2013高考全國2卷數(shù)學(xué)理科試題詳解

2013年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)（全國新課標(biāo)卷II)第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．－1）2＜4，∈R｝，＝{－1，0,1,2,3}1．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理1）已知會集＝｛|（，則∩＝（)．MxxxNMNA．{0,1,2｝B．｛－1,0，1，2｝C．｛－1，0,2,3}D．｛0,1,2，3}2．（2013課標(biāo)全國Ⅱ,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i）z＝2i，則z＝（)．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理3）等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn。已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝（)．1111A．3B．3C．9D．94．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理4)已知，為異面直線,⊥平面α，n⊥平面β。直線l滿足l⊥，⊥，mnmmlnα,lβ,則（)．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β訂交，且交線垂直于lD．α與β訂交，且交線平行于l5．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理5）已知（1＋ax）(1＋x)5的張開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(）．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2013課標(biāo)全國Ⅱ,理6)執(zhí)行下面的程序框圖，若是輸入的N＝10，那么輸出的S＝(）．1+1112310A．1+1112!3!10!B．1+111C．23111+111D．2!3!11!7．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理7）一個周圍體的極點在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0,1)，(1,1，0），(0,1，1)，（0，0，0），畫該周圍體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面，則獲取的正視圖可以為()．8．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理8)設(shè)a＝log36,b＝log510，c＝log714，則（）．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a(chǎn)＞c＞bD．a(chǎn)＞b＞cx1,9．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理9）已知a＞0，x，y滿足拘束條件xy3,若z＝2x＋y的最小值為1，則yax3.a＝（）．11A．4B．2C．1D．22013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第1頁10．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理10）已知函數(shù)f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，以下結(jié)論中錯誤的選項是（)．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函數(shù)y＝f（x)的圖像是中心對稱圖形C．若x0是f(x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（－∞,x0）單調(diào)遞減D．若x0是f（x）的極值點，則f′(x0）＝011．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理11）設(shè)拋物線：y2＝2（＞0）的焦點為,點在C上，||＝5，若以MFCpxpFMMF為直徑的圓過點（0,2)，則C的方程為()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理12)已知點A（－1,0),B（1，0），C(0,1),直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC切割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(）．12,112,11,1A．（0，1）B．22C．23D．32第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必定做答。第22題~第24題為選考題，考生依照要求做答.二、填空題:本大題共4小題，每題5分．13．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理13）已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，則AEBD＝__________.14．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理14）從n個正整數(shù)1，2，,n中任意取出兩個不同樣的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為1,則n＝__________。1415（．2013課標(biāo)全國Ⅱ，理15)設(shè)θ為第二象限角，若tanπ1,則sinθ＋cosθ＝__________。16．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理4216)等差數(shù)列｛a}的前n項和為S，已知S＝0，S＝25，則nS的最小值nn1015n為__________．三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．17．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理17）（本小題滿分12分）△ABC的內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a,b，c，已知abcosC＋csinB.（1)求B；（2）若b＝2，求△ABC面積的最大值．2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第2頁18．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理18)(本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC－ABC中，D,E分別是AB，BB的1111中點,1＝＝＝22(1）證明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2013課標(biāo)全國Ⅱ,理19）(本小題滿分12分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t損失300元．