2020高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.11 棱柱、棱錐和棱臺的表面積練習（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時棱柱、棱錐和棱臺的表面積對應(yīng)學(xué)生用書P15知識點一直棱柱的表面積1．長方體的對角線長為2eq\r(14），長、寬、高的比為3∶2∶1，那么它的表面積為（)A．44B．88C．64D．48答案B解析設(shè)長、寬、高分別為3x，2x，x,則對角線長為eq\r（9x2＋4x2＋x2）＝eq\r（14）x＝2eq\r（14),∴x＝2．∴表面積S＝2（6x2＋3x2＋2x2)＝88．2．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）A．180B．200C．220D．240答案D解析由三視圖知該幾何體是放倒的直四棱柱，底面是等腰梯形．梯形的兩底分別是2和8，高是4，腰長為5，則S底＝2×eq\f(2＋8×4，2)＝40．S側(cè)＝ch＝（2＋8＋5×2)×10＝200．∴S表＝40＋200＝240，選D．知識點二正棱錐的表面積3．正三棱錐的底面邊長為a，高為eq\f(\r(6），6)a，則此棱錐的側(cè)面積等于（）A．eq\f(3,4)a2B．eq\f（3,2）a2C．eq\f（3\r（3）,4)a2D．eq\f（3\r(3），2)a2答案A解析側(cè)棱長為eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（6），6)a）)2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），3)a)）2)＝eq\f(\r（2），2）a，斜高為eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(2),2）a))2－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，2)））2)＝eq\f(a，2），∴S側(cè)＝eq\f(1,2)×3×a×eq\f(a，2)＝eq\f(3,4）a2．4．已知棱長均為5,各側(cè)面均為正三角形的四棱錐S－ABCD如圖所示,求它的側(cè)面積、表面積．解如圖，取AB的中點E,連接SE，則SE⊥AB，所以S側(cè)＝4S△SAB＝4×eq\f（1,2）AB×SE＝4×eq\f（1，2）×5×eq\r（52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5，2)))2)＝25eq\r(3)，S表＝S側(cè)＋S底＝25eq\r(3）＋25＝25（eq\r(3）＋1）．知識點三正棱臺的表面積5．已知正四棱臺上底面邊長為4cm，側(cè)棱和下底面邊長都是8cm，求它的側(cè)面積．解解法一：在側(cè)面B1BCC1內(nèi)作B1F⊥BC，E為BC中點，E1為B1C1中點，連EE1，在Rt△B1FB中，設(shè)B1F＝h′，BF＝eq\f(1，2）(8－4）＝2(cm），B1B＝8(cm)，∴B1F＝eq\r（82－22)＝2eq\r（15）（cm)，∴斜高h′＝B1F＝2eq\r(15）（cm）．∴S正棱臺側(cè)＝4×eq\f(1，2）×（4＋8)×2eq\r(15)＝48eq\r(15）（cm2)．解法二：延長正四棱臺的側(cè)棱交于點P，如圖設(shè)PB1＝x，則eq\f(x,x＋8)＝eq\f（4，8），得x＝8．∴PB1＝B1B＝8(cm），∴E1為PE的中點，∴PE1＝eq\r（82－22）＝2eq\r（15）（cm），PE＝2PE1＝4eq\r（15)（cm)．∴SABCD－A1B1C1D1側(cè)＝SP－ABCD側(cè)－SP－A′B′C′D′側(cè)＝4×eq\f（1，2)×8×PE－4×eq\f(1,2）×4×PE1＝4×eq\f(1，2)×8×4eq\r（15）－4×eq\f（1,2）×4×2eq\r(15）＝48eq\r（15）(cm2）．∴正四棱臺的側(cè)面積為48eq\r（15）cm2．對應(yīng)學(xué)生用書P15一、選擇題1．某幾何體的三視圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為（)A．20＋4eq\r（2)B．24C．24＋4eq\r(2)D．28答案A解析由三視圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長為2,正四棱錐的底面為正方形，其邊長為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4×eq\f（1，2）×2×eq\r(2）＝20＋4eq\r(2)．2．已知長方體的表面積是24,所有棱長的和也是24,則長方體的體對角線的長是()A．2eq\r（6)B．2eq\r（3)C．eq\r（6)D．eq\r（3）答案B解析設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z．則有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2xy＋xz＋yz＝24,,4x＋y＋z＝24)）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＋xz＋yz＝12，,x＋y＋z＝6,))則長方體的體對角線的長為eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r（x＋y＋z2－2xy＋xz＋yz)＝eq\r（36－24）＝2eq\r（3)．