2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) . 函數(shù)的應(yīng)用（一）練習(xí)（含解析）第一冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．3函數(shù)的應(yīng)用(一)最新課程標(biāo)準(zhǔn)：在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題.知識(shí)點(diǎn)一幾類常見函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝eq\f(k,x）＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式:y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a))）2＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0知識(shí)點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模建模示例：1.發(fā)現(xiàn)問題，提出問題．2．分析問題，建立模型．3．確定參數(shù),計(jì)算求解．4．驗(yàn)證結(jié)果，改進(jìn)模型．eq\x(狀元隨筆）建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本思路[基礎(chǔ)自測(cè)］1．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x（副)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為（)A．200副B．400副C．600副D．800副解析：利潤z＝10x－y＝10x－(5x＋4000）≥0。解得x≥800.答案：D2．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖像是（)解析：距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小,由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C。答案：C3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1＝5。06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量（單位：輛）．若該公司在這兩地共銷售15輛車,則能獲得的最大利潤為(）A．45.606萬元B．45。6萬元C．45.56萬元D．45.51萬元解析：依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x）輛，總利潤S＝L1＋L2，則總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0。15x2＋3。06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0。15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以當(dāng)x＝10時(shí),Smax＝45.6(萬元）．答案：B4．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為：y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4x，1≤x〈10，x∈N＊，2x＋10,10≤x<100,x∈N*,1.5x,x≥100，x∈N*))其中,x代表擬錄用人數(shù),y代表面試人數(shù)．若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為________．解析:令y＝60，若4x＝60，則x＝15〉10，不合題意；若2x＋10＝60,則x＝25,滿足題意;若1.5x＝60,則x＝40<100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25人．答案:25題型一一次、二次函數(shù)模型［經(jīng)典例題］例1某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷售時(shí),每天可賣出100個(gè)．現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大值．【解析】設(shè)每個(gè)提價(jià)x元（x≥0，x∈N），利潤為y元．每天銷售總額為（10＋x)（100－10x）元,進(jìn)貨總額＝8(100－10x）元，顯然100－10x>0，即x<10,則y＝（10＋x)（100－10x)－8(100－10x)＝（2＋x）（100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．當(dāng)x＝4時(shí),y取得最大值，此時(shí)銷售單價(jià)應(yīng)為14元,最大利潤為360元．答：當(dāng)售價(jià)定為14元時(shí)，可使每天所賺的利潤最大，最大利潤為360元.可根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)模型解析式．方法歸納1．利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí),需注意以下兩點(diǎn)：(1）待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法．（2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，一次函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)．2．二次函數(shù)模型主要用來解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題，是高考考查的重點(diǎn)．解題時(shí)，建立二次函數(shù)解析式后,可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題．跟蹤訓(xùn)練1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km，之后以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求離開北京2h時(shí)火車行駛的路程．解析:因?yàn)榛疖噭蛩傩旭偟目倳r(shí)間為（277－13)÷120＝eq\f（11,5）(h)，所以0≤t≤eq\f(11，5).因?yàn)榛疖噭蛩傩旭倀h所行駛的路程為120tkm,所以火車行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝13＋120teq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f（11，5))）。離開北京2h時(shí)火車勻速行駛的時(shí)間為2－eq\f(1,6）＝eq\f(11，6）（h)，此時(shí)火車行駛的路程s＝13＋120×eq\f（11,6)＝233(km)．求出火車勻速行駛的總時(shí)間，可得定義域，再建立總路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型．題型二分段函數(shù)［教材P117例1]例2為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，自2013年以后，上海市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，其中每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系如下表所示。分檔戶年用水量/m3綜合用水單價(jià)/(元/m3)第一階梯0～220（含)3.45第二階梯220～300(含)4。83第三階梯300以上5。83記戶年用水量為xm3時(shí)應(yīng)繳納的水費(fèi)為f（x）元．（1)寫出f(x）的解析式;（2)假設(shè)居住在上海的張明一家2015年共用水260m3【解析】(1）不難看出，f（x）是一個(gè)分段函數(shù)，而且:當(dāng)0〈x≤220時(shí)，有f(x)＝3。45x;當(dāng)220〈x≤300時(shí)，有f(x)＝220×3.45＋(x－220）×4。83＝4.83x－303。6；當(dāng)x〉300時(shí)，有f(x）＝220×3.45＋（300－220）×4.83＋（x－300）×5.83＝5.83x－603。6。因此f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3。45x，0〈x≤220,4。83x－303.6，220<x≤300,5。83x－603.6，x>300.)）（2）因?yàn)?20〈260≤300，所以f（260）＝4。83×260－303。6＝952.2，因此張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)952。2元．教材反思（1)分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型,由自變量變化所遵循規(guī)律的不同決定的，函數(shù)的分段表示是建模的關(guān)鍵．(2)若求分段函數(shù)值域或最值時(shí),應(yīng)對(duì)分段函數(shù)中的每段函數(shù)分別求出值域或最值，然后再由各段函數(shù)的值域或最值確定本函數(shù)的值域或最值．分類討論思想是本類問題的主要思想方法．跟蹤訓(xùn)練2為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活,在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x（元)只取整數(shù),并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入(日凈收入＝一日出租自行車的總收入－管理費(fèi)用)．(1)求函數(shù)y＝f(x）的解析式及其定義域．（2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使日凈收入最多？