2022-2023學(xué)年陜西省西安市32校聯(lián)考高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市32校聯(lián)考高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．不等式的解集為（

）A． B．C． D．A【分析】直接解不等式得到答案.【詳解】，即，故或，即故選：A.2．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，則（

）A． B． C．或 D．C【分析】根據(jù)正弦值，分別在和的情況下，利用余弦定理求得結(jié)果.【詳解】，，或；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述：或.故選：C.3．已知a是4與6的等差中項(xiàng)，b是與的等比中項(xiàng)，則（

）A．13 B． C．3或 D．或13D【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)得到，根據(jù)等比中項(xiàng)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】a是4與6的等差中項(xiàng)，故，b是與的等比中項(xiàng)，則，則，或.故選：D4．若，則恒成立的不等式是（

）A． B． C． D．A【分析】利用作差法可確定AB正誤，利用反例可知CD錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于AB，，，，，，即，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，CD錯(cuò)誤.故選：A.5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B．1 C．2 D．4B【分析】排除的情況，根據(jù)等比數(shù)列求和公式解得，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，，不成立；當(dāng)時(shí)，，即，解得.，.故選：B.6．已知點(diǎn)和點(diǎn)在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系列不等式可求a的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在直線的兩側(cè)，所以，所以，所以，所以a的取值范圍是，故選：D.7．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則外接圓的面積是（

）A． B． C． D．A【分析】利用已知等式配湊出余弦定理的形式，可求得，進(jìn)而得到，利用正弦定理可求得外接圓半徑，由此可求得外接圓面積.【詳解】，，即，，又，，設(shè)外接圓半徑為，則，，外接圓的面積.故選：A.8．已知x，y滿足不等式組，則的最小值為（

）A． B． C． D．C【分析】由題意，作出可行域，根據(jù)截距式目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可得答案.【詳解】由題意，可作可行域，如下圖所示：聯(lián)立可得，解得，即交點(diǎn)為，當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即.故選：C.9．在數(shù)列中，，，則（

）A．958 B．967 C．977 D．997C【分析】首先通過(guò)累加法求得，再利用分組求和的方法求出，代入即可.【詳解】，，則上述式子累加得，，故選：C.10．甲、乙兩名學(xué)生決定利用解三角形的相關(guān)知識(shí)估算一下友誼大廈的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角是63.435°，隨后，他沿著某一方向直行m后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角為45°，乙同學(xué)站在友誼大廈底端的點(diǎn)D，測(cè)量發(fā)現(xiàn)甲同學(xué)在移動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB恰好為60°，若甲、乙兩名同學(xué)始終在同一水平面上，則友誼大廈的高度大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．270m B．280m C．290m D．300mB【分析】根據(jù)題意得到，，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)友誼大廈的高度為，在直角中，，即；在直角中，，即，在中，根據(jù)余弦定理：，解得，故選：B11．已知，，實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．B【分析】由等差和等比數(shù)列的性質(zhì)可將所求式子化為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.故選：B.12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．138 B．674 C．675 D．2023C【分析】利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】故選：C.二、填空題13．在數(shù)列中，，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________．【分析】根據(jù)確定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故是等比數(shù)列，，故.故14．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________．【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可得，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，成等差數(shù)列，，即，解得.故答案為.15．若周長(zhǎng)為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，最大內(nèi)角為120°，則三角形的面積是__________．【分析】先求出三角形的三邊分別為：3、5、7，即可求出三角形的面積.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由周長(zhǎng)為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，可得三邊分別為.由余弦定理得：，解得.所以三角形的三邊分別為：3、5、7.所以三角形的面積是.故答案為.三、雙空題16．航天興趣小組為了宣傳祖國(guó)的航天成就，決定制作以“航天英雄”和“天空漫步”為主題的展板，已知制作一個(gè)“航天英雄”的展板需要材料，材料，制作一個(gè)“太空漫步”的展板需要材料，材料．現(xiàn)有材料，材料，按照以往經(jīng)驗(yàn)，展板制作的越多，宣傳的效果越好，那么為了達(dá)到最大的宣傳效果，需要制作“航天英雄”展板__________個(gè)，“太空漫步”展板__________個(gè)．

【分析】設(shè)制作“航天英雄”展板個(gè)，“太空漫步”展板個(gè)，根據(jù)題意可得到，作出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在軸截距最大，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)制作“航天英雄”展板個(gè)，“太空漫步”展板個(gè)，則；記制作的展板總數(shù)為，由題意可知：若要達(dá)到最大的宣傳效果，則取得最大值，作出的可行域如下圖陰影部分所示，要使最大，則需在軸截距最大，由圖象可知：當(dāng)過(guò)時(shí)，最大，由得：，即，滿足，，，即為了達(dá)到最大的宣傳效果，，需制作“航天英雄”展板個(gè)，太空漫步”展板個(gè).故；.四、解答題17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，．(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)，.(2)【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算得到答案.（2），利用分組求和法結(jié)合等差等比數(shù)列求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，解得，（舍去）.故，.（2），故.18．1.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，求的周長(zhǎng).(1)(2)【分析】（1）先用正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而通過(guò)兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，最后求得答案；（2）結(jié)合（1），運(yùn)用余弦定理求出c，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1）由正弦定理得，即，則.因?yàn)?，所以，所以，?（2）由（1）知，，又，，所以由余弦定理可得即，解得（舍）或.所以三角形的周長(zhǎng)為.19．已知關(guān)于的不等式的解集為或．(1)求，的值(2)解關(guān)于的不等式（為常數(shù)）．(1)，(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)不等式與方程的關(guān)系利用韋達(dá)定理計(jì)算即可.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，討論和的大小關(guān)系，分情況計(jì)算答案.【詳解】（1）不等式的解集為或，則且，解得.（2），即，當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20．在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若△ABC的面積為，求a的最小值.(1)或(2)【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到角；（2）運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合基本不等式，可得的最小值．【詳解】（1）由正弦定理得，∴.∵，∴.∴.在△ABC中，，∴，又，∴或.（2）∵△ABC的面積為.∴，∴.由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.①若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；②若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.綜上，a的最小值為21．在對(duì)某老舊小區(qū)污水分流改造時(shí)，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為立方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖所示），有關(guān)部門(mén)為了建造此污水處理池?fù)芸钊f(wàn)元.已知池的深度為米，如果池四周圍墻的建造單價(jià)為元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為元/平方米，池底的建造單價(jià)為元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是元（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)）(1)如果將污水處理池的寬建成米，那么萬(wàn)元的撥款是否夠用？(2)能否通過(guò)合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使撥款夠用？并說(shuō)明你的理由.(1)不夠用(2)將污水處理池建成長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)撥款剛好夠用，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【詳解】（1）（1）如果將污水處理池的寬建成米，則長(zhǎng)為（米）.建造總費(fèi)用為：（元）.因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建成米，那么萬(wàn)元的撥款是不夠用的.（2）設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長(zhǎng)為米.則.因?yàn)?，等?hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以時(shí)建造總費(fèi)用取最小值，所以將污水處理池建成長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低為元，此時(shí)撥款剛好夠用.22