《微積分》第七章無窮級(jí)數(shù)-課件

第七章

無窮級(jí)數(shù)1第七章

無窮級(jí)數(shù)1齊諾悖論—阿基里斯與烏龜公元前五世紀(jì)，以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí)，引發(fā)出以下著名的悖論：如果讓阿基里斯(Achilles，古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑，讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始，假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍，也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候，阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米，…，如此分析下去，顯然阿基里斯離烏龜越來越近，但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是荒謬的，但奇怪的是，這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么，問題究竟出在哪兒呢？2齊諾悖論—阿基里斯與烏龜公元前五世紀(jì)，以詭辯著稱的古精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說早早早……”44第一節(jié)無窮級(jí)數(shù)的概念

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積5第一節(jié)無窮級(jí)數(shù)的概念無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要1、級(jí)數(shù)的定義：—(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)通項(xiàng)級(jí)數(shù)的前

n項(xiàng)部分和數(shù)列61、級(jí)數(shù)的定義：—(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)通項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散：定義(設(shè)極限為S)

，則稱該無窮級(jí)數(shù)收斂，且稱S為該級(jí)數(shù)的和，并記為72、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散：定義(設(shè)極限為S)，則稱該無窮級(jí)解例1討論無窮級(jí)數(shù)的收斂性.所以級(jí)數(shù)收斂，且和為1。8解例1討論無窮級(jí)數(shù)的收斂性.所以級(jí)數(shù)收斂，且和為1。8解例2所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以9解例2所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以9解收斂發(fā)散例3討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.10解收斂發(fā)散例3討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.10發(fā)散發(fā)散綜上所述，11發(fā)散發(fā)散綜上所述，11齊諾悖論—阿基里斯與烏龜阿基里斯是希臘傳說中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然發(fā)現(xiàn)在他前面一千米遠(yuǎn)的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說：“阿基里斯，誰說你跑得最快？你連我都追不上！”阿基里斯說：“胡說！我的速度比你快何止上百倍！就算剛好是你的十倍，我也馬上就可以超過你！”烏龜說：“就照你說的，咱們來試一試吧！當(dāng)你跑到我現(xiàn)在這個(gè)地方，我已經(jīng)向前跑了一百米。當(dāng)你向前跑過這一百米時(shí)，我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近，卻永遠(yuǎn)也追不上我！”阿基里斯說：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你說的好像也有道理耶。這到底是怎么回事呢？"12齊諾悖論—阿基里斯與烏龜阿基里斯是希臘傳說中跑得最A(yù)B

假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)B，當(dāng)他到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到B1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)B1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到B2點(diǎn)，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離.因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)模B1B1B213AB假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題，齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破。設(shè)阿基里斯的速度為烏龜速度的10倍，則他跑完1000米時(shí)，烏龜又爬了100米；等阿基里斯跑完這段路，烏龜又向前爬了10米……，依次類推，阿基里斯需要追趕的全部路程為14如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題，齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不思考題：還有沒有其他方法解此題？這里已經(jīng)假定可以追上。15思考題：還有沒有其他方法解此題？這里已經(jīng)假定可以追上。15研究課題1：無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)？16研究課題1：無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)？16解例4小課題：請(qǐng)編寫一套把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法。17解例4小課題：請(qǐng)編寫一套把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法。17循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法：第一型：18循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法：第一型：18例如：19例如：19第二型：20第二型：20例如：21例如：21第二節(jié)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂，且有性質(zhì)1證22第二節(jié)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂，且有性質(zhì)1證22說明：證矛盾.23說明：證矛盾.23性質(zhì)2證24性質(zhì)2證242525性質(zhì)3去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)，不會(huì)影響它的斂散性.這是因?yàn)?，去掉、添加或改變?jí)數(shù)中的有限項(xiàng)后所得數(shù)列的部分和數(shù)列與原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列只相差一個(gè)常數(shù)，所以具有相同的斂散性。注意：原級(jí)數(shù)若收斂，則改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)后，一般要改變它的和.26性質(zhì)3去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)，不會(huì)影響它的斂散性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.證例如，27性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.證例如，證性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.推論發(fā)散級(jí)數(shù)去括號(hào)仍發(fā)散。例如28證性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.注收斂性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證29性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證29說明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散。30說明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)發(fā)散；2、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：