解析:(1)當(dāng)x≤6時(shí),y＝50x－115，令50x－115>0,解得x〉2.3。因?yàn)閤∈N＊，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*。當(dāng)x>6時(shí)，y＝[50－3（x－6)］x－115。令［50－3(x－6)]x－115>0,得3x2－68x＋115〈0。解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6〈x≤20,x∈N*，故y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*,，－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈N*，））定義域?yàn)閧x｜3≤x≤20,x∈N*｝．（2）對(duì)于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*),顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185，對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(34，3）)）2＋eq\f(811,3)(6<x≤20，x∈N＊）．當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270，因?yàn)?70〉185，所以當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí),才能使日凈收入最多．(1)利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式,寫出分段函數(shù)，注意實(shí)際問題中自變量的取值范圍．(2）利用一次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)分別求分段函數(shù)各段上的最大值，取其最大的即可．課時(shí)作業(yè)20一、選擇題1．向一杯子中勻速注水時(shí)，杯中水面高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h＝f（t）的圖像如圖所示，則杯子的形狀是()解析：從題圖中看出，在時(shí)間段［0，t1]，［t1,t2］內(nèi)水面高度是勻速上升的，在［0，t1]上升慢，在[t1，t2］上升快，故選A。答案：A2．據(jù)調(diào)查,某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0。8元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0。5元,若普通車存車數(shù)為x輛次,存車費(fèi)總收入為y元,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（)A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000,x∈N*)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*）C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000，x∈N*)D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N＊）解析：由題意知，變速車存車數(shù)為（2000－x）輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x）×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N＊）．答案：D3．某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件,每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品,則每天獲得利潤最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是（）A．7B．8C．9D．10解析：由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí),每天可獲利潤為：y＝［8＋2(k－1)］［60－3(k－1）]＝－6k2＋108k＋378（1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9）2＋864，∴當(dāng)k＝9時(shí)，獲得利潤最大．答案：C4．已知A，B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，則汽車離開A地的距離x關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)解析式是(）A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．x＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（60t，0≤t≤2.5，150－50tt>3。5)）D．x＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（60t,0≤t≤2。5，150，2.5<t≤3。5,150－50t－3.5.3.5〈t≤6.5)）解析：顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過程中行走速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)，選D。答案：D二、填空題5．某電腦公司2017年的各項(xiàng)經(jīng)營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為400萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%.該公司預(yù)計(jì)2019年經(jīng)營總收入要達(dá)到1690萬元，且計(jì)劃從2017年到2019年,每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，2018年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為________萬元．解析：設(shè)年增長率為x，則有eq\f(400,40%）×（1＋x)2＝1690，1＋x＝eq\f(13,10），因此2018年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為eq\f（400,40％)×eq\f（13，10)＝1300（萬元）．答案：13006．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1，2）x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)為20萬元，為獲取更大利潤,該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．解析:利潤L(x）＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2）（x－18）2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L（x)有最大值．答案：187．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(c,\r(x）)，x〈A，，\f（c，\r（A）），x≥A））(A,c為常數(shù)）．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是____________．解析：由函數(shù)解析式可以看出，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f（c,\r(A）)＝15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f（c，\r(4））＝30，解得c＝60，將c＝60代入eq\f(c，\r(A））＝15得A＝16.答案：6016三、解答題8．某游樂場(chǎng)每天的盈利額y元與售出的門票張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,試由圖像解決下列問題：(1）求y與x的函數(shù)解析式；（2)要使該游樂場(chǎng)每天的盈利額超過1000元，每天至少賣出多少張門票？解析：（1）由圖像知，可設(shè)y＝kx＋b，x∈[0,200]時(shí)，過點(diǎn)(0，－1000）和（200，1000),解得k＝10,b＝－1000，從而y＝10x－1000；x∈(200，300]時(shí)，過點(diǎn)（200，500）和(300，2000），解得k＝15，b＝－2500,從而y＝15x－2500，所以y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(10x－1000,x∈［0,200］，，15x－2500，x∈200，300]。））（2）每天的盈利額超過1000元，則x∈(200,300］，由15x－2500>1000得,x〉eq\f（700,3）,故每天至少需要賣出234張門票．9．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（400x－\f（1,2）x2，0≤x≤400，80000,x〉400））其中x是儀器的月產(chǎn)量．（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f（x)；(2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲得利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益＝總成本＋利潤）解析：（1）設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000＋100x，從而f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，，60000－100x，x>400.)）（2）當(dāng)0≤x≤