一種使用搭配及徑向基函數(shù)的kdv方程的數(shù)值法新----11新 (2)

1、目錄摘要-2關(guān)鍵字-2引言-2徑向基函數(shù)逼近-5KdV方程-6 結(jié)論-9參考文獻(xiàn)-9KdV方程的基于配點(diǎn)法與徑向基函數(shù)數(shù)值法摘要：近年來(lái)，人們對(duì)于KdV方程初邊值問(wèn)題產(chǎn)生了越來(lái)越濃厚的研究興趣。本文中，我們提出了一種新型數(shù)值方法，通過(guò)使用配置點(diǎn)和采用多元二次（MQ）徑向基函數(shù)（radial basis functions RBF）得到的逼近解來(lái)近似三階非線性KdV方程。這個(gè)方法的計(jì)算過(guò)程與有限差分方法的計(jì)算類似。關(guān)鍵字：KdV方程 徑向基函數(shù) 多元二次1、引言 有限差分法被稱為求解偏微分方程的首要方法。盡管這些方法是可以非常有效的解決各種偏微分方程，但分析顯式有限差分程序的條件穩(wěn)定性，需要使用

2、大量的CPU時(shí)間，在隱式有限差分計(jì)劃限制了45這些方法的適用性。此外，這些方法只提供了在網(wǎng)格點(diǎn)上問(wèn)題的解決方案，非光滑和非正則域的技術(shù)準(zhǔn)確性有所降低。有限元程序作為一種替代方法用來(lái)求偏微分方程的數(shù)值解。這一系列的數(shù)值方法是特別有效的，能解決任意幾何問(wèn)題，但需要在兩和三維上生成貼體網(wǎng)格，這使得這些方法相當(dāng)耗時(shí)且很難用?？傮w而言，有限元技術(shù)是高度靈活的，但它是很難獲得高階準(zhǔn)確性的結(jié)果。光譜計(jì)劃是準(zhǔn)確的，但它的靈活域較少。使用邊界積分方法避免齊次方程生成貼體網(wǎng)格。事實(shí)上，邊界元法由于其降低維數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，只需要邊界網(wǎng)格，這比起貼體網(wǎng)格更容易生成。然而，對(duì)于一個(gè)非其次方程，邊界元法要求除邊界網(wǎng)格外還需要域

3、節(jié)點(diǎn)分布。為了避免網(wǎng)格生成，近年來(lái)，無(wú)網(wǎng)格技術(shù)已經(jīng)吸引了研究人員的關(guān)注。無(wú)網(wǎng)格方法只需要一組分散的節(jié)點(diǎn)而無(wú)需生成網(wǎng)格。一些無(wú)網(wǎng)格計(jì)劃是元素伽遼金法，再生核顆粒，局部點(diǎn)插值，詳細(xì)描述等見(jiàn) 47 和參考文獻(xiàn)。在過(guò)去的20年中，徑向基函數(shù)方法被稱為解決散亂數(shù)據(jù)插值問(wèn)題的有力工具。使用徑向基函數(shù)求解偏微分方程數(shù)值解的過(guò)程是基于無(wú)網(wǎng)格配置方案。由于搭配技術(shù)，這種方法并不需要計(jì)算任何積分。使用徑向基函數(shù)的數(shù)值方法，比起傳統(tǒng)技術(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)是這些方法具有無(wú)網(wǎng)格屬性。徑向基函數(shù)是積極用于求解偏微分方程。例如見(jiàn)2，3。在孤波理論中，孤子被定義為具有在傳播中不會(huì)改變形狀和速度的屬性，并且相互碰撞后是穩(wěn)定的本地化波4

4、。孤波是由非線性對(duì)流項(xiàng)和線性色散項(xiàng)之間的平衡結(jié)果產(chǎn)生的無(wú)限支集波?？煞e分非線性KdV方程 式中和是正的常數(shù)。值得指出的是，在KdV方程的非線性對(duì)流項(xiàng)造成波形陡峭，而線性色散項(xiàng)使得波形蔓延。 KdV方程是一個(gè)研究弱非線性長(zhǎng)波的一般方程。 KdV型方程已經(jīng)在物理科學(xué)和工程領(lǐng)域中與眾多的應(yīng)用成為一類重要的非線性解決方程。 例如，在等離子物理，這些方程產(chǎn)生離子聲波孤子5;地球物理流體動(dòng)力學(xué)中，他們描述一個(gè)長(zhǎng)波在淺海和深海洋6，7。他們的強(qiáng)大的存在是展示在集群物理，超形變?cè)雍肆炎?，薄膜，雷達(dá)和流變學(xué)8,9，光纖通訊10和超導(dǎo)體中11。然而，在物理的情況下KdV方程的產(chǎn)生往往是由于高度理想化的假設(shè)常系數(shù)

