2020高中數(shù)學 第四章 圓與方程單元質(zhì)量測評（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第四章單元質(zhì)量測評對應學生用書P99本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分，滿分150分,考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1，2)）)B．（－∞，1）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，＋∞）)D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－∞，\f（1,2)))答案A解析由(－1）2＋12－4m＞0，解得m＜eq\f（1,2）．2．已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－3＝0,動點P在圓C2：x2＋y2－4x－12＝0上，則△PC1C2面積的最大值為()A．2eq\r（5)B．4eq\r（5）C．8eq\r（5）D．20答案B解析圓C1：x2＋y2＋4x－4y＝3，即(x＋2）2＋(y－2）2＝11,圓心為（－2，2)，C2：x2＋y2－4x－12＝0，即（x－2）2＋y2＝16，圓心為（2，0），半徑為4,∴|C1C2｜＝eq\r（16＋4）＝2eq\r（5)，△PC1C2面積最大時，有PC2⊥C1C2，∴△PC1C2的面積的最大值為eq\f（1，2)×2eq\r(5)×4＝4eq\r(5)，故選B．3．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案D解析圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a，－\f(3,2）b）），則a＜0，b＞0．直線x＋ay＋b＝0等價于y＝－eq\f(1,a）x－eq\f（b，a）,因為k＝－eq\f(1，a)＞0，－eq\f(b,a）＞0,所以直線不經(jīng)過第四象限．4．已知A（1，2，3)，B（3，3，m)，C（0，－1,0)，D（2，－1，－1),則（)A．|AB｜>｜CD|B．|AB|〈|CD|C．|AB|≤｜CD|D．|AB|≥|CD|答案D解析｜AB｜＝eq\r(22＋12＋m－32)＝eq\r(5＋m－32），｜CD|＝eq\r（22＋02＋－12）＝eq\r（5)．因為(m－3）2≥0，所以|AB｜≥|CD｜．5．從M(0,2,1）出發(fā)的光線，經(jīng)平面xOy反射后到達點N（2，0，2)，則光線所行走的路程為（）A．3B．4C．eq\r(17)D．3eq\r(2）答案C解析點M（0,2，1)關(guān)于平面xOy對稱的點為M′（0，2，－1），光線所行走的路程為｜M′N｜＝eq\r（2－02＋0－22＋2＋12）＝eq\r(17）．6．直線x＋eq\r（3)y＝0繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得直線與圓（x－2）2＋y2＝3的位置關(guān)系是（）A．直線與圓相切B．直線與圓相交但不過圓心C．直線與圓相離D．直線過圓心答案A解析直線x＋eq\r(3)y＝0的斜率為－eq\f(\r（3),3)，傾斜角為150°，繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°,所得直線的傾斜角為120°，斜率為－eq\r（3），所以直線方程為eq\r(3）x＋y＝0．圓(x－2)2＋y2＝3的圓心(2，0）到直線eq\r（3）x＋y＝0的距離d＝eq\f(2\r（3),\r(3＋1）)＝eq\r(3)＝r，所以直線與圓相切．7．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值為（)A．8B．－4C．6D．無法確定答案C解析∵圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，∴x－y＋3＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(m，2），0)）,即－eq\f(m，2）＋3＝0，解得m＝6．8．已知圓C1：（x＋1）2＋(y－1）2＝1,圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為(）A．(x＋2）2＋（y－2）2＝1B．(x－2)2＋（y＋2）2＝1C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝1D．(x－2）2＋(y－2）2＝1答案B解析設(shè)圓C2的圓心為（a，b），則依題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（a－1，2）－\f(b＋1,2)－1＝0,，\f(b－1，a＋1）＝－1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2，，b＝－2，))對稱圓的半徑長不變，所以圓C2的半徑長為1，故圓C2的方程為（x－2）2＋（y＋2）2＝1,選B．9．以(a，1）為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同時相切的圓的標準方程為（）A．(x－1）2＋(y－1）2＝5B．（x＋1)2＋（y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1）2＝5答案A解析因為兩條直線2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0的距離為d＝eq\f（|－6－4｜,\r（5）)＝2eq\r(5)，所以所求圓的半徑為r＝eq\r（5）,所以圓心（a,1）到直線2x－y＋4＝0的距離為eq\f(|2a－1＋4|,\r（5))＝eq\f(|2a＋3｜，\r（5））＝eq\r(5)，即a＝1或a＝－4,又因為圓心(a，1)到直線2x－y－6＝0的距離也為eq\r（5），所以a＝1．