高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問(wèn)題19數(shù)列中的最值問(wèn)題含解析9doc

問(wèn)題19數(shù)列中的最值問(wèn)題一、考情解析數(shù)列中的最值是高考熱點(diǎn)，常有題型有：求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)、與Sn有關(guān)的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的n最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實(shí)責(zé)問(wèn)題中的最值及新定義題型中的最值問(wèn)題等.二、經(jīng)驗(yàn)分享(1)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解．解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法①用作差比較法，依照an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞加數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．a(chǎn)n＋1②用作商比較法，依照an(an＞0或an＜0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．a(chǎn)n≥an＋1，an≤an＋1，(2)最大值與最小值：若an≥an－1，則an最大；若an≤an－1，則an最小.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，也許利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，即可求得和的最值；②利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和n＝2＋(，B為常數(shù))為二次函SAnBnA數(shù)，經(jīng)過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.別的，對(duì)于非等差數(shù)列常利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求其通項(xiàng)或前n項(xiàng)和的最值.三、知識(shí)拓展已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，①若d0，Sn有最小值，若，則Sk最小，若ak0則Sk1,Sk最??；①若d0，Sn有最大值，若，則Sk最大，若ak0則Sk1,Sk最大。四、題型解析(一)求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)an－1≤an，求數(shù)列中的最大項(xiàng)的基本方法是：(1)利用不等式組a≥a(n≥2)確定數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式n＋1nan－1≥an，(n≥2)確定數(shù)列的最小項(xiàng)．(3)組an≤an＋1利用函數(shù)或數(shù)列單調(diào)性求最大項(xiàng)或最小項(xiàng).【例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n,求{an}的最大項(xiàng)．n2156【解析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求滿足anan1的n的值.anan1【解法一】基本不等式法.1，S120，則當(dāng)Sn0時(shí)，n的最大值為11，應(yīng)選A(三)求滿足數(shù)列的特定條件的n的最值【例3】【貴州省凱里市第一中學(xué)2018屆高三下學(xué)期一?！恳阎猘n的前n項(xiàng)和為，且a1,a4,a52成等差數(shù)列，，數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Tn，則滿足2017的最小Tn2018正整數(shù)n的值為（）A.8B.9C.10D.11【解析】先求和，再解不等式.【答案】C【解析】，當(dāng)n2時(shí)，，由a1,a4,a52成等差數(shù)列可得，即，解得m2，故an2n，則，故2017，由Tn0得821，即2n12019，則n111，即10，故n的最小值為10.n【小試牛刀】【湖南省邵東縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校2019屆高三月考】已知數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則滿足的的最大整數(shù)值為（）A．338B．337C．336D．335【答案】D(四)求滿足條件的參數(shù)的最值2【例4】已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和,.（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn1的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值.,數(shù)列bnanan1【解析】(1)第一求得a1的值,爾后利用an與Sn的關(guān)系推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列,由此求得an的通項(xiàng)公式；(2)第一結(jié)合（1）求得bn的表達(dá)式,爾后用裂項(xiàng)法求得Tn,再依照數(shù)列Tn的單調(diào)性求得t的最大值．(2)由an3n2,可得.由于,因此Tn1Tn,因此數(shù)列Tn是遞加數(shù)列,因此,因此實(shí)數(shù)t的最大值是1.【議論】(1)求解與參數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,一般是分別變量,再構(gòu)造新函數(shù)求解.(2)使用裂項(xiàng)法,要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí),消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng)．要注意由于數(shù)列{an}中每一項(xiàng)an均裂成一正一負(fù)兩項(xiàng),因此互為相反數(shù)的項(xiàng)合并為零后,所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)必是相同多的,切不可以漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)．【小試牛刀】已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為1,前n項(xiàng)和為S,若對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式n1恒成立,則常數(shù)m所能獲取的最大整數(shù)為.【答案】53【解析】要使恒成立,只需.因,因此,，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，,,,,在數(shù)列中只有,,為正數(shù)的最大值為應(yīng)選5．【湖南師范大學(xué)隸屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,通項(xiàng)公式,則滿足不等式的的最小值是( )A．62B．63C．126D．127【答案】D6．【湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)檢】在數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A．第5項(xiàng)B．第6項(xiàng)C．第7項(xiàng)D．第8項(xiàng)【答案】B【解析】數(shù)列中，，，獲取：，4，，，上邊個(gè)式子相加得：，解得：．當(dāng)時(shí)，首項(xiàng)吻合通項(xiàng)．故：．?dāng)?shù)列滿足，則，由于，故：，解得：，∴當(dāng)n∈[1,44]時(shí),{an}單調(diào)遞減,當(dāng)n∈[45,100]時(shí),{an}單調(diào)遞減,x－2013結(jié)合函數(shù)f(x)＝x－2014的圖象可知,(a)max＝a45,(a)min＝a44,選C.nn10.已知函數(shù),且,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,nN*若Snfn,則Sn4a的最小值為（）an1A．27B．35C．14D．376838【答案】【解析】由題意可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由題意可得或解得a=1或a=-4,5當(dāng)a=-1時(shí),,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列；當(dāng)a=-4時(shí),,,,131時(shí)取等號(hào),當(dāng)且僅當(dāng)n1,即n13n1∵n為正數(shù),故當(dāng)n=3時(shí)原式取最小值37,應(yīng)選D．811．已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann，前n項(xiàng)和為Sn，若不等式恒成立，則M的最小值為_(kāi)_________．【答案】

625912．【江蘇省常州2018屆高三上學(xué)期期末】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若，則a3的最小值為_(kāi)_______.【答案】3【解析】由于an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，因此，則，即，即，即a3的最小值為3.613．【福建省閩侯縣第八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列nan的前n項(xiàng)和為Sn，且an2n，則使得的最小正整數(shù)n的值為_(kāi)_________．【答案】5【解析】，，兩式相減，故，an12n1故，故n的最小值為5.14．【河北省承德市聯(lián)校2018屆高三上學(xué)期期末】設(shè)等差數(shù)列bn滿足b1b36，b2b42,則2b12b22bn的最大值為_(kāi)_______．【答案】512【解析】依題意有，解得，故.，故當(dāng)n3時(shí)，獲取最大值為29512.15．【新疆烏魯木齊地區(qū)2018屆高三第一次診斷】設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S250，S260，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng).【答案】1316.【安徽省淮南市2018屆高三第一次（2月）模擬】已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n2時(shí)，，且a11，設(shè)，則的最小值是________.【答案】9【解析】當(dāng)n2時(shí)，，即，張開(kāi)化為：7∵正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn∴數(shù)列Sn是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．則則當(dāng)且僅當(dāng)n136即n5時(shí)等號(hào)成立.n1故答案為919.已知數(shù)列an滿足：a1N*,a1,36,且,記會(huì)集.1）若a16,寫出會(huì)集M的所有元素；2）若會(huì)集M存在一個(gè)元素時(shí)3的倍數(shù),證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；8（3）求會(huì)集M的元素個(gè)數(shù)的最大值.解析：（1）6,12,24.（2）由于會(huì)集M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),因此不如設(shè)ak是3的倍數(shù).由,可歸納證明對(duì)任意nk,an是3的倍