2020高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 .2.1 古典概型（2）練習(xí)（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第21課時(shí)古典概型（2）知識(shí)點(diǎn)古典概型的概率計(jì)算1．下列問題中是古典概型的是（)A．種下一粒楊樹種子，求其能長(zhǎng)成大樹的概率B．?dāng)S一枚質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1．5的概率D．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率答案D解析A,B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限個(gè);D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的,且有有限個(gè)．故選D．2．電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00:00到23：59,每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻顯示的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為(）A．eq\f（1,180）B．eq\f(1,288)C．eq\f(1,360)D．eq\f（1，480）答案C解析當(dāng)“時(shí)”的兩位數(shù)字的和小于9時(shí)，則“分”的那兩位數(shù)字和要求超過14,這是不可能的，所以只有“時(shí)”的和為9(即“09”或“18”），“分”的和為14（“59”)；或者“時(shí)”的和為10(即“19"），“分"的和為13(“49”或“58"）．共計(jì)有4種情況．因一天24小時(shí)共有24×60分鐘，所以概率P＝eq\f（4,24×60)＝eq\f（1,360)．故選C．3．如圖所示，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,則它的涂漆面數(shù)為2的概率()A．eq\f（8，125)B．eq\f(27,125）C．eq\f（36，125）D．eq\f（54,125)答案C解析涂漆面數(shù)為2的小正方體每條棱上有3個(gè)，12條棱共36個(gè),所以涂漆面數(shù)為2的概率為eq\f（36，125)．故選C．4．有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)k，k＋1,其中k＝0，1，2，…,19．從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到標(biāo)有9，10的卡片，則卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為9＋1＋0＝10)不小于14”為A，則P（A)＝________．答案eq\f（1，4）解析從20張卡片中任取一張,每張卡片被取的可能性是相等的，故有20種等可能結(jié)果，而該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和不小于14包括抽到帶有7和8、8和9、16和17、17和18、18和19的卡片共5種情況，所以P（A）＝eq\f（5，20）＝eq\f(1，4)．5．漢字是世界上最古老的文字之一,字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著人類追求均衡對(duì)稱、和諧穩(wěn)定的天性．如圖所示，三個(gè)漢字可以看成軸對(duì)稱圖形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個(gè)漢字設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，規(guī)則如下：將這三個(gè)漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上,洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張,若兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字(如“土”“土”構(gòu)成“圭”)，則小敏獲勝，否則小慧獲勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)φl有利？說明理由．解每次游戲時(shí),所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表所示：第二張卡片第一張卡片土口木土（土,土）(土,口)(土，木)口(口，土）(口，口）（口，木)木（木，土)（木,口)（木，木）共有9種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．其中，能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的結(jié)果有4種：（土，土)“圭”，(口，口)“呂”，（木，口）“杏"或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”．所以小敏獲勝的概率為eq\f(4,9)，小慧獲勝的概率為eq\f（5,9),所以這個(gè)游戲?qū)π』塾欣族e(cuò)點(diǎn)搞錯(cuò)題中所研究的對(duì)象6．有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)共3個(gè)信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱,投完為止,其中A信投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率是多少？易錯(cuò)分析本題易在求基本事件時(shí)誤考慮成了4封信投入某一信箱的情況,事實(shí)上，應(yīng)該考慮A信投入各個(gè)信箱的情況．正解由于每封信可以任意投入信箱，對(duì)于A信，投入各個(gè)信箱的可能性是相等的，一共有3種不同的結(jié)果．投入1號(hào)或2號(hào)信箱有2種結(jié)果，故A信投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率為eq\f（2，3)．一、選擇題1．若b，c是從2，4，6,8中任取的兩個(gè)不同的數(shù)，則方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根的概率為（）A．eq\f(5，12）B．eq\f(1，2)C．eq\f(7,12）D．eq\f（5,6)答案C解析要使方程有實(shí)數(shù)根，應(yīng)滿足Δ＝b2－4c≥0．