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文檔簡(jiǎn)介
6.2正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布6.2.1
正態(tài)分布6.2.3t分布(學(xué)生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論6.2.6Excel實(shí)現(xiàn)6.2正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布6.2.1正態(tài)分布6
確定統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問題之一.采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布.由于樣本容量一般不止2或3(甚至還可能是隨機(jī)的),故計(jì)算往往很復(fù)雜,有時(shí)還需要特殊技巧或特殊工具.
由于正態(tài)總體是最常見的總體,故本節(jié)介紹的幾個(gè)抽樣分布均對(duì)正態(tài)總體而言.確定統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計(jì)6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution)則特別地,則若i.i.d.~若i.i.d.~6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution上(雙)側(cè)
分位數(shù)的概念設(shè)X
為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為f(x),為給定常數(shù),0<<1若則稱
x
為X
所服從的分布的上分位數(shù).如果
X的概率密度函數(shù)為偶函數(shù),則對(duì)于滿足
0<<1/2
的
,則稱
x/2為X
所服從的分布的雙側(cè)分位數(shù)
若上(雙)側(cè)分位數(shù)的概念設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)
zz?常用數(shù)字/2
-z/2=z1-/2/2
z/2?-z/2?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)zz?6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定義
設(shè)相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則n=1時(shí),其密度函數(shù)為6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定義設(shè)相n=2
時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.n=2時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.一般地,其中,在x>0時(shí)收斂,稱為函數(shù),具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為
n的一般地,其中,在x>0時(shí)收斂,稱為函數(shù),具有性質(zhì)的n=2n=3n=5n=10n=15
分布密度函數(shù)圖n=2n=3n=5n=10n=15例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=>=ccP例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10()05.相互獨(dú)立,證1設(shè)則相互獨(dú)立,證1設(shè)則6.2.3t分布(Student分布)定義則T
所服從的分布稱為自由度為n
的t分布其密度函數(shù)為X,Y
相互獨(dú)立,設(shè)6.2.3t分布(Student分布)定義則Tt
分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°t分布的上
分位數(shù)
t
與雙測(cè)
分位數(shù)
t/2
有表可查t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°t分布的上n=10t-t??n=10t-t??t/2-t/2??/2/2t/2-t/2??/2/26.2.4F
分布(Fdistributionwithnandmdegrees)則F
所服從的分布稱為第一自由度為n
,第二自由度為m
的F分布,其密度函數(shù)為定義X,Y
相互獨(dú)立,設(shè)令6.2.4F分布則F所服從的分布稱為第一自由度為m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10m=10,n=4m=4,n=10F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故但F(n,m)?19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=FF分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故但F(n,m)?19.5)5例1
證明證例1證明證證例2
證明:設(shè)令證例2證明:設(shè)令6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論(Ⅰ)一個(gè)正態(tài)總體與相互獨(dú)立設(shè)總體的樣本為(),則(1)(2)6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論(Ⅰ)一個(gè)正態(tài)總(II)兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立.
令(II)兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本則若則(3)則若則(3)設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,它們相互獨(dú)立.
則設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨與相互獨(dú)立與相互獨(dú)立(4)(4)例3
設(shè)總體大于70的概率不小于90%,則樣本容量
,為使樣本均值解設(shè)樣本容量為
n
,則故令查表得即所以取——.42例3設(shè)總體大于70的概率不小于90%,則樣本容量例4
從正態(tài)總體中,抽取了
n=20的樣本(1)
求(2)
求例4從正態(tài)總體中,抽取了n=20的樣本(1)求解
(1)即故(P.386)解(1)即故(P.386)(2)故(2)故例5
設(shè)X與Y
相互獨(dú)立,X~N(0,16),Y~N(0,9),
X1,X2,…,X9
與Y1,Y2,…,Y16
分別是取自
X
與
Y
的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求統(tǒng)計(jì)量所服從的分布.解例5設(shè)X與Y相互獨(dú)立,X~N(0,16),從而從而例6
設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c
使cY服從分布.解故因此例6設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c使cY服從分布例7
設(shè)是來自正態(tài)總體N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,
是樣本均值,則服從自由度為n-1的t
分布的隨機(jī)變量為:例7設(shè)是來自正態(tài)總體N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,故應(yīng)選(B)解故應(yīng)選(B)解例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:(1)因?yàn)?2Φ(1.118)-1=0.7364解例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2解=0.2923例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.2923例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5解=0.4215例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.4215例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5Step1在數(shù)據(jù)編輯窗口中,建立數(shù)據(jù)文件;Step2計(jì)算樣本均值——調(diào)用Average函數(shù):Step3計(jì)算樣本方差——調(diào)用Var函數(shù);Step4計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差——調(diào)用Stdev函數(shù).(1)利用Excel計(jì)算樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差
6.2.6Excel實(shí)現(xiàn)Step1在數(shù)據(jù)編輯窗口中,建立數(shù)據(jù)文件;Step2Step1計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)
Step2計(jì)算
的上側(cè)α分位數(shù)
Step3計(jì)算
的上側(cè)α分位數(shù)
Step4計(jì)算
的上側(cè)α分位數(shù)
(2)
利用Excel計(jì)算四大分布的分位數(shù)Step1計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)Step2內(nèi)容小結(jié):1.