5、。因此，近年來(lái)備受關(guān)注，各種形式的KdV類方程變系數(shù)12。相繼出臺(tái)了許多精確的方法在文獻(xiàn)13，14。幾個(gè)作者主要側(cè)重于通過(guò)使用不同的方法來(lái)研究非線性方程組的解，例如Backlund和達(dá)布變換(Darboux transformations)15，16，Hirotas雙線性方法，雙曲方法17，正弦余弦法18，19，齊次平衡法20和常系數(shù)的黎卡提擴(kuò)展方法21。因?yàn)?，從這個(gè)方程的數(shù)值角度來(lái)看，在一般情況下，是沒(méi)有解析解的。對(duì)于合適的初始條件，Gardner等人22，表明KdV方程解的存在性和唯一性。KdV方程，已經(jīng)有幾個(gè)相當(dāng)成功的數(shù)值方法，如光譜/擬譜方法23，24，有限差分方法和Fourier譜方

6、法。這是除了局部間斷Galerkin（加勒金）（LDG）方法許多作者從理論發(fā)展和計(jì)算的觀點(diǎn)開發(fā)的25，26。但是，使用的光譜型的方法中，經(jīng)常需要正確選擇搭配點(diǎn)，以盡量減少不穩(wěn)定模態(tài)的數(shù)量。指數(shù)有限差分法（EFDM）也可以用來(lái)解決KdV方程27。此方法已被證明能夠比傳統(tǒng)的顯式有限差分（CFDM）提供更高的精度，并且能在短時(shí)內(nèi)獲得KdV方程的數(shù)值解。在過(guò)去的十年中，發(fā)展的徑向基函數(shù)作為一個(gè)真正的無(wú)網(wǎng)格方法來(lái)逼近偏微分方程的解（RBFS）在科學(xué)和工程的中已經(jīng)許吸引了許多研究人員的關(guān)注。域型無(wú)網(wǎng)格方法之一堪薩方法，是Kansa2,28在1990年通過(guò)直接搭配徑向基函數(shù)，特別是對(duì)MQ（多元二次曲面）進(jìn)行

7、了數(shù)值近似解獲得的。 MQ最早是由Hardy29 在1971年將其作為一個(gè)多維分散的插值方法來(lái)建模地球引力場(chǎng)發(fā)展起來(lái)的。起初MQ是不被大部分學(xué)術(shù)研究者承認(rèn)，直到Franke30發(fā)表了一篇評(píng)論論文評(píng)論二維插值方法， MQ基于其準(zhǔn)確性，視覺(jué)方面，靈敏度參數(shù)，執(zhí)行時(shí)間，存儲(chǔ)要求，易于實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)排名最好 。Kansas方法最近被擴(kuò)展到解決各種常微分方程和偏微分方程，包括一維非線性Burgers方程（伯格方程）31與沖擊波，淺水方程和電流模擬32，傳熱問(wèn)題3，和自由邊界問(wèn)題33，34。 Fasshauer35 后來(lái)修改Kansa方法變成一個(gè)埃爾米特型搭配的方法來(lái)求解合成配置矩陣。傳統(tǒng)的徑向基函數(shù)是全局定

8、義的函數(shù)，該結(jié)果在一個(gè)完整的合成系數(shù)矩陣。由于嚴(yán)重的病態(tài)系數(shù)矩陣，阻礙了徑向基函數(shù)解決大規(guī)模的問(wèn)題的應(yīng)用。為了解決這個(gè)病態(tài)問(wèn)題，Wendland36構(gòu)建了一類新緊支集徑向基函數(shù)。為了散亂數(shù)據(jù)插值的RBFS的理論發(fā)展，Madych和Nelson37，38表明， RBF-MQ插值采用半范數(shù)最小誤差指數(shù)收斂。近日，F(xiàn)ranke和Schaback39，40提供了使用RBFS求解偏微分方程數(shù)值解的理論依據(jù)。再近期，Hon和Wu 41 結(jié)合RBFS關(guān)于域分解的先進(jìn)技術(shù)給出了理論證明，多級(jí)/多重，Schwartz(施瓦茨)迭代計(jì)劃，預(yù)處理FEM(有限元分析)法則。在大多數(shù)情況下，徑向基函數(shù)的解是準(zhǔn)確的.然而

9、，很大程度上依賴于在MQ或者Gaussian基函數(shù)中選擇的形狀參數(shù)。這個(gè)最優(yōu)值的選擇仍在調(diào)查研究。許多學(xué)者已經(jīng)研究了形狀參數(shù)。例如，Carlson（卡爾森）和Foley42發(fā)現(xiàn)是依賴問(wèn)題的。 Tarwater 43發(fā)現(xiàn)，通過(guò)增加，均方根（RMS）的誤差先降到最低，然后大幅上升。在一般情下，隨著的增加，要解決的系統(tǒng)中的方程變得病態(tài)。本文提出了一種新的數(shù)值格式，以解決三階非線性KdV方程的搭配方法，采用多元二次徑向基函數(shù)直接逼近近似解（Kansa方法）。該格式是類似有限差分法。本文的布局如下：在第2節(jié)中，我們展現(xiàn)了如何使用徑向基函數(shù)去逼近解。在第3節(jié)中，我們?cè)谌A非線性KdV方程應(yīng)用該方法。第4節(jié)