但級(jí)數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級(jí)數(shù)

312、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：但級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)調(diào)和級(jí)數(shù)增加的速度非常緩慢，例如那么調(diào)和級(jí)數(shù)到底的收斂還是發(fā)散？調(diào)和級(jí)數(shù)

32調(diào)和級(jí)數(shù)增加的速度非常緩慢，例如那么調(diào)和級(jí)數(shù)到底的收斂還是證明：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)

假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，其和為S，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。證因?yàn)?3證明：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，其進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，雖然調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大，但其發(fā)散的速度卻是驚人的緩慢。這說明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大實(shí)在不是直接的計(jì)算所能得到的，由于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大的緩慢性，我們也可形象地稱調(diào)和級(jí)數(shù)為一“堅(jiān)韌不拔”的級(jí)數(shù)，另一方面它又提醒我們：人不可“貌相”，級(jí)數(shù)的斂散性不可憑“想象”，需要嚴(yán)格的證明。調(diào)和級(jí)數(shù)

34進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，雖然調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大，但其發(fā)例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和為35例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗浚试?jí)數(shù)收斂，解收斂；發(fā)散。例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：36收斂；發(fā)散。例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：36第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：定理(一)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題37第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。2、正項(xiàng)級(jí)(二)比較判別法證明定理(1)38(二)比較判別法證明定理(1)38(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價(jià)命題。注：定理的條件可放寬為：定理39(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價(jià)命題。注：定理的條件解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.40解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.40解例2故原級(jí)數(shù)發(fā)散；于是有41解例2故原級(jí)數(shù)發(fā)散；于是有41所以于是42所以于是42重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)，p

-

級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)。比較：43重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)，p-級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)。比較：43解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。44解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。44比較判別法的極限形式：45比較判別法的極限形式：45證明46證明46可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性。47可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性。47證明由比較判別法可知，(注意：?jiǎn)蜗?由(2)即得結(jié)論。48證明由比較判別法可知，(注意：?jiǎn)蜗?由(2)即得結(jié)論。例5例6所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。解解49例5例6所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。解解49例7例8發(fā)散解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。解所以原級(jí)數(shù)收斂。50例7例8發(fā)散解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。解所以原級(jí)數(shù)收斂。50常用等價(jià)無窮小：51常用等價(jià)無窮?。?1解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.52解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.52例9解53例9解53例10收斂，解所以原級(jí)數(shù)收斂。54例10收斂，解所以原級(jí)數(shù)收斂。54例11所以原級(jí)數(shù)收斂。55例11所以原級(jí)數(shù)收斂。55例12解所以原級(jí)數(shù)收斂。所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。56例12解所以原級(jí)數(shù)收斂。所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。56證例13由基本不等式57證例13由基本不等式57(三)比值判別法(達(dá)朗貝爾比值判別法)

證略58(三)比值判別法(達(dá)朗貝爾比值判別法)證略58例14判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的斂散性所以級(jí)數(shù)收斂。解解所以級(jí)數(shù)收斂。59例14判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的斂散性所以級(jí)數(shù)收斂。解解所以級(jí)解解所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)收斂.60解解所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)收斂.60解練習(xí)：所以級(jí)數(shù)收斂。61解練習(xí)：所以級(jí)數(shù)收斂。61解所以用比值法無法判斷.用比較法，所以原級(jí)數(shù)收斂。62解所以用比值法無法判斷.用比較法，所以原級(jí)數(shù)收斂。62例15解63例15解63(四)根值判別法(柯西根值判別法)

