǎn)，在圓內(nèi)，易知直線與垂直時(shí)弦長最短，直線過圓心時(shí)弦長最長．【詳解】直線過圓C內(nèi)一定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過圓C的圓心時(shí)，有最大值12；當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，有最小值，所以．故選：BC．10．長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（

）A．長方體的表面積為20B．長方體的體積為6C．沿長方體的表面從A到的最短距離為D．沿長方體的表面從A到的最短距離為BC由題意，可利用柱體體積公式和多面體表面積公式進(jìn)行計(jì)算，沿表面最短距離可將臨近兩個(gè)面?zhèn)让嬲归_圖去計(jì)算，即可求解正確答案.【詳解】長方體的表面積為，A錯(cuò)誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面和側(cè)面展開，

則有，即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時(shí)的最短距離是；如圖（3）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時(shí)的最短距離是；如圖（4）所示，將側(cè)面和底面展開，

則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時(shí)的最短距離是.因?yàn)?，所以沿長方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確.故選：BC.本題考查長方體體積公式、表面積公式和沿表面的最短距離，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．BC【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時(shí)不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，∵點(diǎn)到直線的距離相等，，解得，或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得綜上，直線的方程可能為或故選：BC．12．如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（點(diǎn)A不落在底面BCDE內(nèi)），若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，以下命題正確的是（）A．四棱錐體積最大值為 B．線段BM長度是定值C．MB∥平面A1DE一定成立 D．存在某個(gè)位置，使ABC【分析】對選項(xiàng)A，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意得到當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大，再計(jì)算四棱錐體積即可判斷A正確.對選項(xiàng)B，對選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)等角定理得到，再利用余弦定理即可判斷B正確.對選項(xiàng)C，首先根據(jù)題意易證平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可判斷C正確，對選項(xiàng)D，連接，根據(jù)在平面的射影在上，與不垂直，即可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對選項(xiàng)A，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大.因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?，所以.所以四棱錐體積最大值為，故A正確.對選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以四邊形為菱形，所以，，所以，，，所以，故B正確.對選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故C正確.對選項(xiàng)D，連接，如圖所示：因?yàn)樵谄矫娴纳溆霸谏希?，，所以與不垂直，所以與不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題13．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為3cm和4cm，將這個(gè)直角三角形以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積是_______.π【分析】由題意，旋轉(zhuǎn)體為底面重合的兩個(gè)圓錐，根據(jù)題干數(shù)據(jù)計(jì)算底面半徑和高，利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)直角三角形為，其中為直角，，故，，將這個(gè)直角三角形以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，可得到如圖所示的底面重合的兩個(gè)圓錐，圓錐底面圓的半徑為，兩個(gè)圓錐的高分別為，，故旋轉(zhuǎn)體的體積.故答案為.14．設(shè)點(diǎn)，若直線的斜率等于直線的斜率的3倍，則實(shí)數(shù)m的值為___________.4【分析】由題意知直線的斜率存在，利用斜率公式求得、，列式解得的值.【詳解】解：依題意知直線的斜率存在，則，由得，所以.故415．已知正方體棱長為4.若M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為________.【分析】先由判斷出點(diǎn)軌跡，再求出與平面所成角為，要使最大，則最小，結(jié)合點(diǎn)軌跡求出最小值即可.【詳解】連接，如圖，易知平面，平面，所以，又，，故平面，平面，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為以為直徑的圓（除去點(diǎn)C），又平面，故與平面所成角即為，又，故要使最大，則最小，將平面及點(diǎn)軌跡畫出如下圖：設(shè)為中點(diǎn)，連接，則，故最小為，此時(shí).故答案為.16．已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則最小值是______．【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，結(jié)合輔助角公式可得，則點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑大于等于的同心圓，不妨設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，求出點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值即可得解.【詳解】解：，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，所以，即，則點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑大于等于的同心圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值為，所以最小值時(shí).故答案為.四、解答題17．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)VE-ABC=【詳解】本題主要考查立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系，并以我們熟悉的四棱錐為載體，盡管側(cè)重推理和運(yùn)算，但所用知識(shí)點(diǎn)不多，運(yùn)算也不麻煩，對于大多考生來說還是一道送分題．(Ⅰ)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD,又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G,則EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AP=AB，PAB=90°,BP=2，∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.點(diǎn)評：本題是我們常見的題型，相比平時(shí)那些求角及距離的題要容易的多，并且所考知識(shí)點(diǎn)不多運(yùn)算也不麻煩，是一道基礎(chǔ)題．18．已知直線與直線．（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程．（1），（2）或【分析】（1）由題意可知，所以可得，從而可求出m的值；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線方程，利用兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，?）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或19．已知圓C過點(diǎn)，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓的方程，由題意列出方程組，解方程組求得答案；（2）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)a，可判斷圓心必在直線l上，結(jié)合直線l垂直平分弦AB，求得a,再利用直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，結(jié)合判別式求得a的范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為，則有，解得，所以圓C的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得．（2）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)a，由于直線l垂直平分弦AB，故圓心必在直線l上，所以直線l的斜率，又，所以．將與圓C的方程聯(lián)立，整理得，由于直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，故，解得，與矛盾，故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．20．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明PA⊥BD，PC⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC．（2）由PC⊥平面BDE，得∠BFO為二面角B－PC－A的平面角，在在Rt△BFO中，即可求解二面角B－PC－A的正切值．【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，又因?yàn)镻C⊥平面BDE，BD平面BDE，所以，且平面PAC、PC平面PAC所以BD⊥平面PAC．（2）（2）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接BF由（1）知，BD⊥平面PAC，且OF平面PAC，所以，即△OBF為直角三角形且，OF平面BDF，BO平面BDF，所以PC⊥平面BOF，BF平面BOF，所以，所以∠BFO為二面角B—PC—A的平面角由（1）知，所以ABCD為正方形.且在Rt△BFO中，，則，所以二面角B—PC—A的正切值為．21．已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線：與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．(1)(2)【分析】（1）求P的軌跡方程，首先設(shè)出點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，求得方程.（2）先求出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)垂徑定理求得的距離，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以最大取到直徑，最小就是垂徑定理求得的距離，故可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)閮啥送瑫r(shí)平方得，故化簡得.綜上所述曲線C的方程為：（2）直線：提出得令解得，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)閹朦c(diǎn)到圓的方程：，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，設(shè)圓心到直線的距離為，又，所以，又因?yàn)椋?所以,解得.故的取值范圍為：22．已知橢圓的的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；