依照歷史資料,獲取銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，以下列圖．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù);2）依照直方圖估計利潤T很多于57000元的概率；3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（比方:若需求量X∈[100，110),則取X＝105,且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的頻率)，求T的數(shù)學(xué)希望．2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第3頁20．（2013課標(biāo)全國Ⅱ,理20）(本小題滿分12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓：x2y2（＞22=1abab＞0)右焦點的直線xy30交M于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為1。（1)求M的方程；2(2）C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值．21．（2013課標(biāo)全國Ⅱ，理21)（本小題滿分12分)已知函數(shù)f（x）＝ex－ln（x＋m)．（1）設(shè)x＝0是f(x)的極值點，求m，并談?wù)揻（x)的單調(diào)性;（2）當(dāng)m≤2時,證明f(x）＞0.2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第4頁請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，若是多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號．22．(2013課標(biāo)全國Ⅱ,理22）(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AEDC·AF,B,E，F(xiàn)，C四點共圓．(1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；若DB＝BE＝EA，求過B,E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．23．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理23）（本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x2cost,t＝α與t＝2α(0＜α＜2π），已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù)）上,對應(yīng)參數(shù)分別為y2sint為的中點．MPQ（1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡可否過坐標(biāo)原點．2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第5頁24．(2013課標(biāo)全國Ⅱ，理24）(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)a,b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：ab＋bc＋ac≤1；3（2）a2b2c21。bca2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第6頁2013年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)（全國新課標(biāo)卷II）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的．1．答案：A剖析:解不等式(x－1）2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x｜－1＜x＜3｝．而N＝{－1，0，1，2，3｝,因此M∩N＝｛0,1，2}，應(yīng)選A。2．答案：A剖析：z=2i2i1i＝22i＝－1＋i。1i1i1i23．答案：C剖析:設(shè)數(shù)列{a}的公比為q，若q＝1,則由a＝9,得a＝9，此時S＝27，而a＋10a＝99,不滿足題意，n51321因此q≠1。a1(1q3)＝a·q＋10a,3111q∴1q3＝q＋10，整理得q2＝9.1q∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝1.4．9答案：D剖析：因為m⊥α,l⊥m，lα，因此l∥α。同理可得l∥β。又因為,為異面直線,因此α與β訂交，且l平行于它們的交線．應(yīng)選D。mn5．答案:D剖析：因為（1＋x）5的二項張開式的通項為C5rxr(0≤r≤5，r∈Z），則含x2的項為C52x2＋ax·C15x＝（10＋5a）x2，因此10＋5a＝5,a＝－1。6．答案：B剖析：由程序框圖知，當(dāng)k＝1，S＝0，T＝1時,T＝1，S＝1；當(dāng)k＝2時，T1，S=1+1；22當(dāng)k＝3時，T21，S1+121；323當(dāng)k＝4時，T21，S1+12121；；342334當(dāng)k＝10時，1，111TS1+，k增加1變?yōu)?1,滿足kNS234102!3!10!以B正確．7．答案:A剖析：以下列圖，該周圍體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像為以下列圖：2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第7頁則它在平面zOx上的投影即正視圖為，應(yīng)選A.8．答案：D剖析:依照公式變形，lg61lg2lg10lg2lg14lg2a，b1，c1，因為lg7＞lg5＞lg3lg3lg5lg5lg7lg7lg3，因此9．答案：B

