2022年人教版《解直角三角形的簡單應用》公開課教案

28.2.2應用舉例第1課時解直角三角形的簡單應用1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用；(重點)2．能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，并運用解直角三角形求解．(難點)一、情境導入為倡導“低碳生活〞，人們常選擇以自行車作為代步工具．圖①所示的是一輛自行車的實物圖，圖②是這輛自行車的局部幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點：解直角三角形的簡單應用【類型一】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，方案在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA°，∠BCA°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數(shù)據(jù)：°≈°≈0.24°≈；°≈°≈°≈2.5.解析：設AD＝xm，那么AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關于x的方程，進一步即可求解．解：設AD＝xm，那么AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈m.答：ABm.方法總結：解題的關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．變式訓練：見《》本課時練習“課堂達標訓練〞第3題【類型二】求不可到達的兩點的高度如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最正確時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CEcm，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈)?解析：首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案．解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈(cm)．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CEcm.方法總結：將實際問題抽象為數(shù)學問題，畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題．變式訓練：見《》本課時練習“課后穩(wěn)固提升〞第6題【類型三】方案設計類問題小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③，四邊形ABCD)，其中AD∥BC，BCm，ADm，CDm，∠C＝90°，∠A＝53°.m，，讓小鋒算算是否可行．小鋒設計了兩種方案，如圖①和圖②所示．(1)請你通過計算說明小鋒的兩種設計方案是否合理；(2)請你利用圖③再設計一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin53°，cos53°，tan53°＝eq\f(4,3))．解析：(1)方案1，如圖①所示，在Rt△AGE中，依據(jù)正切函數(shù)求得AG的長，進而求得DG的長，然后與汽車的寬度比擬即可；方案2，如圖②所示，在Rt△ALH中，依據(jù)正切函數(shù)求得AL的長，進而求得DL的長，然后與汽車的長度比擬即可；(2)讓汽車平行于AB停放，如圖③，在Rt△AMN中，依據(jù)正弦函數(shù)求得AM的長，進而求得DM的長．在Rt△PDM中，依據(jù)余弦函數(shù)求得PM的長，然后與汽車的長度比擬即可．解：(1)如圖①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝eq\f(EG,tan∠A)＝eq\f,\f(4,3))m≈3.68m，∴DG＝AD－AG＝mm，故此方案不合理；如圖②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LHm，∴AL＝eq\f(LH,tan53°)＝eq\f,\f(4,3))≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝m，故此方案不合理；(2)如圖③，過DA上一點M作MN⊥AB于點N，過CD上一點P作PQ⊥AB于點Q，連PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MNm，∴AM＝eq\f(MN,sin53°)＝eq\f,0.8)≈2.4，∴DMm.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DMm，∴PM＝eq\f(DM,cos53°)＝eq\f,0.6)≈＞4.9m，故此方案合理．方法總結：此題主要是利用三角函數(shù)解決實際問題，關鍵是把實際問題轉化為解直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．變式訓練：見《》本課時練習“課后穩(wěn)固提升〞第7題三、板書設計1．求河寬和物體的高度；2．其他應用類問題．本節(jié)課為了充分發(fā)揮學生的主觀能動性，可引導學生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高學生學習數(shù)學的興趣．能夠使學生自己構造實際問題中的直角三角形模型，并通過解直角三角形解決實際問題.第2課時百分率和配套問題教學目標1．學會運用二元一次方程組解決百分率和配套問題；2．進一步經(jīng)歷和體驗方程組解決實際問題的過程。教學重難點【教學重點】根據(jù)題中的各個量的關系，準確列出方程組?！窘虒W難點】借助列表，數(shù)與數(shù)之間的關系，分析出問題中所蘊涵的數(shù)量關系。課前準備課件、教具等。教學過程一、情境導入(1)某工廠去年的總產(chǎn)值是x萬元，今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，那么今年的總產(chǎn)值是________萬元；(2)假設該廠去年的總支出為y萬元，今年的總支出比去年減少了10%，那么今年的總支出是________萬元；(3)假設該廠今年的利潤為780萬元，那么由(1)，(2)可得方程________________．二、合作探究探究點一：列方程組解決百分率問題【類型一】列方程組解決增長率問題例1為了解決民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費〞．據(jù)統(tǒng)計，去年秋季有5000名民工子女進入主城區(qū)中小學學習，預測今年秋季進入主城區(qū)中小學學習的民工子女將比去年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣今年秋季將新增1160名民工子女在主城區(qū)中小學學習．(1)如果按小學每年收“借讀費〞500元、中學每年收“借讀費〞1000元計算，求今年秋季新增的1160名中小學生共免收多少“借讀費〞；(2)如果小學每40名學生配備2名教師，中學每40名學生配備3名教師，按今年秋季入學后，民工子女在主城區(qū)中小學就讀的學生人數(shù)計算，一共需配備多少名中小學教師？解析：解決此題的關鍵是求出今年秋季入學的學生中，小學生和初中生各有民工子女多少人．欲求解這個問題，先要求出去年秋季入學的學生中，小學生和初中生各有民工子女多少人．解：(1)設去年秋季在主城區(qū)小學學習的民工子女有x人，在主城區(qū)中學學習的民工子女有y人．那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5000，,20%x＋30%y＝1160.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3400，,y＝1600.))20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(萬元)．答：今年秋季新增的1160名中小學生共免收82萬元“借讀費〞；(2)今年秋季入學后，在小學就讀的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中學就讀的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配備的中小學教師(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配備360名中小學教師．方法總結：在解決增長相關的問題中，應注意原來的量與增加后的量之間的換算關系：增長率＝(增長后的量－原量)÷原量．【類型二】列方程組解決利潤問題例2某商場購進甲、乙兩種商品后，甲商品加價50%、乙商品加價40%作為標價，適逢元旦，商場舉辦促銷活動，甲商品打八折銷售，乙商品打八五折酬賓，某顧客購置甲、乙商品各1件，共付款538元，商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進價各是多少元．解析：此題中所含的等量關系有：①甲商品的售價＋乙商品的售價＝538元；②甲商品的利潤＋乙商品的利潤＝88元．解：設甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋88＝538，,x〔1＋50%〕×80%＋y〔1＋40%〕×85%＝538.))化簡，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝450，,xy＝538.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝250，,y＝200.))答：甲商品的進價為250元，乙商品的進價為200元．方法總結：銷售問題中進價、利潤、售價、折扣等量之間的關系：利潤＝售價－進價，售價＝標價×折扣，售價＝進價＋利潤等．探究點二：列方程組解決配套問題例3現(xiàn)用190張鐵皮做盒子，每張鐵皮可以做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整的盒子，用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解析：此題有兩個未知量——制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)．問題中有兩個等量關系：(1)制盒身鐵皮張數(shù)＋制盒底鐵皮張數(shù)＝190；(2)制成盒身的個數(shù)的2倍＝制成盒底的個數(shù)．解：設制盒身的鐵皮數(shù)為x張，制盒底的鐵皮數(shù)為y張，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝190，,2×8x＝22y.))解得eq\b\lc\{(\a\v