所以所求的圓的標準方程為(x－1)2＋（y－1）2＝5,故選A．10．過直線y＝2x上一點P作圓M：（x－3）2＋(y－2）2＝eq\f(4，5)的兩條切線l1，l2，A，B為切點，當直線l1，l2關(guān)于直線y＝2x對稱時，則∠APB等于（)A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析過圓M的圓心（3，2)向直線y＝2x作垂線,設(shè)垂足為N,易知當點P與點N重合時，l1與l2關(guān)于y＝2x對稱，此時,|MP｜＝eq\f（｜2×3－2|,\r（5）)＝eq\f（4,\r(5)）,又圓M的半徑長為eq\f（2,\r（5)），故sin∠MPA＝eq\f(1,2),則∠MPA＝30°，故∠APB＝60°．11．已知圓C：(x－3)2＋(y－4）2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)（m〉0）,若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．4答案B解析根據(jù)題意,畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1,且|AB｜＝2m．因為∠APB＝90°，連接OP,易知|OP｜＝eq\f(1,2）|AB｜＝m．要求m的最大值,即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC｜＝eq\r(32＋42)＝5，所以｜OP｜max＝|OC｜＋r＝6，即m的最大值為6．12．設(shè)點M(x0，1），若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°,則x0的取值范圍是（）A．[－1，1]B．eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，\f(1，2)))C．[－eq\r（2），eq\r（2)]D．eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2),2），\f（\r(2），2）))答案A解析解法一：過M作圓O的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，若在圓O上存在點N，使∠OMN＝45°，則∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故選A．解法二：過O作OP⊥MN于P，則|OP|＝|OM｜sin45°≤1，∴|OM|≤eq\r（2），即eq\r(x\o\al(2,0）＋1）≤eq\r（2)，∴xeq\o\al(2,0)≤1，即－1≤x0≤1,故選A．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若圓心在x軸上，半徑為eq\r(2)的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0相切，則圓O的方程是________．答案（x＋2)2＋y2＝2解析設(shè)圓心坐標為(a,0）(a＜0），則圓心到直線的距離等于半徑，即r＝eq\f（｜a＋0｜，\r（12＋12））＝eq\r（2)，解得a＝－2．故圓的標準方程為(x＋2）2＋y2＝2．14．動圓x2＋y2－（4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圓心的軌跡方程是________________．答案x－2y－1＝0（x≠1)解析圓心坐標為（2m＋1，m)，半徑長r＝｜m|(m≠0)．令x＝2m＋1，y＝m(m≠0),可得x－2y－1＝0(x≠1)，即為圓心的軌跡方程．15．若直線x＋y＋m＝0上存在點P，過點P可作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，切點為A，B，且∠APB＝60°，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案［－2eq\r（2)，2eq\r(2)]解析若∠APB＝60°，則｜OP|＝2,直線x＋y＋m＝0上存在點P,過點P可作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線PA,PB,等價于直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝4有公共點,由點到直線的距離公式可得eq\f（｜m|，\r(2)）≤2，解得m∈［－2eq\r(2)，2eq\r(2）］．16．當且僅當a<r〈b時,圓x2＋y2＝r2（r>0)上有兩點到直線3x＋4y－15＝0的距離是2，則以(a，b）為圓心,且和直線4x－3y＋1＝0相切的圓的方程為______________．答案(x－1）2＋(y－5）2＝4解析因為圓心(0，0）到直線3x＋4y－15＝0的距離d＝eq\f（|－15|,\r（32＋42))＝3,結(jié)合圖形可知，圓x2＋y2＝r2(r〉0）上有兩點到直線3x＋4y－15＝0的距離為2，等價于｜r－3|<2，即1〈r<5，所以a＝1，b＝5．又點（1，5）到直線4x－3y＋1＝0的距離為eq\f（|4×1＋5×－3＋1|，\r(42＋－32）)＝2，所以所求圓的方程為（x－1）2＋(y－5）2＝4．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．(本小題滿分10分）已知圓C：x2＋y2－2y－4＝0,直線l：mx－y＋1－m＝0．