證略64(四)根值判別法(柯西根值判別法)證略64例16解所以級(jí)數(shù)收斂.例17解所以級(jí)數(shù)收斂.65例16解所以級(jí)數(shù)收斂.例17解所以級(jí)數(shù)收斂.65解例18級(jí)數(shù)發(fā)散。66解例18級(jí)數(shù)發(fā)散。66第四節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理(萊布尼茨判別法)

稱萊布尼茨型級(jí)數(shù)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件(一)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

67第四節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)證另一方面，由條件(2)可知，即原級(jí)數(shù)收斂，由條件(1)可知，68證另一方面，由條件(2)可知，即原級(jí)數(shù)收斂，由條件(1

注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件。定理(萊布尼茨判別法)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件69注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件例19解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，稱為交錯(cuò)

p

-

級(jí)數(shù).所以級(jí)數(shù)收斂。證明級(jí)數(shù)收斂。70例19解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，解由萊布尼茨定理知級(jí)數(shù)收斂。練習(xí)71解由萊布尼茨定理知級(jí)數(shù)收斂。練習(xí)71(二)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理：絕對(duì)收斂必收斂。72(二)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)證明定理：73證明定理：73說明：(1)定理不可逆：級(jí)數(shù)收斂，未必絕對(duì)收斂；74說明：(1)定理不可逆：級(jí)數(shù)收斂，未必絕對(duì)收斂；74這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是說明：75這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是說明：75例20判定下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散.解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.解故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.76例20判定下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散.解故原級(jí)解故級(jí)數(shù)發(fā)散.解所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。77解故級(jí)數(shù)發(fā)散.解所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。77例21解78例21解78例22解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;79例22解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;79由萊布尼茨定理，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂．80由萊布尼茨定理，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂．80例23解而原級(jí)數(shù)為萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂，即條件收斂。81例23解而原級(jí)數(shù)為萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂，即條件收斂。81例24解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；82例24解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；82小結(jié)：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的思路：正項(xiàng)？Y比較判別法比值判別法N絕對(duì)收斂？YENDN若用比值法，發(fā)散若用比較法，萊布尼茨定理N發(fā)散Y83小結(jié)：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的思路：正項(xiàng)？Y比較判別法N絕對(duì)收斂第五節(jié)冪級(jí)數(shù)

(一)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。84第五節(jié)冪級(jí)數(shù)(一)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域1、冪級(jí)數(shù)2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域852、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域85證O定理(阿貝爾Abel定理)

86證O定理(阿貝爾Abel定理)86由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,

證87由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,證87由(1)結(jié)論,幾何說明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.88由(1)結(jié)論,幾何說明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾此時(shí)正數(shù)

R

稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題：如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?（2）在整個(gè)數(shù)軸上收斂；89此時(shí)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題：如何求冪級(jí)數(shù)的定理直接地講，就是90定理直接地講，就是90證91證91證畢.92證畢.92求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1解發(fā)散；收斂。93求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1解發(fā)散；收斂。93求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1一般，94求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1一般，94解收斂半徑端點(diǎn)處：收斂；發(fā)散；例295解收斂半徑端點(diǎn)處：收斂；發(fā)散；例295解收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，例396解收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，例396例4解例5解97例4解例5解97發(fā)散；發(fā)散，故收斂域?yàn)?-1,3).例6解98發(fā)散；發(fā)散，故收斂域?yàn)?-1,3).例6解98缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例7解直接應(yīng)用比值判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散；99缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例7解直接應(yīng)用比值判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；100級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；100(二)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的加減法：加法：減法：101(二)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的加減法：加法：減法：101冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)102冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)102且收斂半徑仍為R.

(2)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來收斂的端點(diǎn)可能變發(fā)散。103且收斂半徑仍為R.(2)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來收斂的端點(diǎn)可能變注：逐項(xiàng)積分后，原來發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂。且收斂半徑仍為R.

