2020高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量及其應(yīng)用章末演練輕松闖關(guān) 第二冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第六章平面向量及其應(yīng)用［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．將3eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）a－b）)－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b））＋（2b－a）)）化成最簡(jiǎn)式為(）A．－eq\f（4,3）a＋eq\f(5,3)b B．－4a＋5bC.eq\f（4，3)a－eq\f（5，3）b D．4a－5b解析：選B。原式＝3［eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3）－1－1))a＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1＋\f(2,3)＋2))b]＝3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(4,3）a＋\f(5，3)b)）＝－4a＋5b。2．設(shè)x,y∈R，向量a＝（x，1），b＝(1,y),c＝(2，－4），且a⊥c，b∥c，則｜a＋b|＝（）A。eq\r（5) B。eq\r（10)C．2eq\r(5） D．10解析：選B.由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,－4－2y＝0，）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝－2，))故a＋b＝（3，－1)，|a＋b|＝eq\r（10)。3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊長(zhǎng)為（）A.eq\f(\r（6），2) B。eq\f（\r(6）,3)C。eq\f(1,2) D.eq\f（\r（3），2）解析:選B。A＝180°－（60°＋45°)＝75°，故最短邊為b,由正弦定理可得eq\f（b，sinB）＝eq\f(c，sinC)，即b＝eq\f（csinB,sinC)＝eq\f（1×sin45°，sin60°）＝eq\f(\r（6）,3)，故選B。4．在銳角△ABC中，角A,B所對(duì)的邊分別為a,b。若2asinB＝eq\r(3）b，則角A等于（)A.eq\f(π,12) B。eq\f（π，6)C。eq\f(π，4） D.eq\f(π，3)解析：選D。由已知及正弦定理得2sinAsinB＝eq\r(3）sinB，因?yàn)閟inB>0，所以sinA＝eq\f（\r(3），2).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2))），所以A＝eq\f(π,3）.5．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C,且sinA＝2sinBcosC，則△ABC的形狀是(）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：選D。由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2?A為直角；而由sinA＝2sinBcosC,可得sin(B＋C）＝2sinBcosC，整理得sinBcosC＝cosBsinC,即sin(B－C)＝0，故B＝C。綜合上述，B＝C＝eq\f（π，4），A＝eq\f（π，2）.即△ABC為等腰直角三角形．6．已知非零向量a＝(t，0),b＝(－1，eq\r（3）），若a＋2b與a的夾角等于a＋2b與b的夾角，則t＝________．解析：由題設(shè)得eq\f（（a＋2b）·a,|a＋2b|·｜a｜）＝eq\f（（a＋2b)·b，｜a＋2b｜·｜b｜),所以｜b|（|a|2＋2b·a)＝|a｜(a·b＋2|b|2），將a＝（t，0），b＝（－1，eq\r(3)）代入整理得2t2＋t·｜t|＝8|t｜＋4t,當(dāng)t〉0時(shí)，3t2＝12t,所以t＝4；當(dāng)t<0時(shí)，t2＝－4t，所以t＝－4.綜上,t的值為4或－4。答案：4或－47．在銳角三角形ABC中,a，b,c分別為角A，B，C所對(duì)的邊．若2asinB＝eq\r(3）b,b＋c＝5，bc＝6,則a＝________．解析:因?yàn)?asinB＝eq\r（3）b，所以2sinAsinB＝eq\r(3）sinB。所以sinA＝eq\f(\r(3）,2),因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosA＝eq\f(1,2），因?yàn)閎c＝6，b＋c＝5，所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×6×eq\f(1,2)＝7，所以a＝eq\r(7).答案：eq\r（7）8．(2019·湖南株洲市檢測(cè))在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若eq\o(AD，\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→））＝2,則eq\o(AB，\s\up6(→））的模為_(kāi)_______．解析：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中,eq\o（EB，\s\up6(→））＝eq\o（EC,\s\up6(→)）＋eq\o(CB,\s\up6(→））＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o（BC，\s\up6(→））,又eq\o（DC,\s\up6(→))＝eq\o（AB，\s\up6（→))，eq\o（BC,\s\up6(→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→)）,所以eq\o(EB,\s\up6(→））＝eq\f（1，2)eq\o(AB,\s\up6（→）)－eq\o(AD，\s\up6（→）），所以eq\o（AD，\s\up6(→))·eq\o（EB，\s\up6（→))＝eq\o（AD,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）\o（AB,\s\up6（→）)－\o(AD,\s\up6(→）))）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up6(→））·eq\o（AD,\s\up6（→）)－eq\o（AD，\s\up6（→）)2＝eq\f（1,2）｜eq\o(AB，\s\up6（→))|｜eq\o(AD，\s\up6(→）)|cos60°－|eq\o(AD,\s\up6(→））|2＝eq\f（1，4)|eq\o（AB,\s\up6(→））|－1＝2，所以|eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝12。答案：129．已知向量e1,e2，且|e1｜＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝eq\f(π，3)。(1)求證：(2e1－e2)⊥e2；（2）若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m｜＝｜n|，求λ的值．解:(1）證明：因?yàn)椋黣1|＝|e2｜＝1，<e1，e2〉＝eq\f(π,3），所以（2e1－e2）·e2＝2e1·e2－eeq\o\al(2,2）＝2|e1||e2|coseq\f(π,3)－|e2｜2＝2×1×1×eq\f（1,2）－12＝0，所以(2e1－e2）⊥e2。（2）由|m｜＝｜n｜得（λe1＋e2）2＝(3e1－2e2）2，即(λ2－9)eeq\o\al（2，1)＋（2λ＋12）e1·e2－3eeq\o\al（2,2）＝0。