2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)高中聯(lián)合體高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)高中聯(lián)合體高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的傾斜角為60°，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)斜率的定義求解．【詳解】由題意，得，解得.故選：A.2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得，且，再利用兩點(diǎn)距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且又，則由于，所以于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.3．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．D【分析】利用空間向量垂直與共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.4．已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切A【分析】由圓心距與兩圓半徑的和差比較可得．【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為2，所以?xún)蓤A圓心之間的距離為，半徑和為.因?yàn)?，所以?xún)蓚€(gè)圓相離.故選：A.5．橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓M于點(diǎn)A，B.若的周長(zhǎng)為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)橢圓定義列出方程，求出a＝5，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出c＝3，，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為20，由橢圓定義可知：4a＝20，即a＝5，又因?yàn)閏＝3，所以，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.6．設(shè)點(diǎn)，，若直線(xiàn)ax+y+2=0與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】求出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖象，利用圖象求得斜率滿(mǎn)足的條件，由此解出答案．【詳解】∵直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且，，由圖可知直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿(mǎn)足或，解得，故選：D7．已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).若直線(xiàn)EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（

）A．2 B． C．4 D．1C【分析】以D為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求解.【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.設(shè)，則，，，，所以，所以，.因?yàn)橹本€(xiàn)EC與BF所成角的余弦值為，所以，解得，也即.故選：C.8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，Q為x軸上一定點(diǎn)，，且，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．C【分析】由題可設(shè)，按照阿波羅尼斯圓定義得軌跡方程，根據(jù)已知軌跡方程列式即可得得值，從而可得點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)，，所以.由，得.因?yàn)?，所以，整理?因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是，所以解得，所以.故選：C.二、多選題9．若表示圓的一般方程，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2 B． C．1 D．BD【分析】將已知方程配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)，可得的取值范圍，從而可得實(shí)數(shù)的可能值.【詳解】解：將配方得.要想表示圓，則，解得.故選：BD.10．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列b的取值能使以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．ABC【分析】根據(jù)給定的條件，確定以為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求出b的范圍作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，則以為直徑的圓的方程為，因圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有，即，解得，顯然選項(xiàng)A，B，C滿(mǎn)足，D不滿(mǎn)足.故選：ABC11．已知橢圓，，則（

）A．橢圓，的焦距相等 B．橢圓，的焦點(diǎn)都在軸上C．直線(xiàn)與橢圓，共有3個(gè)交點(diǎn) D．橢圓的離心率比橢圓的離心率大AC【分析】化橢圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別確定兩個(gè)橢圓方程中的值，結(jié)合橢圓方程，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：因?yàn)闄E圓，整理為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，所以；橢圓，其中，所以則橢圓的焦距為，橢圓的焦距為，故A正確；因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的焦點(diǎn)在y軸上，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕cy軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，，所以與相切，與相交，即直線(xiàn)與，共有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；因?yàn)闄E圓的離心率為，的離心率為所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知四面體A－BCD的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．CD【分析】由異面直線(xiàn)和向量平行的定義判斷A，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算判斷BC，由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算判斷D．【詳解】由題意可得四面體A－BCD為正四面體，如圖.A：因?yàn)槠矫鍭BC＝A，平面ABC，且，平面，由異面直線(xiàn)的定義可知，AF，CE為異面直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)镕分別為棱CD的中點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)椋?，故C正確；D：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，所以，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題13．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____.或【分析】根據(jù)過(guò)一點(diǎn)討論直線(xiàn)斜率是否存在從而確定直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3進(jìn)行檢驗(yàn)或運(yùn)算得直線(xiàn)方程.【詳解】解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，所以此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即.綜上所述，直線(xiàn)的方程為：或.故或.14．若方程表示橢圓，則的取值范圍是_______.根據(jù)方程的形式可得關(guān)于的不等式組，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可得，解得.故答案為.15．已知空間向量、、滿(mǎn)足，，，，則與的夾角為_(kāi)________．60°【分析】由，得，兩邊平方化簡(jiǎn)可求出得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以，因?yàn)椋?，?6．