從2,4，6，8中任取的兩個(gè)不同的數(shù)結(jié)果共有12種，滿足Δ≥0的結(jié)果有7種，即(4，2)，(6，2），（6,4），(6，8),（8,2)，(8,4）,(8，6），故所求概率為eq\f(7,12)．故選C．2．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn),則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(）A．eq\f(1,10）B．eq\f(1，8)C．eq\f(1，6）D．eq\f(1,5）答案D解析在正六邊形中,6個(gè)頂點(diǎn)選取4個(gè)，共有15種結(jié)果．選取的4點(diǎn)能構(gòu)成矩形只有對(duì)邊的4個(gè)頂點(diǎn)（例如AB與DE）,共有3種，故所求概率為eq\f（3，15）＝eq\f（1，5）．3．如圖所示，莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損．則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率(）A．eq\f（2,5）B．eq\f(7，10)C．eq\f（4，5)D．eq\f（9，10）答案C解析設(shè)被污損數(shù)字為x，則eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)〉eq\f（1，5）（83＋83＋87＋99＋90＋x)，解得x〈8，可取0，1,…，7，又x的所有可能取值為0，1,2，3，…,9，故所求概率P＝eq\f（8,10）＝eq\f（4，5)．4．先后拋擲兩枚均勻的骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為()A．eq\f(1，6）B．eq\f（5,36）C．eq\f（1,12)D．eq\f（1,2)答案C解析由log2XY＝1得Y＝2X，滿足條件的X，Y有3對(duì),即（1，2),（2,4)，(3，6),而骰子朝上的點(diǎn)數(shù)X，Y共有36對(duì)，從而可得所求概率為eq\f(1，12）．5．從集合｛a，b，c,d，e}的所有子集中任取一個(gè),則這個(gè)集合恰是集合｛a，b，c}的子集的概率是（）A．eq\f（3,5)B．eq\f（2,5)C．eq\f（1,4）D．eq\f（1，8)答案C解析集合{a,b，c，d,e｝共有25＝32個(gè)子集,而集合｛a,b,c}的子集有23＝8個(gè)，所以所求概率為eq\f（8，32)＝eq\f（1，4)．二、填空題6．在一個(gè)盒中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支，恰有一支一等品的概率為________．答案eq\f（9，20)解析從中任取3支共有20種基本事件，滿足條件的有3×3＝9（種)，從而可得．7．在1，3,5，8路公共汽車都要?？康囊粋€(gè)站（假定這個(gè)站只能停靠一輛公共汽車)，有一位乘客等候1路或3路公共汽車，假定當(dāng)時(shí)各路公共汽車首先到站的可能性相等，則首先到站的正好是這位乘客所要乘的公共汽車的概率是________．答案eq\f(1,2）解析∵4種公共汽車先到站有4個(gè)結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，“首先到站的車正好是所乘車"的結(jié)果有2個(gè)，∴P＝eq\f（2,4)＝eq\f(1，2)．8．設(shè)集合P＝{x，1}，Q＝｛y，1，2}，P?Q，x，y∈{1，2，3，…，9｝．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，從所有滿足這些條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)所表示的點(diǎn)中任取一個(gè)，其落在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的概率恰為eq\f(2，7）,則r2中的可能的一個(gè)整數(shù)是________(只需要寫出一個(gè)即可)．答案30(或31或32）解析滿足條件的點(diǎn)有(2，3),(2，4)，（2，5),（2，6），（2，7）,(2，8)，（2，9）,(3，3），(4，4),(5，5)，（6，6），(7，7），（8，8）,(9，9)，共14個(gè)．欲使其點(diǎn)落在x2＋y2＝r2內(nèi)的概率為eq\f(2,7）,則這14個(gè)點(diǎn)中有4個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，所以只需29＜r2≤32,故r2＝30或31或32．三、解答題9．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)女生（名）373xy男生（名)377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，抽到八年級(jí)女生的概率是0．19．(1)求x的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在九年級(jí)抽取多少名學(xué)生？(3)當(dāng)y≥245，z≥245時(shí),求九年級(jí)學(xué)生中女生比男生多的概率．解(1）x＝2000×0．19＝380．（2）由題意和(1)可知，七、八年級(jí)各有學(xué)生750名,九年級(jí)學(xué)生為2000－750－750＝500（名），故采用分層抽樣方法在全校抽到48名學(xué)生，應(yīng)在九年級(jí)抽取eq\f（500,2000)×48＝12（名)．(3)當(dāng)y≥245，z≥245時(shí)，九年級(jí)中男、女生人數(shù)的所有可能組合為：男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所有可能組合有11種，其中女生比男生多的組合有5種，故九年級(jí)學(xué)生中女生比男生多的概率為eq\f（5,11）．10．某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．（1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．解用數(shù)對(duì)(x,y）表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝｛(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4｝一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16．(1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件共5個(gè)，即（1，1)，(1，2）,（1,3)，(2，1），（3，1）．所以P（A)＝eq\f（5,16）,即小亮獲得玩具的概率為eq