104注：逐項(xiàng)積分后，原來發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂。且收斂半徑仍為R.解例8收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，105解例8收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，105解例8所以兩邊從0到x積分,106解例8所以兩邊從0到x積分,106(1)解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例9求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：107(1)解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例9求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)(2)解收斂半徑108(2)解收斂半徑108(3)解109(3)解109簡(jiǎn)便寫法：解(3)110簡(jiǎn)便寫法：解(3)110(4)解111(4)解111第六節(jié)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)(一)泰勒公式112第六節(jié)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)(一)泰勒公式112不足：?jiǎn)栴}：1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。113不足：?jiǎn)栴}：1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。113分析：2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交114分析：2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1n階接觸115n階接觸115拉格朗日型余項(xiàng)116拉格朗日型余項(xiàng)116證明：且117證明：且117118118則由上式得證畢119則由上式得證畢119120120此時(shí)泰勒公式稱為麥克勞林公式。麥克勞林(Maclaurin)公式121此時(shí)泰勒公式稱為麥克勞林公式。麥克勞林(Maclaurin)(二)泰勒級(jí)數(shù)定義的泰勒級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。122(二)泰勒級(jí)數(shù)定義的泰勒級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。122第七節(jié)某些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式問題：2.如果能展開，怎么展開?3.展開式是否唯一?1.f(x)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?與求和函數(shù)的相反問題：求冪級(jí)數(shù)，在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)—函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。123第七節(jié)某些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式問題：2.如果能展開，上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得124上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得124且展開式是唯一的。125且展開式是唯一的。125證由泰勒公式直接獲證。126證由泰勒公式直接獲證。126(一)直接展開法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟：先討論展開成麥克勞林級(jí)數(shù)。2、寫出冪級(jí)數(shù)，并求其收斂域

D.

如果是，則

f(x)在D上可展開成麥克勞林級(jí)數(shù)127(一)直接展開法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟：先討論展開成麥克勞林級(jí)數(shù)例1解對(duì)任意固定的x,由比值法，

128例1解對(duì)任意固定的x,由比值法，128對(duì)任意固定的x,由比值法，

即證得129對(duì)任意固定的x,由比值法，即證得129130130例2解131例2解131132132例3收斂域?yàn)椋?α不為正整數(shù))推導(dǎo)略133例3收斂域?yàn)椋?α不為正整數(shù))推導(dǎo)略133特別,雙階乘134特別,雙階乘134135135(二)間接展開法間接展開法是根據(jù)展開式的唯一性，利用已知展開式，通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法，求出函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。136(二)間接展開法間接展開法是根據(jù)展開式的唯一性，利用已知展開利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得例4解根據(jù)已知展開式137利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得例4解根據(jù)已知展開式137例5解兩邊從0到x積分，得138例5解兩邊從0到x積分，得138例6解兩邊從0到x積分，得139例6解兩邊從0到x積分，得139例7解所以140例7解所以140所以例8解法1注意兩邊從0到x積分，得141所以例8解法1注意兩邊從0到x積分，得141例8解法2142例8解法2142常用的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式143常用的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式143(α不為正整數(shù))144(α不為正整數(shù))144例9解145例9解145例10解146例10解146例11解兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，得147例11解兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，得147以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)數(shù)：其收斂域?yàn)镈，

一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開。148以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)數(shù)：其收例12解149例12解149例13解150例13解150例14解而151例14解而151152152例15解153例15解153例16解154例16解154第七章

無窮級(jí)數(shù)155第七章

無窮級(jí)數(shù)1齊諾悖論—阿基里斯與烏龜公元前五世紀(jì)，以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí)，引發(fā)出以下著名的悖論：如果讓阿基里斯(Achilles，古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑，讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始，假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍，也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候，阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米，…，如此分析下去，顯然阿基里斯離烏龜越來越近，但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是荒謬的，但奇怪的是，這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么，問題究竟出在哪兒呢？156齊諾悖論—阿基里斯與烏龜公元前五世紀(jì)，以詭辯著稱的古精品資料157精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說早早早……”1584第一節(jié)無窮級(jí)數(shù)的概念