已知橢圓C1：（0＜b＜2）的離心率為，F(xiàn)1和F2是C1的左右焦點(diǎn)，P是C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段F1P的延長(zhǎng)線(xiàn)上，｜PQ｜＝｜PF2｜，點(diǎn)Q的軌跡為C2，線(xiàn)段F2Q的垂直平分線(xiàn)交C2于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜的最小值是__________．【分析】先求橢圓方程，由橢圓定義和已知可得C2方程，然后數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式分析可得.【詳解】由題知，，解得，又所以C1方程為因?yàn)椋黀Q｜＝｜PF2｜，所以所以點(diǎn)Q的軌跡為圓：記的中點(diǎn)為M，線(xiàn)段F2Q的垂直平分線(xiàn)交C2于A，B兩點(diǎn)，過(guò)作垂直于點(diǎn)N，則因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，有最小值，即點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)取得最小值此時(shí)直線(xiàn)AB方程為，，故故四、解答題17．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).求：(1)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)的一般式方程；(2)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)的一般式方程.(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立已知直線(xiàn)方程，得交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得的方程；（2）根據(jù)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反，討論直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)和截距不為零的情況分別求得直線(xiàn)的方程即可.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以.由于直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)則可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得.所以直線(xiàn)的一般式方程為.（2）解：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由于直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)則可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得，所以直線(xiàn)的方程為，即.綜上所述，直線(xiàn)的一般式方程為或.18．如圖，在直三棱柱中，，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求二面角的平面角的正弦值．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，證明，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的平面角的余弦值，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)O，連接，在直三棱柱中，為矩形，所以O(shè)為中點(diǎn)，又因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以，又由平面平面，所以平面．（2）由題意知在直三棱柱中，，故兩兩垂直，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量可取為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的平面角的正弦值為．19．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．(1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和等于4，求橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程．(1)橢圓的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、(2)【分析】（1）依題意可得且，即可求出、的值，從而求出橢圓方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，即可表示出的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法計(jì)算可得.【詳解】（1）解：由于點(diǎn)在橢圓上，所以，又，解得，所以，所以橢圓的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、．（2）解：設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)，把K的坐標(biāo)代入橢圓中，得，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程．20．已知圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上，且過(guò)點(diǎn)的圓與直線(xiàn)3x-4y+5=0相切，其半徑小于5.(1)求圓的方程；(2)若圓與圓關(guān)于直線(xiàn)x+2y-2=0對(duì)稱(chēng)，求圓的方程.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出圓的坐標(biāo)，再借助經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及切線(xiàn)方程列出方程求解作答.（2）求出圓心關(guān)于直線(xiàn)x+2y-2=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出圓的方程作答.【詳解】（1）由圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上，設(shè)點(diǎn)，又圓過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)3x-4y+5=0相切，則，整理得，解得或，因?yàn)閳A的半徑小于5，則有a＝2，即，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）設(shè)圓的圓心，因圓與圓關(guān)于直線(xiàn)x+2y-2=0對(duì)稱(chēng)，則有，解得，即點(diǎn)，而圓的半徑等于圓的半徑3，所以圓的方程為.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.(1)求證：平面.(2)求二面角的平面角的余弦值.(3)若點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合），直線(xiàn)能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，按照空間向量坐標(biāo)運(yùn)算證明即可；（2）分別確定平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角余弦值與二面角的關(guān)系可求得二面角的平面角的余弦；（3）根據(jù)點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合），設(shè)比例系數(shù)，可得的坐標(biāo)，假設(shè)直線(xiàn)能與平面垂直得向量關(guān)系為，根據(jù)坐標(biāo)判斷是否可得的值，從而判斷假設(shè)是否成立.【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫?，所以，又則以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，平面所以平面.（2）解：由（1）知是平面的一個(gè)法向量.，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即令，則，，所以，所以.又由圖可知二面角的平面角為銳角所以二面角的平面角的余弦值為.（3）解：由（1）得，，，.設(shè)，則，可得，所以.由（2）知是平面的一個(gè)法向量.若平面，可得則，該方程無(wú)解，所以直線(xiàn)不能與平面垂直.22．已知橢圓，定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.(1)求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程；(2)如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”分別是，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)求解即可；（3）設(shè)，，則，，進(jìn)而根據(jù)得，再聯(lián)立橢圓和直線(xiàn)的方程并結(jié)合韋達(dá)定理得，最后求弦長(zhǎng)與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離并求面積即可.【詳解】（1）解：設(shè).所以，根據(jù)“