(1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）若直線l與圓C交于不同的兩點A,B，且｜AB｜＝3eq\r(2),求直線l的方程．解（1)將圓C的方程化為標準方程為x2＋（y－1）2＝5，所以圓C的圓心為C(0，1)，半徑r＝eq\r(5），圓心C(0，1)到直線l：mx－y＋1－m＝0的距離d＝eq\f(｜0－1＋1－m｜，\r（m2＋1)）＝eq\f(|m|,\r（m2＋1）)＜1＜eq\r（5），因此直線l與圓C相交．(2）設(shè)圓心C到直線l的距離為d,則d＝eq\r（\r（5）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2），2)）)2）＝eq\f(\r(2),2）．又d＝eq\f(|m｜，\r(m2＋1）),則eq\f（|m｜,\r(m2＋1)）＝eq\f（\r(2),2)，解得m＝±1,所以所求直線方程為x－y＝0或x＋y－2＝0．18．(本小題滿分12分)在空間直角坐標系Oxyz中．(1)在z軸上求一點P，使得它到點A（4,5，6)與到點B（－7，3，11）的距離相等；（2)已知點M到坐標原點的距離等于2eq\r（3)，且它的橫、縱、豎坐標相等，求該點的坐標．解（1)設(shè)點P的坐標為(0，0，c），因為｜PA｜＝｜PB|，所以eq\r（16＋25＋c－62)＝eq\r(49＋9＋c－112)，所以c＝eq\f（51，5），所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,0，\f（51,5)）)．（2）設(shè)點M的坐標為（a，a，a)，所以eq\r（a2＋a2＋a2)＝2eq\r(3)，所以a2＝4，所以a＝±2．所以點M的坐標為M(2，2,2）或M(－2,－2，－2)．19．（本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，圓心在第二象限，半徑為eq\r(2)．(1)求圓C的方程;(2)已知不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．解（1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(D,2)－\f(E,2）－1＝0，,\f（\r(D2＋E2－4×3）,2）＝\r(2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝2，,E＝－4）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（D＝－4，，E＝2））(舍去）．∴圓C的方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(2)圓C：（x＋1)2＋（y－2)2＝2，∵切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，設(shè)切線l：x＋y＝m（m≠0）,∴圓心C（－1，2)到切線的距離等于半徑eq\r(2），即eq\f(|－1＋2－m|,\r（2）)＝eq\r（2)，∴m＝－1或m＝3．∴所求切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．20．（本小題滿分12分)已知點P1(－2，3），P2(0,1），圓C是以P1P2的中點為圓心，eq\f（1，2)|P1P2｜為半徑的圓．（1)若圓C的一條切線在x軸和y軸上截距相等，求此切線方程；（2)若P（x,y)是圓C外一點，從P向圓C引切線PM，M為切點，O為坐標原點，｜PM|＝|PO｜，求使｜PM｜最小的點P的坐標．解（1）設(shè)圓心坐標為C（a，b），半徑為r，依題意得a＝eq\f（－2＋0,2)＝－1，b＝eq\f(3＋1，2)＝2，r＝eq\f（1,2）×eq\r(4＋4）＝eq\r（2)．∴圓C的方程為(x＋1）2＋（y－2)2＝2．①若截距均為0,即圓C的切線過原點，則可設(shè)該切線為y＝kx，即kx－y＝0，則有eq\f(|－k－2|，\r(k2＋1)）＝eq\r（2），解得k＝2±eq\r(6)．此時切線方程為(2＋eq\r(6）)x－y＝0或(2－eq\r(6）)x－y＝0．②若截距不為0，可設(shè)切線為x＋y＝a即x＋y－a＝0,依題意得eq\f（｜－1＋2－a｜，\r（2))＝eq\r(2），解得a＝－1或a＝3．此時切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．綜上，所求切線方程為（2±eq\r(6)）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．（2）∵|PM|＝|PO｜，∴｜PM｜2＝｜PO｜2，即（x＋1）2＋（y－2)2－2＝x2＋y2，整理得y＝eq\f(2x＋3,4),而|PM｜＝｜PO｜＝eq\r（x2＋y2）＝eq\f(1,4)eq\r（20x2＋12x＋9)，當x＝－eq\f(12,2×20)＝－eq\f（3，10）時，|PM|取得最小值．此時點P的坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3，10），\f(3，5)))．21．(本小題滿分12分）已知圓C：x2＋(y－2)2＝5，直線l：mx－y＋1＝0．(1）求證：對任意的m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；(2）若圓C與直線l相交于A,B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．解(1）證明：因為直線l：mx－y＋1＝0恒過定點N(0，1），且點N（0，1)在圓C:x2＋（y－2)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．（2）由題知C（0,2)，設(shè)動點M(x，y)，當x＝0時,M(0，1