正態(tài)分布3.t分布(學(xué)生分布)4.F分布2.(卡方)分布6.Excel實(shí)現(xiàn)5.正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論內(nèi)容小結(jié):1.正態(tài)分布3.t分布(學(xué)生分布)4.F分思考題:(非正態(tài)總體的樣本均值分布問題)設(shè)總體X的分布未知,其期望為來自總體X
的樣本,則當(dāng)n充分均已知,大時(shí),其樣本均值服從什么分布?答案:即思考題:(非正態(tài)總體的樣本均值分布問題)設(shè)總體X的分布未思考題2(2003年數(shù)學(xué)一考研試題選擇題)設(shè)隨機(jī)變量X~t(n),n>1,,則()Y~(n).B.Y~(n-1).C.Y~F(n,1).D.Y~F(1,n).思考題3.(2001年數(shù)學(xué)一考研試題十二題)設(shè)總體X服從正態(tài)分布,(>0),從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其樣本均值,求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望。思考題2(2003年數(shù)學(xué)一考研試題選擇題)思考題3.(2006.2正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布6.2.1
正態(tài)分布6.2.3t分布(學(xué)生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論6.2.6Excel實(shí)現(xiàn)6.2正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布6.2.1正態(tài)分布6
確定統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問題之一.采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布.由于樣本容量一般不止2或3(甚至還可能是隨機(jī)的),故計(jì)算往往很復(fù)雜,有時(shí)還需要特殊技巧或特殊工具.
由于正態(tài)總體是最常見的總體,故本節(jié)介紹的幾個(gè)抽樣分布均對(duì)正態(tài)總體而言.確定統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計(jì)6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution)則特別地,則若i.i.d.~若i.i.d.~6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution上(雙)側(cè)
分位數(shù)的概念設(shè)X
為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為f(x),為給定常數(shù),0<<1若則稱
x
為X
所服從的分布的上分位數(shù).如果
X的概率密度函數(shù)為偶函數(shù),則對(duì)于滿足
0<<1/2
的
,則稱
x/2為X
所服從的分布的雙側(cè)分位數(shù)
若上(雙)側(cè)分位數(shù)的概念設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)
zz?常用數(shù)字/2
-z/2=z1-/2/2
z/2?-z/2?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)zz?6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定義
設(shè)相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則n=1時(shí),其密度函數(shù)為6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定義設(shè)相n=2
時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.n=2時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.一般地,其中,在x>0時(shí)收斂,稱為函數(shù),具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為
n的一般地,其中,在x>0時(shí)收斂,稱為函數(shù),具有性質(zhì)的n=2n=3n=5n=10n=15
分布密度函數(shù)圖n=2n=3n=5n=10n=15例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=>=ccP例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10()05.相互獨(dú)立,證1設(shè)則相互獨(dú)立,證1設(shè)則6.2.3t分布(Student分布)定義則T
所服從的分布稱為自由度為n
的t分布其密度函數(shù)為X,Y
相互獨(dú)立,設(shè)6.2.3t分布(Student分布)定義則Tt
分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°t分布的上
分位數(shù)
t
與雙測(cè)
分位數(shù)
t/2
有表可查t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°t分布的上n=10t-t??n=10t-t??t/2-t/2??/2/2t/2-t/2??/2/26.2.4F
分布(Fdistributionwithnandmdegrees)則F
所服從的分布稱為第一自由度為n
,第二自由度為m
的F分布,其密度函數(shù)為定義X,Y
相互獨(dú)立,設(shè)令6.2.4F分布則F所服從的分布稱為第一自由度為m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10m=10,n=4m=4,n=10F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故但F(n,m)?19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=FF分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故但F(n,m)?19.5)5例1
證明證例1證明證證例2
證明:設(shè)令證例2證明:設(shè)令6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論(Ⅰ)一個(gè)正態(tài)總體與相互獨(dú)立設(shè)總體的樣本為(),則(1)(2)6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論(Ⅰ)一個(gè)正態(tài)總(II)兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立.
令(II)兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本則若則(3)則若則(3)設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,它們相互獨(dú)立.
則設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨與相互獨(dú)立與相互獨(dú)立(4)(4)例3
設(shè)總體大于70的概率不小于90%,則樣本容量
,為使樣本均值解設(shè)樣本容量為
n
,則故令查表得即所以取——.42例3設(shè)總體大于70的概率不小于90%,則樣本容量例4
從正態(tài)總體中,抽取了
n=20的樣本(1)
求(2)
求例4從正態(tài)總體中,抽取了n=20的樣本(1)求解
(1)即故(P.386)解(1)即故(P.386)(2)故(2)故例5
設(shè)X與Y
相互獨(dú)立,X~N(0,16),Y~N(0,9),
X1,X2,…,X9
與Y1,Y2,…,Y16
分別是取自
X
與
Y
的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求統(tǒng)計(jì)量所服從的分布.解例5設(shè)X與Y相互獨(dú)立,X~N(0,16),從而從而例6
設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c
使cY服從分布.解故因此例6設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c使cY服從分布例7
設(shè)是來自正態(tài)總體N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,
是樣本均值,則服從自由度為n-1的t
分布的隨機(jī)變量為:例7設(shè)是來自正態(tài)總體N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,故應(yīng)選(B)解故應(yīng)選(B)解例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:(1)因?yàn)?2Φ(1.118)-1=0.7364解例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2解=0.2923例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.2923例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5解=0.4215例8
在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.4215例8在總體X~N(12,4)中抽取容量為5Step1在數(shù)據(jù)編輯窗口中,建立數(shù)據(jù)文件;Step2計(jì)算樣本均值——調(diào)用Average函數(shù):Step3計(jì)算樣本方差——調(diào)用Var函數(shù);Step4計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差——調(diào)用Stdev函數(shù).(1)利用Exc
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