lg2lg2lg2lg7lg5，即c＜b＜a。應(yīng)選D。lg3x1,剖析：由題意作出所表示的地域如圖陰影部分所示，xy3作直線2x＋y＝1，因為直線2x＋y＝1與直線x＝1的交點坐標(biāo)為（1，－1），結(jié)合題意知直線y＝a(x－3)過點（1，－1)，代入得11a,因此a.2210．答案：C剖析：∵x0是f(x）的極小值點,則y＝f(x)的圖像大體以以下列圖所示，則在（－∞，x0）上不只一，故C不正確．11．答案：C剖析:設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0）,由拋物線的定義,得|MF｜＝x0＋p＝5，p2則x05－2又點F的坐標(biāo)為p,0，因此以MF為直徑的圓的方程為（x－x0）xp＋(y－y0）y＝0。2200y02002由y2＝px0，得162pp,解之得p＝2，或p＝8.2因此C的方程為y2＝4或y2＝16。應(yīng)選C。xx2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第8頁12．答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必定做答。第22題～第題為選考題，考生依照要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．答案：2剖析:以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，以下列圖，則點A的坐標(biāo)為（0,0）,點B的坐標(biāo)為（2,0)，點D的坐標(biāo)為(0，2），點E的坐標(biāo)為(1，2），則AE＝（1,2），BD＝（－2,2)，因此AEBD2。14．答案：8剖析：從1，2，,中任取兩個不同樣的數(shù)共有2種取法，兩數(shù)之和為5nCn的有(1,4），(2，3)2種，因此21，即241，解得n＝8.Cn214nn1nn114215．答案：105剖析：由tanπ1tan1，得tanθ＝1，即sinθ＝1cosθ.41tan233將其代入sin2θ＋cos2θ＝1,得10cos21.9因為θ為第二象限角，因此cosθ＝310，sinθ＝10，sinθ＋cosθ＝10。16．答案:－4910105剖析：設(shè)數(shù)列｛a}的首項為a,公差為d，則S＝10a1＋109＝10a＋45d＝0,①dn110211514S15＝15a1＝15a1＋d＝25。②2d105聯(lián)立①②12,,得a＝－3,d3因此Sn＝3nn(n1)21n210n.2333令f（n)＝nS，則f(n)13102220n333令f′（）＝0,得＝0或n203當(dāng)n202020n∈N＋，時，f′（n)＞0，0<n<時，f′（n)＜0，因此當(dāng)n時，f(n）取最小值，而333則f(6)＝－48,f(7)＝－49，因此當(dāng)n＝7時，f（n)取最小值－49。三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解：（1)由已知及正弦定理得sin＝sincos＋sinsin．①ABCCB又A＝π－（B＋C),故sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈（0，π）得sinB＝cosB，2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第9頁又∈（0，π),因此Bπ4(2)△ABC的面積S12acsinBac。24由已知及余弦定理得22π4＝a＋c－2accos。44又a2＋c2≥2，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)＝c時，等號建立．22因此△面積的最大值為2+1.ABC18．解:(1）連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點．又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，因此BC1∥平面A1CD。（2）由AC＝CB＝2AB得，AC⊥BC2以C為坐標(biāo)原點，CA的方向為x軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.設(shè)CA＝2,則D（1，1，0），E(0,2,1),A1(2,0，2），CD＝（1,1，0），CE＝（0,2，1)，CA1＝（2，0,2）．設(shè)n＝(x1,y1，z1)是平面A1CD的法向量,nCD0,x1y10,則即nCA10,2x12z10.可取n＝（1,－1,－1）．同理,設(shè)m是平面A1CE的法向量,mCE0,－2)．則可取m＝(2,1,mCA10,從而cos〈n,m>＝n·m3，|n||m|3故sin〈n，m〉＝6.3即二面角D－A1C－E的正弦值為6.319．解：（1)當(dāng)X∈[100，130)時，T＝500X－300（130－X)＝800X－39000，當(dāng)X∈［130，150]時,T＝500×130＝65000.800X39000,100X130,因此T65000,130X150.（2）由(1）知利潤T很多于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈［120,150］的頻率為0.7，因此下一個銷售季度內(nèi)的利潤T很多于57000元的概率的估計值為0.7.(3）依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20。30.4因此ET＝45000×0.1＋53000×0。2＋61000×0.3＋65000×0。4＝59400。20．2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第10頁解：(1）設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，P（x0，y0)，則x12y12x22y22y2y1=1,a2b2=1,a2b2=1，x2x1由此可得b2x2x1y2y1=1。a2y2y1x2x1因為x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y01，因此a2＝2b2.x02又由題意知，M的右焦點為（3,0），故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.因此M的方程為x2y2=1.3y30,(2）由x2y21,63x43,x0,3解得或y3y3.,3因此|AB｜＝46。3由題意可設(shè)直線CD的方程為53，y＝xnn33設(shè)C（x3，y3)，D(x4，y4）．yxn,由x2y2得32＋4＋22－6＝0.1xnxn63于是x3,4＝2n29n2.31，因為直線的斜率為CD因此｜CD|＝2|x4x3|49n2.3由已知，四邊形ACBD的面積S1|CD||AB|869n2。29當(dāng)n＝0時，S獲取最大值，最大值為86。3因此四邊形ACBD面積的最大值為86。321．解：（1)f′(x)＝ex1.m由x＝0是f(x）的極值點得f′(0）＝0，因此m＝1。2013全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第11頁于是f(x）＝ex－ln(x＋1），定義域為(－1，＋∞）,f′（x）＝ex1.1在(－1，＋∞）單調(diào)遞加x1函數(shù)f′(x）＝ex,且f′（0)＝0.x1因此當(dāng)x∈（－1,0）時，f′(x）＜0；當(dāng)x∈（0，＋∞)時,f′(x）＞0.因此f（x）在（－1,0)單調(diào)遞減，在（0，＋∞)單調(diào)遞加．當(dāng)m≤2,x∈(－m，＋∞）時,ln(x＋m）≤ln(x＋2）,故只需證明當(dāng)m＝2時，f（x）＞0。當(dāng)m＝2時，函數(shù)f′(x)＝ex1在(－2，＋∞)單調(diào)遞加．x2又f′(－1)＜0，f′(0）＞0,故f′(）＝0在(－2，＋∞）有唯一實根x0，且x0∈（－1,0)．x當(dāng)x∈(－2，x0）時，f′（x)＜0；當(dāng)x∈(x0,＋∞)時，f′（x）＞0，從而當(dāng)x＝x0時，f(x)獲取最小值．由f′（x0）＝0得ex0＝1，ln（x0＋2）＝－x0，x02故f（x)≥f(x0）＝1＋x0＝x012x0x02＞0.2綜上,當(dāng)m≤