2020高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 2 均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生練習(xí)（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第24課時(shí)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生知識(shí)點(diǎn)一均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1．用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬,則()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問(wèn)題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計(jì)算圖形的面積C．不但能估計(jì)幾何概型的概率,還能估計(jì)圖形的面積D．最適合估計(jì)古典概型的概率答案C解析很明顯用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值．用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不適合估計(jì)古典概型的概率．2．與均勻隨機(jī)數(shù)特點(diǎn)不符的是(）A．它可以是[0,1］內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)B．它是一個(gè)隨機(jī)數(shù)C．出現(xiàn)每一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的D．是隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)答案D解析A，B，C是均勻隨機(jī)數(shù)的定義,均勻隨機(jī)數(shù)的“均勻”是“等可能”的意思,并不是“隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)”．知識(shí)點(diǎn)二用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算幾何概型的概率3．在長(zhǎng)為4,寬為2的矩形中有一以矩形長(zhǎng)為直徑的半圓．（1）隨機(jī)在矩形內(nèi)撒一粒豆子,計(jì)算豆子落入半圓的概率．（2）在矩形中隨機(jī)撒一把豆子，怎樣利用計(jì)算機(jī)模擬的方法估計(jì)π的值？解(1)根據(jù)面積的計(jì)算公式和幾何概型定義得P＝eq\f(半圓的面積,矩形的面積)＝eq\f（\f（1,2)π·\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4,2）)）2，8)＝eq\f（π，4）．（2）由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來(lái)的，所以π≈eq\f(落在半圓中的豆子數(shù)，落在矩形中的豆子數(shù)）×4,這樣就得到π的近似值．4．用隨機(jī)模擬的方法求曲線y＝eq\r（x）與x軸和直線x＝1所圍成的圖形的面積．解如圖所示,陰影部分是由曲線y＝eq\r（x）與x軸和直線x＝1所圍成的圖形，設(shè)陰影部分的面積為S．隨機(jī)模擬的步驟：(1）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組［0，1］內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND；（2）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1（滿足條件y＜eq\r（x）的點(diǎn)（x，y)的個(gè)數(shù))；（3)計(jì)算頻率eq\f(N1,N),即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值；(4）直線x＝1，y＝1和x，y軸圍成的正方形的面積是1，由幾何概型概率公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為eq\f（S，1）＝S,則S＝eq\f(N1,N）,即陰影部分面積的近似值為eq\f（N1，N)．易錯(cuò)點(diǎn)隨機(jī)變換公式的應(yīng)用5．用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20個(gè)［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)x，但是基本事件都在區(qū)間[－1,3］上，則需要經(jīng)過(guò)的線性變換是（）A．y＝3x－1B．y＝3x＋1C．y＝4x＋1D．y＝4x－1易錯(cuò)分析易弄錯(cuò)隨機(jī)數(shù)x或弄錯(cuò)基本事件的取值范圍致錯(cuò)．正解D因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x∈[0，1]，而基本事件都在區(qū)間[－1，3］上,其區(qū)間長(zhǎng)度為4,所以把x變?yōu)?x，因?yàn)閰^(qū)間左端值為－1，所以4x再變?yōu)?x－1，故變換公式為y＝4x－1．一、選擇題1．在區(qū)間［0,3]上任取一點(diǎn),則此點(diǎn)大于1的概率是（)A．eq\f(1，3)B．eq\f（2,3)C．eq\f（1，2）D．eq\f(1，3)答案B解析由幾何概型的概率公式知，此數(shù)大于1的概率是eq\f（2,3）．2．南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之，利用“割圓術(shù)"得出圓周率π的值在3．1415926與3．1415927之間,成為世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人,他的這項(xiàng)偉大成就比外國(guó)數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時(shí)間至少要早一千年，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，我們用隨機(jī)模擬的方法估算圓周率,向正方形及其內(nèi)切圓內(nèi)隨機(jī)投擲豆子(豆子大小忽略不計(jì)),投擲在正方形內(nèi)的400顆豆子中,落在內(nèi)切圓內(nèi)的有316顆,則估算圓周率的值為()A．3．14B．3．15C．3．16D．3．17答案C解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓的半徑為1，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得eq\f（π,4)＝eq\f（316，400)，解得π≈3．16．3．歐陽(yáng)修《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入,而錢不濕．