陜西吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明高考數(shù)學(xué)類(lèi)比題考查類(lèi)型探求拓展資料素材北師大版選修1-2

高考數(shù)學(xué)類(lèi)比題觀察種類(lèi)研究從近幾年高考數(shù)學(xué)試題中不難看出，類(lèi)比題已成為高考試題的熱點(diǎn)問(wèn)題。筆者認(rèn)為求解類(lèi)比推理問(wèn)題的要點(diǎn)在于確定類(lèi)比物，建立類(lèi)比項(xiàng)，經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過(guò)程等進(jìn)行類(lèi)比解析，從解題的思想方法、思想策略等層面追求內(nèi)在聯(lián)系。下舉例談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)類(lèi)比題觀察種類(lèi)。一、圖象特點(diǎn)類(lèi)比型例1、如圖1，關(guān)于函數(shù)f(x)x2(x0)上任意兩點(diǎn)A(a,a2),B(b,b2)，連線段AB必在弧線段AB的上方，設(shè)點(diǎn)C分AB的比為/a2b2ab2。(>0)，則由點(diǎn)C在點(diǎn)C上方可得不等式1()1請(qǐng)解析函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象，類(lèi)比上述不等式能夠獲取的不等式是.解析:本題的類(lèi)比物是函數(shù)f(x)x2(x0)與函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象，而類(lèi)比項(xiàng)是a,b與之間建立的不等關(guān)系.第一弄清不等式a2b2(ab)2的前因結(jié)果。按題給信息，該不等式是“由點(diǎn)C在點(diǎn)C/上方”獲取11的，也就是說(shuō)該不等式是這一幾何特點(diǎn)的代數(shù)化。因?yàn)镃分AB的比為(>0)，又因?yàn)锳(a,a2),B(b,b2)，因此a2b2是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而ab是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，(ab)2111就是C/點(diǎn)的縱坐標(biāo)。因此由C點(diǎn)在C/點(diǎn)的上方.即得a2b2(ab)2。最后.作出函11數(shù)y=lnx(x>0)的圖象(如圖2)進(jìn)行比較解析.設(shè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)A(a,lna),B(b,lnb))，點(diǎn)C分AB的比為(>0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為為(ab,lnalnb)。C/點(diǎn)坐11標(biāo)為(ab,lnab)。顯然有C點(diǎn)在C/點(diǎn)的下方。因此能夠獲取的不等式是11lnalnblnab。11談?wù)摚罕绢}經(jīng)過(guò)兩類(lèi)函數(shù)的圖象特點(diǎn)結(jié)合定比分點(diǎn)公式類(lèi)比得出函數(shù)一個(gè)重要不等式性質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的凹凸性。二、運(yùn)算法規(guī)類(lèi)比型例2、已知命題：若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama,anb(mn,m,nN*),則amnbnam?，F(xiàn)已知數(shù)列bn(bn0,nN*)為等比數(shù)列，nm且bma,bnb(mn,m,nN*),若類(lèi)比上述結(jié)論，則可獲取則bmn。解析:本題的類(lèi)比物是等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn，類(lèi)比項(xiàng)是數(shù)列的第m+n項(xiàng)與第m項(xiàng)、第n項(xiàng)的等量關(guān)系，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中，由等差數(shù)列性質(zhì)得amnamnd即amnandamnbnam。因此在等比數(shù)列bn中，amnanmdamnbmdnmama,anb(mn,m,nN*),則abnam同樣由等比數(shù)列的性質(zhì)得mnnmbmnbmqn即bmnaqnbmnnmbn。bmnbnqmbmnbqmam談?wù)摚簩?shí)質(zhì)上，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比是“運(yùn)算法規(guī)”的比較，是等差數(shù)列中的“和、差、積、商”與等比數(shù)列中的“積、商、冪、開(kāi)方”一一對(duì)應(yīng)，即等差數(shù)列中的“bn,am”在等比數(shù)列中變?yōu)椤癰n,am”,“bnam”變?yōu)椤癰n”，因此ambnam的類(lèi)比項(xiàng)為bmnnmbnamnm。nam三、計(jì)算方法類(lèi)比型例3、關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題“已知cos()2,cos()=1,求tantan的值”。534我們計(jì)算可得的值。請(qǐng)你解析該數(shù)學(xué)問(wèn)題，用類(lèi)比推理的方法，給出近似tantan11的一組能夠求tan的值的條件：。tan解析：應(yīng)該說(shuō)本題的類(lèi)比物與類(lèi)比項(xiàng)是難以確定的。我們第一來(lái)解析一下原數(shù)學(xué)問(wèn)題是如何由條件求出tantan5的值，將條件利用兩角和與差的余弦公式張開(kāi)，由11coscossinsin2cos11?？紤]到tan的值是由cossinsin5324tantantancoscossin1sin5coscos11sinsin424sincos確定的，能夠設(shè)想條件應(yīng)該是關(guān)于sincos,cossin的二元方程，類(lèi)比cossin原問(wèn)題條件形式，自然聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，因此，這組條件能夠是：sin()2,sin()=1。34談?wù)?本題是開(kāi)放題，條件能夠多種多樣，一般寫(xiě)出sin()a,sin()=b，只要|a|1,|b|1即可。)現(xiàn)在我們不難發(fā)現(xiàn)，本題的類(lèi)比物實(shí)際上是一種三角運(yùn)算結(jié)構(gòu)的“定式”，類(lèi)比項(xiàng)是兩角和與差的正、余弦公式。四、性質(zhì)定義類(lèi)比型例4、我們知道：在拋物線中，以過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切，類(lèi)比這一拋物線性質(zhì)，研究橢圓或雙曲線中，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的地址關(guān)系，同樣能夠得出近似的性質(zhì).