高一數(shù)學(xué)下學(xué)期：期中測(cè)試卷03（人教A版2019）（測(cè)試范圍：必修第二冊(cè)第六、七、八章）（解析版）

期中測(cè)試卷03（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）（人教A版2019）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【答案】A【解析】由得，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A。2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到的共軛復(fù)數(shù)為：，故選A。3．在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中點(diǎn)為，連接，則，∴，設(shè)，則，解得，∴是等邊三角形，∴，故選C。4．如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且、均為正三角形，，，則該多面體的體積為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】將幾何體割成一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的三棱錐，在梯形中易知，∴，則該幾何體體積為，故選A。5．已知正四棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】連接交于，連結(jié)，由題意得，∴平面，直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，也等于點(diǎn)到平面的距離，作于，，，則為中點(diǎn)，為所求，故選A。6．已知正三角形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使，若三角錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】正如圖，將三角形沿翻折后，注意以為底面，形成三角錐，則平面，∵，，∴，三角錐的外接球球心一定在經(jīng)過底面的外心且垂直于底面的垂線上，設(shè)球心為，外心為，中點(diǎn)為，外接球半徑為，由底面可知，做剖面，則，過做，垂足為，則為中點(diǎn)，，在中，，則，故選A。7．半徑為的圓上有三點(diǎn)、、滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】如圖，與交于點(diǎn)，由得：四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴，故選A。8．如圖為一個(gè)正方體與一個(gè)半球構(gòu)成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個(gè)球中(球未畫出)，使正方體的下底面的頂點(diǎn)均落在球的表面上，半球與球內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】設(shè)球、半球的半徑分別為、，則由正方體與半球的位置關(guān)系易知正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正方體的下底面的中心為，連接，則四棱錐的高，易知該四棱錐為正四棱錐，則其斜高為，由題意得，得，根據(jù)幾何體的對(duì)稱性知球的球心在線段上，連接、，在中，，，，則，解得，∴球的表面積，故選B。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．若復(fù)數(shù)滿足，則關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是()。A、復(fù)數(shù)的實(shí)部為B、復(fù)數(shù)的虛部為C、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為D、復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】設(shè)()，則，化簡(jiǎn)得，根據(jù)對(duì)應(yīng)相等得：，解得，，∴，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在實(shí)軸上，故選ABC。10．兩平行平面截半徑為的球，若截面面積分別為和，則這兩個(gè)平面間的距離是()。A、B、C、D、【答案】AD【解析】如圖(1)所示，若兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，則，如圖(2)所示，若兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè)，則，故選AD。11．已知、、為三條不同的直線，且平面，平面，，則下列命題中錯(cuò)誤的是()。A、若與是異面直線，則至少與、中的一條相交B、若不垂直于，則與一定不垂直C、若，則必有D、若、，則必有【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，若與是異面直線，則至少與、中的一條相交，對(duì)，B選項(xiàng)，時(shí)，若，則，此時(shí)不論，是否垂直，均有，錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由線面平行的性質(zhì)定理可得，對(duì)，D選項(xiàng)，若，則，時(shí)，與平面不一定垂直，此時(shí)平面與平面也不一定垂直，錯(cuò)，故選BD。12．已知、是兩個(gè)單位向量，時(shí)，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是()。A、、的夾角是B、、的夾角是C、D、【答案】ABD【解析】由題可知，，∵、是兩個(gè)單位向量，且的最小值為，∴的最小值為，則，解得，∴與的夾角為或，∴或，∴或，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑傻?，故復(fù)數(shù)的虛部為。14．如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則?！敬鸢浮俊窘馕觥窟B接交于點(diǎn)，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，∴。15．在中，，，若與線段交于點(diǎn)，且，，則的最大值為?！敬鸢浮緿【解析】∵線段與線段交于點(diǎn)，設(shè)()，則，即，又∵、、三點(diǎn)共線，則，即，∵，∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)最小，此時(shí)最大，又，故此時(shí)，∴，即，即的最大值為，故選D。16．如圖所示，長(zhǎng)方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別是側(cè)棱、上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則。【答案】【解析】如圖，連接交于，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，在上截取，連接，則，∴，∴四邊形為平行四邊形，則，又∵，，∴，從而。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）設(shè)方程的根分別為、，且，求實(shí)數(shù)的值?！窘馕觥咳簟閷?shí)數(shù)，則，，解得，4分若、為虛數(shù)，則且、共軛，，解得，9分綜上，或。10分18．（本小題滿分12分）若、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中。(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若且與垂直，求與的夾角?！窘馕觥?1)設(shè)，∵，，∴，，2分又，∴，或，或，∴或；6分(2)∵與垂直，∴，即，8分又，，代入上式解得，∴，10分又，∴。12分19．（本小題滿分12分）如圖，矩形中，，。、分別在線段和上，，將矩形沿折起。記折起后的矩形為，且平面平面。(1)求證：平面；(2)若，求證：；(3)求四面體體積的最大值?！窘馕觥?1)證明：∵四邊形，都是矩形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，2分∴，∵平面，∴平面；4分(2)證明：連接，設(shè)，∵平面平面，且，∴平面，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，6分∴平面，又平面，∴，8分(3)解：設(shè)，則，其中，由(1)得平面，∴四面體的體積為：，10分當(dāng)時(shí)，四面體的體積最大，其最大值為。12分20．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為線段上的點(diǎn)，且，。(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離?！窘馕觥?1)證明：連接，由題意可知，，∴，則，∴，2分∴，則，3分則，即，∵平面平面，∴平面，4分又∵平面，∴，又∵，，∴平面；6分(2)由(1)得，又∵，∴，，8分在中，，∴，則，10分設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可得，即，即，故點(diǎn)到平面的距離為。12分21．（本小題滿分12分）如圖1，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示。(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng)?！窘馕觥?1)證明：∵平面，∴，1分又，，∴平面，∴，2分由三視圖得在中，，為中點(diǎn)，3分∴，，∴平面；4分(2)由三視圖可得，由(1)知，平面，5分又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，∴所求三棱錐的體積；7分(3)取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)即為所求，8分∵為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，9分∴平面，連接、，四邊形的對(duì)角線互相平分，10分∴為平行四邊形，∴，11分又平面，∴在中，。12分22．（本小題滿分12分）如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，。(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離?！窘馕觥?1)設(shè)，取中點(diǎn)，連接、，∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，，2分∵四邊形是直角梯形，，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，