2022-2023學(xué)年浙江省杭州市S9聯(lián)盟高二年級上冊學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省杭州市S9聯(lián)盟高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)是虛數(shù)単位（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故選：D.2．已知直線過點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．B【分析】直接利用兩點(diǎn)式直線方程得，化簡即可.【詳解】直線的兩點(diǎn)式方程為：，化簡得，故選：B.3．“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位杭州市居民，他們的幸福感指數(shù)為.則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A． B．8 C． D．9C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，所以分位?shù)是，故選:C.4．函數(shù)的最小正周期和振幅分別是（

）A． B． C． D．A【分析】利用輔助角公式化簡即可求解.【詳解】,所以最小正周期為，振幅為1.故選:A.5．在直三棱柱中，側(cè)棱長為4，底面是邊長為4的正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角的余弦值.【詳解】由題意，取中點(diǎn)，建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以,所以，所以與所成角的余弦值為，故選:C.6．一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)反射光線過已知直線的交點(diǎn)以及入射光線上的點(diǎn)與反射光線上的點(diǎn)關(guān)于對稱即可求解.【詳解】聯(lián)立解得，所以反射光線過點(diǎn)，取直線上一點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，則有解得，所以反射光線過點(diǎn)和，則反射光線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得，即，故選:B.7．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．A【分析】討論a的取值，并根據(jù)x的正負(fù)去掉絕對值符號求解函數(shù)的零點(diǎn)，即可得到a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a<0時(shí)，，令，得，或（舍去），令，得，令，得，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則，無解，即不可能有三個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)a=0時(shí)，，由（1）知有，或，三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；（3）當(dāng)a>0時(shí)，，當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，令，得，或（舍去），令，得，即不論a取大于0的何值，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故有三個(gè)零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選:A方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.8．已知外接圓的圓心為O，半徑為1.設(shè)點(diǎn)O到邊，，的距離分別為，，.若，則（

）A． B．1 C． D．3B【分析】根據(jù)題意：，則有，進(jìn)而移項(xiàng)進(jìn)行兩兩組合，，進(jìn)一步可以化簡為：，設(shè)出三邊的中點(diǎn)，結(jié)合圖形，探討三角形的形狀，最后得到答案.【詳解】∵外接圓半徑為1，∴，∴，∴，∴，設(shè)邊，，的中點(diǎn)分別為M,N,P，∴,同理：，如圖1：若點(diǎn)O不與M,N,P任何一點(diǎn)重合，則，同時(shí)成立，顯然不合題意；如圖2：不妨設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)M重合，由，根據(jù)中位線定理有由AB⊥AC，則，∴.故選：B.類似這樣的題目，往往需要對式子進(jìn)行化簡，注意發(fā)現(xiàn)式子只有三個(gè)，組合其中兩個(gè)則另外一個(gè)會(huì)被孤立，考慮到外接球半徑為1，因此將-1進(jìn)行代換；在化簡式子的過程中盡量結(jié)合圖形去理解，往往會(huì)事半功倍.二、多選題9．如果，，那么直線經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限ACD【分析】把直線方程的一般式化為斜截式，從而可判斷直線經(jīng)過的象限.【詳解】因?yàn)椋?，故直線的斜截式方程為：，因?yàn)?，，故，故直線經(jīng)過第一象限、第三象限、第四象限，故選：ACD.10．下列說法正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C．過，兩點(diǎn)的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或AB【分析】對于A，由直線方程求直線在坐標(biāo)軸上的截距，從而可求出直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，對于B，直接求解點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)進(jìn)行判斷，對于C，當(dāng)或時(shí)，不能利用兩點(diǎn)式方程，對于D，分截距為零和截距不為零兩種情況求解即可【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以A正確，對于B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以B正確，對于C，當(dāng)或時(shí)，不能利用兩點(diǎn)式求直線方程，所以C錯(cuò)誤，對于D，當(dāng)直線的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，所以直線方程為，當(dāng)當(dāng)直線的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，所以經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D錯(cuò)誤，故選：AB11．已知函數(shù)，下面說法正確的有（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．的值域?yàn)镈．，且，恒成立BC判斷的奇偶性即可判斷選項(xiàng)AB，求的值域可判斷C，證明的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D，即可得正確選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱,，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；，因?yàn)椋?，所以，，所以，可得的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；設(shè)任意的，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值---作差----變形----定號----下結(jié)論.12．（多選題）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（