10、是專門為一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論。最后，介紹了一些參考。2、徑向基函數(shù)逼近一個(gè)分布的近似，使用徑向基函數(shù),可以寫成有關(guān)于的線性組合，通常采用以下逼近形式：T56 （2.1）是數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量， ，為問(wèn)題的維數(shù)，是待定系數(shù)，是徑向基函數(shù)。方程（2.1）可以寫成沒(méi)有其他多項(xiàng)式的形式。在這種情況下，必須是無(wú)條件正定，才能保證所得的系統(tǒng)有解。（如高斯分布或逆多二次）。然而，當(dāng)是條件正定的，即，當(dāng) 有多項(xiàng)式增大到無(wú)窮，通常是需要的。例子是薄板樣條和多元二次。此外，在多項(xiàng)式方程（2.1）中添加了一個(gè)有關(guān)非奇異的擴(kuò)展內(nèi)插系統(tǒng)的特殊證明。由于多元二次函數(shù)良好的精度，在第3節(jié)中其將被使用作為徑向基函數(shù)的數(shù)值方案。這被定義為：

11、其中是歐幾里德范數(shù)。表示空間有個(gè)變量的多項(xiàng)式且次序不超過(guò)，讓表示在中的基，那們多項(xiàng)式，在方程中，一般如下Pqd表示空間有d個(gè)變量的多項(xiàng)式且次序不超過(guò)q，讓P1,P2,Pm表示Pqd在Rd中的基，那么多項(xiàng)式在方程（2.1）中，一般如下： 其中常用這種配制方法確定系數(shù)和。然而，除了配置方程（2.1）在個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生的個(gè)方程，還額外需要個(gè)方程。等式（2.1）是由個(gè)條件確保的， 在類似的表示等式（2.1），對(duì)于任何線性偏微分算子L，Lu能夠被Luxj=1NL(x,xj)+L近似。3 、 KdV方程現(xiàn)在讓我們來(lái)考慮三階非線性KDV方程： （3.1）有初邊值條件。 （3.2） （3.3）這里和是正參數(shù)，并且 ，

12、和是已知函數(shù)。 首先，我們根據(jù)以下加權(quán)算式離散化等式 （3.1）， (3.4)這里是梯度微分算子，并且是時(shí)間步長(zhǎng)。重新整理方程(3.4)在時(shí)，我們用符號(hào)代替，這樣我們得到以下方程： (3.5)這里，。假設(shè)總共有個(gè)插值點(diǎn)，其中約等于以下算式： (3.6)為了確定內(nèi)插系數(shù)，配置法是通過(guò)在每個(gè)點(diǎn)應(yīng)用等式（3.6）,如此，我們有： (3.7) 這里。由附加條件等式（2.4）可以如下表示： （3.8）將等式（3.7）和（3.8）寫成矩陣形式，我們有 其中，矩陣形式為：A=111(N-2)x11N-21N-2(N-2)xN-21x1xN-2001100 (3.10)這里有個(gè)內(nèi)插點(diǎn)和個(gè)邊界點(diǎn)，因此，這個(gè)矩陣

13、可以分塊寫成： 其中Ad=aij2iN-3,1jN,其余位置為0, Ab1=aiji=1,1jN,其余位置為0 Ab2=aiji=N-2,1jN,其余位置為0 Ae=aijN-1iN,1jN,其余位置為0使用符號(hào)LA 指定有矩陣A中相同維數(shù)的并且包含元素aij=Laij,1i,jN,那么式（3.5）可以寫成以下矩陣形式： （3.12）其中， ，(=,) 并且.在方程（3.12）中，”*”表示兩個(gè)向量的乘法的分量。方程（3.12）是結(jié)合等式（3.5），它適用于域點(diǎn)，以及等式（？）應(yīng)用在邊界點(diǎn)得到的。 使用等式（3.9）和初始條件，由等式 （3.2），能計(jì)算出來(lái)。那么等式（3.12）和（3.9）能

14、產(chǎn)生。注1：盡管等式（3.12）對(duì)于的任何值是有效的，但我們將使(著名的克蘭克-尼科爾森格式)，所以,其中。4 、 結(jié)論 本文中，我們討論了眾所周知的KdV方程。我們提出了一種數(shù)值格式，通過(guò)使用配置點(diǎn)法和MQ徑向基函數(shù)逼近解，去解決三階非線性KdV方程。數(shù)值解的準(zhǔn)確性也比較好。當(dāng)使用徑向整體函數(shù)時(shí)，生產(chǎn)的矩陣系數(shù)是非稀疏矩陣系統(tǒng)也可能是病態(tài)的。為了避免這個(gè)問(wèn)題，我們可以使用緊支撐徑向基函數(shù)或者預(yù)處理方法。本文中介紹的這個(gè)格式的衍生工具能夠很好地處理高階方程。5、 參考文獻(xiàn)1.Liu,H,.Yan,J,: A local discontinuous Galerkin method for the

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