因?yàn)椋黣1|＝｜e2｜＝1，<e1,e2〉＝eq\f(π,3)，所以eeq\o\al(2,1）＝eeq\o\al（2,2）＝1,e1·e2＝1×1×coseq\f(π，3）＝eq\f（1,2），所以（λ2－9）×1＋（2λ＋12）×eq\f(1，2）－3×1＝0,即λ2＋λ－6＝0。所以λ＝2或λ＝－3。10．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。若B＝eq\f（π，3），且(a－b＋c)（a＋b－c)＝eq\f(3，7）bc。（1)求cosC的值；（2）若a＝5，求△ABC的面積．解：（1）由(a－b＋c)（a＋b－c）＝eq\f(3,7)bc，得a2－(b－c)2＝eq\f（3，7)bc，即a2＝b2＋c2－eq\f（11,7）bc，由余弦定理,得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f（11，14）,所以sinA＝eq\f(5,14)eq\r(3).又因?yàn)锽＝eq\f(π，3)，所以cosC＝－cos（A＋B）＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f（1，7）。(2)由（1）得sinC＝eq\f(4，7)eq\r(3）。在△ABC中，由正弦定理，得eq\f（c,sinC)＝eq\f(b，sinB)＝eq\f（a,sinA)。所以c＝eq\f（asinC，sinA)＝8,所以S＝eq\f(1，2）acsinB＝eq\f(1,2)×5×8×sineq\f(π，3）＝10eq\r(3)。［B能力提升]11．飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°,向前飛行10000米,到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)C的距離為()A．5000米 B．5000eq\r（2)米C．4000米 D．4000eq\r(2)米解析：選B.如圖，在△ABC中，AB＝10000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根據(jù)正弦定理得,BC＝eq\f(AB·sinA，sinC）＝eq\f（10000×\f(1，2),\f（\r(2）,2))＝5000eq\r（2)（米)．12．在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD＝eq\f（3，4)BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若eq\o（AE，\s\up6(→））＝λeq\o（AB,\s\up6(→)）＋μeq\o（AC，\s\up6（→))，則t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是（)A。eq\f(3\r（10)，10) B。eq\f(\r(82），4）C。eq\f（9,10) D。eq\f(41，8)解析：選C。如圖所示,存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AE，\s\up6(→））＝meq\o（AD,\s\up6（→))(0≤m≤1），eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\f（3，4)eq\o(BC,\s\up6（→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\f（3,4）(eq\o（AC,\s\up6（→）)－eq\o(AB，\s\up6（→)))＝eq\f（1,4）eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\f（3，4）eq\o(AC，\s\up6(→）)，所以eq\o（AE，\s\up6（→)）＝meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，4)\o(AB,\s\up6(→））＋\f(3，4)\o（AC，\s\up6(→）)））＝eq\f(m，4)eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\f(3m，4)eq\o(AC，\s\up6（→）），所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（m,4)，,μ＝\f（3m,4),））所以t＝（λ－1）2＋μ2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（m，4）－1）)eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3m,4)））eq\s\up12(2）＝eq\f(5,8)m2－eq\f(m,2)＋1＝eq\f（5，8）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（m－\f（2，5)))eq\s\up12(2）＋eq\f（9，10），所以當(dāng)m＝eq\f(2，5)時(shí)，t＝(λ－1）2＋μ2取得最小值eq\f（9，10）.13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩個(gè)根，且2cos（A＋B)＝1。則C＝________，AB＝________．解析：因?yàn)閏osC＝cos[π－（A＋B)］＝－cos(A＋B）＝－eq\f（1，2），所以C＝120°.由題設(shè)，得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a＋b＝2\r（3），，ab＝2，）)所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝（2eq\r（3))2－2＝10。所以AB＝eq\r(10）。答案：120°eq\r(10）14．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，且滿足（2a－b）cosC＝ccosB,△ABC的面積S＝10eq\r（3），c＝7。（1)求角C；（2）求a，b的值．解：(1)因?yàn)?2a－b)cosC＝ccosB，所以(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝sinCcosB,即2sinAcosC＝sin(B＋C）．所以2sinAcosC＝sinA.因?yàn)锳∈(0,π），所以sinA≠0。所以cosC＝eq\f(1，2).所以C＝eq\f（π,3）.（2)由S＝eq\f（1，2)absinC＝10eq\r(3)，C＝eq\f(π,3），得ab＝40。①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝（a＋b）2－2abeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋cos\f（π，3)))，所以72＝(a＋b)2－2×40×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，2）)）。所以a＋b＝13。②由①②得a＝8,b＝5或a＝5，b＝8。［C拓展探究]15．某單位有A,B，C三個(gè)工作點(diǎn)，需要建立一個(gè)公共無(wú)線網(wǎng)絡(luò)發(fā)射點(diǎn)O，使得發(fā)射點(diǎn)到三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等．已知這三個(gè)工作點(diǎn)之間的距離分別為AB＝80m,BC＝70m，CA＝50m．假定A，B，C，O四點(diǎn)在同一平面內(nèi)．（1)求∠BAC的大??；(2)求點(diǎn)O到直線BC的距離．解：(1)在△ABC中，因?yàn)锳B＝80m,BC＝70m，CA＝50m，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2，2×AB×AC)＝eq\f（802＋502－702，2×80×5