）A．直線D1D與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等BC【分析】利用反證法可判斷A，根據(jù)線線平行可判斷B，由線面平行得等腰梯形，繼而可求面積，可判斷C，根據(jù)反證法可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榈酌?，所以，假設(shè)直線D1D與直線AF垂直，，則面，則，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,故AD1∥EF，所以與所成角為，所以直線D1D與直線所成角也為，不垂直，所以與矛盾，所以直線D1D與直線AF不垂直，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故B選項(xiàng)正確．平面截正方體所得截面為等腰梯形，,,且梯形的高為，故梯形面積為，故C選項(xiàng)正確．假設(shè)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，則平面平分，即平面必然經(jīng)過的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn),不是的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，故C與點(diǎn)G到平面AEF的距離不相等，故D錯(cuò)誤．故選:BC.三、填空題13．直線的斜率為，若，則直線的傾斜角的范圍是___________.【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由題可得，又，故可得.故答案為.14．直線恒過一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)為___________.【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)則與參數(shù)無關(guān)即可求解.【詳解】直線可寫為，令，則，由解得，所以直線過定點(diǎn).故答案為:.15．已知三棱錐中，面，則三棱錐的外接球的體積為___________.【分析】根據(jù)三棱錐的頂點(diǎn)是長方體的頂點(diǎn)即可求解.【詳解】由題可知,該三棱錐在長方體中，且三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)為長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，由圖可知長方體的長寬高分別為，所以體對角線長，所以外接球的體積等于.故答案為:.16．已知，當(dāng)______________.時(shí)，取得最小值.【分析】由可得，原式化為，展開后利用基本不等式求最值，根據(jù)等號成立的條件求解即可.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，又，可得，，，，故答案為.本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號能否同時(shí)成立）.四、解答題17．為普及抗疫知識(shí)、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識(shí)競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.(1)甲(2)【分析】（1）利用概率的乘法公式計(jì)算出甲贏得比賽概率為，乙贏得比賽的概率為；（2）首先利用對立事件概率求得甲和乙各自未贏比賽的概率，再利用正難則反的方法，求出至少一人贏得比賽的概率.【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”,事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”,事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”,事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”,則表示“甲贏得比賽”,，表示“乙贏得比賽“,,派甲參賽贏得比賽的概率更大.（2）設(shè)表示“甲贏得比賽”,表示“乙贏得比賽”,由(1)知,表示“兩人中至少有一個(gè)贏得比賽”,所以兩人至少一人贏得比賽的概率為.18．己知直線和直線的交點(diǎn)為.(1)求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(2)若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.(1)(2)或【分析】(1)聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線平行斜率相等即可求解;(2)根據(jù)兩直線垂直斜率之積等于以及點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】（1）由解得,所以，設(shè)所求直線為,因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以解得，所以所求直線方程為.（2）直線與直線垂直,所以可設(shè)為，又因?yàn)榈降木嚯x等于，解得或，所以所求直線方程為或.19．如圖三棱柱，的所有棱長都相等，，點(diǎn)為的重心，的延長線交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，.(1)用，，表示；(2)證明.(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等邊三角形和重心的性質(zhì)可得，，再求出；（2）設(shè)三棱柱的棱長為，由空間向量數(shù)量積的定義可得，即可得到.【詳解】（1）解：因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)為的重心，所以為的中點(diǎn)，所以，，所以，.（2）證明：設(shè)三棱柱的棱長為，則.所以.20．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求A;(2)請從問題①②中任選一個(gè)作答（若①②都做，則按①的作答計(jì)分）①若，求周長的取值范圍；②求的最大值.(1)(2)見解析【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理邊換角化簡得，從而得到；（2）若選①利用余弦定理得到，再結(jié)合基本不等式和三角形三邊關(guān)系得到周長取值范圍，若選②，多變量變單變量，利用，通過二倍角公式，輔助角化簡得，再利用的范圍得到其最大值.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，又，，又，；（2）選①由余弦定理得，,，，則，解得，又，周長的取值范圍是.選②，,所以，故，，所以當(dāng)，即，此時(shí),取得最大值.21．己知為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線與軸的正半軸分別相交于點(diǎn)的面積為.(1)求直線的方程;(2)直線，點(diǎn)在上，求的最小值.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)斜率假設(shè)出直線方程，再求出坐標(biāo)即可求解；(2)求出關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)?所以設(shè)直線的方程為，且，所以，所以，解得或（舍）.所以直線的方程為（2）由(1)得，設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，解得，所以，所以.所以的最小值為.22．已知四棱錐的底面是平行四邊形、側(cè)棱平面，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)N是在棱上的動(dòng)點(diǎn)(不為端點(diǎn)).(1)若N是棱中點(diǎn)，完成:(i)畫出的重心G（在圖中作出虛線），并指出點(diǎn)G與線段的關(guān)系；(ii)求證:平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，并求出最大值.(1)作圖見解析,點(diǎn)在線段上；證明見解析；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段靠點(diǎn)的三等分點(diǎn)處時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為．【分析】（1）連接后確定點(diǎn)，再通過在中的重心來確定線上的比例關(guān)系，進(jìn)而得出的重心．利用中得出的比例關(guān)系與原題中相同的比例關(guān)系構(gòu)建相似三角形即可證明．（2）先設(shè)出的位置，即與的關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系求出直線與平面所成角帶參數(shù)的正弦值，通過線面角正弦值的范圍與分式、根式的最值