五年高考真題(數(shù)學(xué)理) 13 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

考點(diǎn)一坐標(biāo)系與極坐標(biāo)1．(2014·安徽，4)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為()A.eq\r(14) B．2eq\r(14) C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2，0)，r＝2.∴點(diǎn)C到直線l的距離d＝eq\f(|2－0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，∴所求弦長＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).故選D.答案D2．(2013安徽，7)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析由ρ＝2cosθ得x2＋y2－2x＝0.∴(x－1)2＋y2＝1，圓的兩條垂直于x軸的切線方程為x＝0和x＝2.故極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故選B.答案B3．(2015·廣東，14)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，則點(diǎn)A到直線l的距離為________．解析依題已知直線l：2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)和點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離為d＝eq\f(|2－（－2）＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2).答案eq\f(5\r(2),2)4．(2015·北京，11)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直線ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距離為________．解析在平面直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為(1，eq\r(3))，直線方程為：x＋eq\r(3)y＝6，∴點(diǎn)(1，eq\r(3))到直線的距離為d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,2)＝eq\f(|－2|,2)＝1.答案15．(2015·安徽，12)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是________．解析由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝eq\f(π,3)得y＝eq\r(3)x，即eq\r(3)x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線y＝eq\r(3)x的距離為2，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝eq\f(π,3)的最大距離為4＋2＝6.答案66．(2014·重慶，15)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑ρ＝________．解析直線l的普通方程為y＝x＋1，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x，故直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．故該點(diǎn)的極徑ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(5).答案eq\r(5)7．(2014·天津，13)在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB是等邊三角形，則a的值為________．解析圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y，直線的直角坐標(biāo)方程為y＝a，因?yàn)椤鰽OB為等邊三角形，則A(±eq\f(a,\r(3))，a)，代入圓的方程得eq\f(a2,3)＋a2＝4a，故a＝3.答案38．(2014·湖南，11)在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與曲線C：(α為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是________．解析曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直線l與曲線C相交所得的弦長|AB|＝2知，AB為圓的直徑，故直線l過圓心(2，1)，注意到直線的傾斜角為eq\f(π,4)，即斜率為1，從而直線l的普通方程為y＝x－1，從而其極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρcosθ－1，即eq\r(2)·ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1.答案eq\r(2)·ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝19．(2014·廣東，14)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．解析由ρsin2θ＝cosθ得ρ2sin2θ＝ρcosθ，其直角坐標(biāo)方程為y2＝x，ρsinθ＝1的直角坐標(biāo)方程為y＝1，由得C1和C2的交點(diǎn)為(1，1)．答案(1，1)10．(2013·湖北，16)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________．解析l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝m，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝b2，由直線l與圓O相切，得m＝±eq\r(2)b.從而橢圓的一個焦點(diǎn)為(eq\r(2)b，0)，即c＝eq\r(2)b，所以a＝eq\r(3)b，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)11．(2012·湖北，16)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線θ＝eq\f(π,4)與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．解析由極坐標(biāo)方程可知，θ＝eq\f(π,4)表示射線y＝x(x≥0)，而表示y＝(x－2)2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)．聯(lián)立可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2＝5.即x0＝y(tǒng)0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5,2)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5,2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5,2)))12．(2011·陜西，15C)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B，分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________．解析曲線C1：(θ為參數(shù))的直角坐標(biāo)系方程為(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知C1是以(3，4)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2：ρ＝1的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，題意就是求分別在兩個圓C1和C2上的兩點(diǎn)A，B的最短距離．由圓的方程知，這兩個圓相離，所以|AB|min＝d－r1－r2＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)－1－1＝5－1－1＝3.答案313．(2015·江蘇，21)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圓C的半徑．解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化簡，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為eq\r(6).14．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，23)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．解(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).15．(2014·遼寧，23)將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x，y)，依題意，得由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．(2)由解得：或不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直線斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).考點(diǎn)二參數(shù)方程1．(2014·北京，3)曲線(θ為參數(shù))的對稱中心()A．在直線y＝2x上B．在直線y＝－2x上C．在直線y＝x－1上D．在直線y＝x＋1上解析曲線(θ為參數(shù))的普通方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，該曲線為圓，圓心(－1，2)為曲線的對稱中心，其在直線y＝－2x上，故選B.答案B2．(2014·江西，11(2))若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)解析∵∴y＝1－x化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ).∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，∴0≤θ≤eq\f(π,2).故選A.答案A3．(2015·重慶，15)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ＞0，\f(3π,4)＜θ＜\f(5π,4)))，則直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________．解析直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點(diǎn)為(－2，0)，其極坐標(biāo)為(2，π)．答案(2，π)4．(2014·湖北，16)已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．解析曲線C1為射線y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)．曲線C2為圓x2＋y2＝4.設(shè)P為C1與C2的交點(diǎn)，如圖，作PQ垂直x軸于點(diǎn)Q.因?yàn)閠an∠POQ＝eq\f(\r(3),3)，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1與C2的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)．答案(eq\r(3)，1)5．(2013·湖南，9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為________．解析由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線l的方程為y＝x－a，橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以其右頂點(diǎn)為(3，0)，由題意知0＝3－a，解得a＝3.答案36.(2013·陜西，15C)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________．解析由三角函數(shù)定義知eq\f(y,x)＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝eq\f(1,1＋tan2θ)＝cos2θ，則y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝eq\f(π,2)時，x＝0，y＝0也適合題意，故參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．答案(θ為參數(shù))7．(2013·重慶，15)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析由極坐標(biāo)方程ρcosθ＝4，化為直角坐標(biāo)方程可得x＝4，而由曲線參數(shù)方程消參得x3＝y(tǒng)2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.答案168．(2012·湖南，9)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個公共點(diǎn)在x軸上，則a＝________.解析把曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為y＝－2x＋3，曲線C2的普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1，直線y＝－2x＋3與x軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，即a＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)9．(2012·北京，9)直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個數(shù)為________．解析直線方程可化為x＋y－1＝0，曲線方程可化為x2＋y2＝9，圓心(0，0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<3，∴直線與圓有兩個交點(diǎn)．答案210．(2015·福建，21(2))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；②設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．解①消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0.②依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即eq\f(|1－（－2）＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).11．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程