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積159第一節(jié)無窮級(jí)數(shù)的概念無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要1、級(jí)數(shù)的定義：—(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)通項(xiàng)級(jí)數(shù)的前

n項(xiàng)部分和數(shù)列1601、級(jí)數(shù)的定義：—(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)通項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散：定義(設(shè)極限為S)

，則稱該無窮級(jí)數(shù)收斂，且稱S為該級(jí)數(shù)的和，并記為1612、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散：定義(設(shè)極限為S)，則稱該無窮級(jí)解例1討論無窮級(jí)數(shù)的收斂性.所以級(jí)數(shù)收斂，且和為1。162解例1討論無窮級(jí)數(shù)的收斂性.所以級(jí)數(shù)收斂，且和為1。8解例2所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以163解例2所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以9解收斂發(fā)散例3討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.164解收斂發(fā)散例3討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.10發(fā)散發(fā)散綜上所述，165發(fā)散發(fā)散綜上所述，11齊諾悖論—阿基里斯與烏龜阿基里斯是希臘傳說中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然發(fā)現(xiàn)在他前面一千米遠(yuǎn)的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說：“阿基里斯，誰說你跑得最快？你連我都追不上！”阿基里斯說：“胡說！我的速度比你快何止上百倍！就算剛好是你的十倍，我也馬上就可以超過你！”烏龜說：“就照你說的，咱們來試一試吧！當(dāng)你跑到我現(xiàn)在這個(gè)地方，我已經(jīng)向前跑了一百米。當(dāng)你向前跑過這一百米時(shí)，我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近，卻永遠(yuǎn)也追不上我！”阿基里斯說：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你說的好像也有道理耶。這到底是怎么回事呢？"166齊諾悖論—阿基里斯與烏龜阿基里斯是希臘傳說中跑得最A(yù)B

假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)B，當(dāng)他到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到B1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)B1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到B2點(diǎn)，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離.因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?！BB1B1B2167AB假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題，齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破。設(shè)阿基里斯的速度為烏龜速度的10倍，則他跑完1000米時(shí)，烏龜又爬了100米；等阿基里斯跑完這段路，烏龜又向前爬了10米……，依次類推，阿基里斯需要追趕的全部路程為168如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題，齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不思考題：還有沒有其他方法解此題？這里已經(jīng)假定可以追上。169思考題：還有沒有其他方法解此題？這里已經(jīng)假定可以追上。15研究課題1：無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)？170研究課題1：無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)？16解例4小課題：請(qǐng)編寫一套把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法。171解例4小課題：請(qǐng)編寫一套把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法。17循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法：第一型：172循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的方法：第一型：18例如：173例如：19第二型：174第二型：20例如：175例如：21第二節(jié)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂，且有性質(zhì)1證176第二節(jié)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂，且有性質(zhì)1證22說明：證矛盾.177說明：證矛盾.23性質(zhì)2證178性質(zhì)2證2417925性質(zhì)3去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)，不會(huì)影響它的斂散性.這是因?yàn)椋サ?、添加或改變?jí)數(shù)中的有限項(xiàng)后所得數(shù)列的部分和數(shù)列與原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列只相差一個(gè)常數(shù)，所以具有相同的斂散性。注意：原級(jí)數(shù)若收斂，則改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)后，一般要改變它的和.180性質(zhì)3去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)，不會(huì)影響它的斂散性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.證例如，181性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.證例如，證性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.推論發(fā)散級(jí)數(shù)去括號(hào)仍發(fā)散。例如182證性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂，且其和不變.注收斂性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證183性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證29說明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散。184說明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)發(fā)散；2、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：

但級(jí)數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級(jí)數(shù)