請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)正確的性質(zhì)。解析：本題的類(lèi)比物是圓錐曲線中的拋物線、橢圓與雙曲線，類(lèi)比項(xiàng)是以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的地址關(guān)系，第一我們研究拋物線中“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”的實(shí)質(zhì).如圖3,A,B,M(M為圓心)在準(zhǔn)線l上的射影為A/,B/,M/,則MM/1(AA/BB/).由拋物線的定義知2AA/AF,BB/BF即MM/1(AFBF)1AB，因此以AB為直22徑的圓與準(zhǔn)線l相切?，F(xiàn)在利用圓錐曲線的統(tǒng)必然義“到焦點(diǎn)距離與其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率”，考慮橢圓或雙曲線中的近似問(wèn)題，如圖4，設(shè)曲線C是橢圓或雙曲線的一部分，離心率為e。A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影為A/,B/,M/,則MM/1(AA/BB/).2由統(tǒng)必然義知AFeAA/,BFeBB/即MM/1(AFBF)1AB，因此以AB為直2e2e徑的圓與準(zhǔn)線l相切。若曲線C是橢圓，則“0<e<1,MM/>1AB，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線21l相離.若曲線C是雙曲線，則e>1,MM'<AB，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l訂交.因此，類(lèi)比2得出的性質(zhì)是“在橢圓中，以過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與橢圓的相應(yīng)準(zhǔn)線相離”，或“在雙曲線中，以過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與雙曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線訂交”。談?wù)摚航馕鰩缀蔚难芯繉?duì)象是直線、圓和圓錐曲線，因此，在圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間相互類(lèi)比，是類(lèi)比推理的主要內(nèi)容．在解析幾何中，經(jīng)過(guò)類(lèi)比，有利于發(fā)現(xiàn)新定理以及開(kāi)拓解題思路的重要方法．五、平面空間類(lèi)比型例5、在DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。解析：依照類(lèi)比猜想得出SAA2CCSABB2ASBCC21B2SABBASBCCBcos.其中為側(cè)111111111面為ABB1A1與BCC1B1所成的二面角的平面角.證明：作斜三棱柱ABCA1B1C1的直截面DEF，則DFE為面ABB1A1與面BCC1B1所成角，在DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcos，同乘以AA12，得DE2AA12DF2AA12EF2AA122DFAA1EFAA1cos即SAA2CCSABB2ASBCC2B2SABBASBCCB1cos111111111談?wù)摚罕绢}觀察由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展實(shí)行，因?yàn)轭?lèi)比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時(shí)的授課與復(fù)習(xí)中更要注意類(lèi)比等思想方法的學(xué)習(xí)。六、新定義類(lèi)比型例6、規(guī)定：Cxmx(x1)(xm1)，其中xR，m是正整數(shù)，且Cx01，這m!是組合數(shù)Cnm(n,m是正整數(shù)，且mn)的一種實(shí)行.（1）求C515的值；（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)（CnmCnnm,CnmCnm1Cnm1）可否都能實(shí)行到Cxm（xR,m是正整數(shù)）的狀況？若能實(shí)行，則寫(xiě)出實(shí)行的形式并給出證明；若不能夠，則說(shuō)明原由；（3）已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù)，證明：當(dāng)xZ，m是正整數(shù)時(shí)，CxmZ.解析：本題“新的規(guī)定Cxm（xR,m是正整數(shù)）”是組合數(shù)Cnm（n,m是正整數(shù)，且n）的一種實(shí)行.這個(gè)結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)授課內(nèi)容中沒(méi)有的，目的是觀察考生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)運(yùn)用以及創(chuàng)新思想能力.解：（1）依照新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可5(15)(16)(17)(18)(19)11628.C155!（2）性質(zhì)①不能夠?qū)嵭?反例：當(dāng)x2,m1時(shí)，C12有意義，但C221沒(méi)心義.性質(zhì)②能實(shí)行，且實(shí)行形式不變：CxmCxm1Cxm1(xR,m是正整數(shù)）.證明以下：mm1x(x1)(x2)(xm1)x(x1)(x2)(xm2)=x(x1)(x2)(xm2)CxCxm!(m1)!m!(x1)=1(x1)(x1)1(x1)2(x1)m1=Cxm1m!（3）需要就x與m的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)實(shí)的論證.當(dāng)xm時(shí)，x,m都是正整數(shù)，Cnm就是組合數(shù)，結(jié)論顯然建立；當(dāng)0xm時(shí)，Cxmx(x1)(x2)0(xm1)0Z，結(jié)論也建立；當(dāng)x0時(shí)，m!Cxmx(x1)(x2)(xm1)(1)m1(xm1)(xm2)(x1)(x)(1)mCmxm1m!m!xm10，Cmxm1是正整數(shù)，故Cxm(1)mCmxm1Z.綜上所述，當(dāng)xZ，m是正整數(shù)時(shí)，CxmZ.談?wù)摚罕绢}以組合數(shù)為載體觀察運(yùn)用類(lèi)比推理和分類(lèi)談?wù)摰臄?shù)學(xué)思想方法，觀察運(yùn)算能力和創(chuàng)新思想能力。波利亞說(shuō)過(guò)，若是沒(méi)有相似推理，那么無(wú)論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來(lái)能夠發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無(wú)從發(fā)現(xiàn)。因此，在授課中必定重視培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比推理和歸納推理的能力。依照教材特點(diǎn)