3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1B．1∶eq\r（2）C．1∶eq\r（3)D．1∶2答案C解析如圖，三棱錐D1－AB1C的各面均是正三角形,其邊長為正方體的面對角線．設(shè)正方體的棱長為a，則面對角線長為eq\r(2）a，S錐＝4×eq\f(1，2）（eq\r（2）a)2×eq\f(\r(3），2）＝2eq\r(3）a2，S正方體＝6a2，故S錐∶S正方體＝1∶eq\r（3)．4．正六棱臺的兩底面邊長分別為1cm和2cm，高是1cm,則它的側(cè)面積是(）A．eq\f(9\r(7),2)cm2B．9eq\r(7)cm2C．eq\f（3\r（2），2）cm2D．3eq\r（2)cm2答案A解析如圖所示，是正六棱臺的一部分，側(cè)面ABB1A1為等腰梯形，OO1為高且OO1＝1(cm)，AB＝1(cm)，A1B1＝2（cm）．取AB和A1B1的中點C，C1，連接OC，CC1,O1C1，則C1C為正六棱臺的斜高，且四邊形OO1C1C為直角梯形．根據(jù)正六棱臺的性質(zhì)可求出OC＝eq\f(\r（3）,2）(cm)，O1C1＝eq\f（\r(3),2）A1B1＝eq\r（3）（cm)，∴CC1＝eq\r(OO\o\al(2，1)＋O1C1－OC2）＝eq\f（\r（7)，2)（cm）．又知上、下底面周長分別為c＝6AB＝6（cm),c′＝6A1B1＝12(cm)．∴正六棱臺的側(cè)面積S正六棱臺側(cè)＝eq\f（1，2)（c＋c′）h′＝eq\f(1，2）×（6＋12）×eq\f(\r（7)，2)＝eq\f(9\r(7），2)(cm2)．5．一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是菱形，則該幾何體的側(cè)面積為（)A．eq\r(3)＋eq\r（6）B．eq\r(3）＋eq\r(5)C．eq\r(2）＋eq\r（6)D．eq\r(2)＋eq\r(5）答案C解析由三視圖，可知該幾何體為高為1，底面對角線長為2的菱形構(gòu)成的四棱錐A－BCDE，如圖所示，其中線段AD在平面BCDE內(nèi)的投影為線段BD．易知△ABC≌△ABE，△ACD≌△AED．在Rt△ABE中，AB＝1,BE＝eq\r（2)，所以AE＝eq\r（3）．在△AED中，AE＝eq\r(3)，DE＝eq\r（2)，AD＝eq\r（5)，所以AE2＋DE2＝AD2，所以△AED是直角三角形，則該幾何體的側(cè)面積為2×eq\f（1,2）×eq\r（2)×eq\r(3）＋2×eq\f(1,2）×eq\r（2)×1＝eq\r(2)＋eq\r(6），故選C．二、填空題6．已知各面均為等邊三角形的四面體的棱長為2,則它的表面積是________．答案4eq\r(3)解析S表＝4×eq\f(\r（3),4)×22＝4eq\r(3)．7．正四棱臺的高是12cm,兩底面邊長相差10cm，全面積是512cm2,則兩底面的邊長分別是________．答案2cm，12cm解析如圖所示，設(shè)正四棱臺的上底面邊長為A1B1＝acm,則AB＝(a＋10)cm，高OO1＝12cm，所以斜高EE1＝eq\r（E1F2＋OE－O1E12）＝eq\r（122＋52）＝13cm．∴a2＋(a＋10）2＋eq\f(1,2)×4×（2a＋10）×13＝512．解得a＝2，∴下底面邊長為a＋10＝12cm．8．如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖（2)所示的幾何體,那么此幾何體的全面積為________．答案（2＋eq\r（2））a2解析正方體棱長為eq\f(\r(2),2）a,新幾何體的全面積為S全＝2×eq\f（\r(2），2）a×a＋4×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2）a））2＝（2＋eq\r（2）)a2．三、解答題9．正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高是3，求它的表面積．解如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，∵S側(cè)＝2S底，∴4·eq\f（1,2)·BC·PE＝2BC2．∴BC＝PE．在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f（1，2)BC＝eq\f(1,2)PE．∴9＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(PE，2))）2＝PE2．∴PE＝2eq\r(3)．∴S底＝BC2＝PE2＝（2eq\r（3）)2＝12．S側(cè)＝2S底＝2×12＝24．∴S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36．10．已知正三棱錐S－ABC,一個正三棱柱的一個底面的三個頂點在棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15cm，底面邊長為12cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm．（1)求正三棱柱的高；（2）求棱柱上底面截得的棱錐與原棱錐側(cè)面積之比．解（1）如圖,設(shè)正三棱柱高為h，底面邊長為x，則eq\f（15－h(huán)，15)＝eq\f（x，12),∴x＝eq\f(4，5)（15－h(huán))．①又S三棱柱側(cè)＝3x·h＝120．∴xh＝40．②解①②得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,,h＝10））或eq\