1852、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：但級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)調(diào)和級(jí)數(shù)增加的速度非常緩慢，例如那么調(diào)和級(jí)數(shù)到底的收斂還是發(fā)散？調(diào)和級(jí)數(shù)

186調(diào)和級(jí)數(shù)增加的速度非常緩慢，例如那么調(diào)和級(jí)數(shù)到底的收斂還是證明：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)

假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，其和為S，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。證因?yàn)?87證明：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，其進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，雖然調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大，但其發(fā)散的速度卻是驚人的緩慢。這說明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大實(shí)在不是直接的計(jì)算所能得到的，由于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大的緩慢性，我們也可形象地稱調(diào)和級(jí)數(shù)為一“堅(jiān)韌不拔”的級(jí)數(shù)，另一方面它又提醒我們：人不可“貌相”，級(jí)數(shù)的斂散性不可憑“想象”，需要嚴(yán)格的證明。調(diào)和級(jí)數(shù)

188進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，雖然調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮大，但其發(fā)例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和為189例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗浚试?jí)數(shù)收斂，解收斂；發(fā)散。例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：190收斂；發(fā)散。例1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：36第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：定理(一)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題191第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。2、正項(xiàng)級(jí)(二)比較判別法證明定理(1)192(二)比較判別法證明定理(1)38(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價(jià)命題。注：定理的條件可放寬為：定理193(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價(jià)命題。注：定理的條件解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.194解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.40解例2故原級(jí)數(shù)發(fā)散；于是有195解例2故原級(jí)數(shù)發(fā)散；于是有41所以于是196所以于是42重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)，p

-

級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)。比較：197重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)，p-級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)。比較：43解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。198解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。44比較判別法的極限形式：199比較判別法的極限形式：45證明200證明46可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性。201可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性。47證明由比較判別法可知，(注意：?jiǎn)蜗?由(2)即得結(jié)論。202證明由比較判別法可知，(注意：?jiǎn)蜗?由(2)即得結(jié)論。例5例6所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。解解203例5例6所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。解解49例7例8發(fā)散解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。解所以原級(jí)數(shù)收斂。204例7例8發(fā)散解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。解所以原級(jí)數(shù)收斂。50常用等價(jià)無窮?。?05常用等價(jià)無窮小：51解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.206解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.52例9解207例9解53例10收斂，解所以原級(jí)數(shù)收斂。208例10收斂，解所以原級(jí)數(shù)收斂。54例11所以原級(jí)數(shù)收斂。209例11所以原級(jí)數(shù)收斂。55例12解所以原級(jí)數(shù)收斂。所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。210例12解所以原級(jí)數(shù)收斂。所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。56證例13由基本不等式211證例13由基本不等式57(三)比值判別法(達(dá)朗貝爾比值判別法)

證略212(三)比值判別法(達(dá)朗貝爾比值判別法)證略58例14判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的斂散性所以級(jí)數(shù)收斂。解解所以級(jí)數(shù)收斂。213例14判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的斂散性所以級(jí)數(shù)收斂。解解所以級(jí)解解所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)收斂.214解解所以級(jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)收斂.60解練習(xí)：所以級(jí)數(shù)收斂。215解練習(xí)：所以級(jí)數(shù)收斂。61解所以用比值法無法判斷.用比較法，所以原級(jí)數(shù)收斂。216解所以用比值法無法判斷.用比較法，所以原級(jí)數(shù)收斂。62例15解217例15解63(四)根值判別法(柯西根值判別法)

證略218(四)根值判別法(柯西根值判別法)證略64例16解所以級(jí)數(shù)收斂.例17解所以級(jí)數(shù)收斂.219例16解所以級(jí)數(shù)收斂.例17解所以級(jí)數(shù)收斂.65解例18級(jí)數(shù)發(fā)散。220解例18級(jí)數(shù)發(fā)散。66第四節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理(萊布尼茨判別法)

稱萊布尼茨型級(jí)數(shù)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件(一)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