可見(jiàn)“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為1．5cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為0．5cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率為（）A．eq\f(4，9π)B．eq\f（9,4π)C．eq\f(4π,9）D．eq\f（9π，4）答案A解析由題意所求的概率為P＝eq\f(0.5×0.5，π×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1。5,2)））2)＝eq\f（4，9π)．4．將［0，1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a，需要實(shí)施的變換為()A．a(chǎn)＝8a1B．a(chǎn)＝8a1＋2C．a(chǎn)＝8a1－2D．a(chǎn)＝6a1答案C解析利用伸縮和平移變換，a＝［6－(－2)］a1－2＝8a1－2．5．點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離小于1的概率為（）A．eq\f(1,4）B．eq\f(1，2)C．eq\f(π，4）D．π答案C解析由題意可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于扇形ABD內(nèi)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1．根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離｜PA｜＜1的概率為eq\f(S扇形ABD,S正方形ABCD)＝eq\f(π，4),故選C．二、填空題6．小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于eq\f(1，2)，則周末去看電影;若此點(diǎn)到圓心的距離小于eq\f（1，4）,則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為_(kāi)_____．答案eq\f（13，16）解析由題意畫出示意圖，如圖所示．表示小波在家看書的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則他在家看書的概率為eq\f(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）2π－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）)）2π,π）＝eq\f(3,16），因此他不在家看書的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13，16）．7．下列程序框圖可用來(lái)估計(jì)π的值(假設(shè)函數(shù)CONRND（－1，1)是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，它能隨機(jī)產(chǎn)生區(qū)間(－1，1）內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)）．如果輸入1000，輸出的結(jié)果為788，則由此可估計(jì)π的近似值為_(kāi)_______．(保留四位有效數(shù)字）答案3．152解析設(shè)點(diǎn)P（A，B)，當(dāng)A，B滿足A2＋B2≤1時(shí)，則點(diǎn)P在單位圓內(nèi)，輸入1000輸出788說(shuō)明在由直線x＝±1,y＝±1圍成的正方形內(nèi)任取1000個(gè)點(diǎn)，有788個(gè)點(diǎn)落在單位圓內(nèi)．又單位圓是該正方形的內(nèi)切圓，則在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率估計(jì)是eq\f（788,1000）＝0．788,設(shè)任取一點(diǎn)落在其內(nèi)切圓內(nèi)為事件A，又單位圓的面積是π×12＝π，正方形的面積是22＝4，則P(A）＝eq\f(單位圓的面積，正方形的面積)＝eq\f(π,4)，所以eq\f（π，4）≈0．788．解得π≈4×0．788＝3．152．8．設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[0，1］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算由曲線y＝f(x）及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍區(qū)域的面積S．先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè))區(qū)間［0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2，…，xN和y1,y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）(i＝1，2，…，N）．再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi)（i＝1，2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得到S的近似值為_(kāi)_______．答案eq\f(N1，N)解析這種隨機(jī)模擬的方法是在矩形內(nèi)生成了N個(gè)點(diǎn)，而滿足條件的點(diǎn)有N1個(gè)，所以根據(jù)比例關(guān)系可得eq\f(S,S矩形)＝eq\f（N1,N），又矩形的面積為1，所以由隨機(jī)模擬方法得到S的近似值為eq\f(N1,N）．三、解答題9．對(duì)某人某兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行考核，每項(xiàng)指標(biāo)滿分100分，設(shè)此人每項(xiàng)得分在[0，100]上是等可能出現(xiàn)的．單項(xiàng)80分以上,且總分170分以上才合格，求他合格的概率．解設(shè)某人兩項(xiàng)的分?jǐn)?shù)分別為x分、y分，則0≤x≤100，0≤y≤100，某人合格的條件是：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（80＜x≤100,,80＜y≤100，,x＋y＞170，)）在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出上述區(qū)域（如圖陰影部分所示)．由圖可知：0≤x≤100，0≤y≤100構(gòu)成的區(qū)域面積為100×100＝10000，合格條件構(gòu)成的區(qū)域面積為S五邊形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－eq\f（1,2)×10×10＝350,所以所求概率為P＝eq\f（350，10000)＝eq\f(7，200)．該人合格的概率為eq\f（7，200)．10．現(xiàn)向如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，已知陰影部分由直線6x－3y－4＝0和x＝1，y＝－1圍成，用隨機(jī)模