221第四節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)證另一方面，由條件(2)可知，即原級(jí)數(shù)收斂，由條件(1)可知，222證另一方面，由條件(2)可知，即原級(jí)數(shù)收斂，由條件(1

注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件。定理(萊布尼茨判別法)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件223注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件例19解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，稱為交錯(cuò)

p

-

級(jí)數(shù).所以級(jí)數(shù)收斂。證明級(jí)數(shù)收斂。224例19解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，解由萊布尼茨定理知級(jí)數(shù)收斂。練習(xí)225解由萊布尼茨定理知級(jí)數(shù)收斂。練習(xí)71(二)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理：絕對(duì)收斂必收斂。226(二)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)證明定理：227證明定理：73說明：(1)定理不可逆：級(jí)數(shù)收斂，未必絕對(duì)收斂；228說明：(1)定理不可逆：級(jí)數(shù)收斂，未必絕對(duì)收斂；74這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是說明：229這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是說明：75例20判定下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散.解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.解故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.230例20判定下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散.解故原級(jí)解故級(jí)數(shù)發(fā)散.解所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。231解故級(jí)數(shù)發(fā)散.解所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。77例21解232例21解78例22解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;233例22解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;79由萊布尼茨定理，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂．234由萊布尼茨定理，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂．80例23解而原級(jí)數(shù)為萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂，即條件收斂。235例23解而原級(jí)數(shù)為萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂，即條件收斂。81例24解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；236例24解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；82小結(jié)：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的思路：正項(xiàng)？Y比較判別法比值判別法N絕對(duì)收斂？YENDN若用比值法，發(fā)散若用比較法，萊布尼茨定理N發(fā)散Y237小結(jié)：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的思路：正項(xiàng)？Y比較判別法N絕對(duì)收斂第五節(jié)冪級(jí)數(shù)

(一)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。238第五節(jié)冪級(jí)數(shù)(一)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域1、冪級(jí)數(shù)2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域2392、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域85證O定理(阿貝爾Abel定理)

240證O定理(阿貝爾Abel定理)86由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,

證241由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,證87由(1)結(jié)論,幾何說明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.242由(1)結(jié)論,幾何說明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾此時(shí)正數(shù)

R

稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題：如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?（2）在整個(gè)數(shù)軸上收斂；243此時(shí)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題：如何求冪級(jí)數(shù)的定理直接地講，就是244定理直接地講，就是90證245證91證畢.246證畢.92求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1解發(fā)散；收斂。247求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1解發(fā)散；收斂。93求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1一般，248求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1一般，94解收斂半徑端點(diǎn)處：收斂；發(fā)散；例2249解收斂半徑端點(diǎn)處：收斂；發(fā)散；例295解收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，例3250解收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，例396例4解例5解251例4解例5解97發(fā)散；發(fā)散，故收斂域?yàn)?-1,3).例6解252發(fā)散；發(fā)散，故收斂域?yàn)?-1,3).例6解98缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例7解直接應(yīng)用比值判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散；253缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例7解直接應(yīng)用比值判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；254級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；100(二)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的加減法：加法：減法：255(二)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的加減法：加法：減法：101冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)256冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)102且收斂半徑仍為R.

(2)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來收斂的端點(diǎn)可能變發(fā)散。257且收斂半徑仍為R.(2)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來收斂的端點(diǎn)可能變注：逐項(xiàng)積分后，原來發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂。且收斂半徑仍為R.

258注：逐項(xiàng)積分后，原來發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂。且收斂半徑仍為R.解例8收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，259解例8收斂半徑端點(diǎn)處明顯發(fā)散，105解例8所以兩邊從0到x積分,260解例8所以兩邊從0到x積分,106(1)解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例9求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：261(1)解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例9求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)(2)解收斂半徑262(2)解收斂半徑108(3)解263(3)解109簡(jiǎn)便寫法：解(3)264簡(jiǎn)便寫法：解(3)110(4)解265(4)解111第六節(jié)泰勒