天津市南開區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

天津市南開區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。設(shè)全集U={1,2,3,4}，集合S={1,2},T={2,3},貝J([uS)nT等于()A．{2}B．{3}C．{4}D．{2，3，4}命題Txw(O,+b),lnx=x-1"的否定是()000VxW(0,+8),lnx^x-1Vx年(0,+b),lnx=x-13xG(0,+b),lnxMx-10003%年(0,+1,5叫=叫-1TOC\o"1-5"\h\z下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在(0,+b)上單調(diào)遞增的是()A.y=x3B.y=-lgx2C.y=2xD.y已知等差數(shù)列{a}的公差為d,前n項(xiàng)和為S,則“d>0"是“S+S>2S"的()nn354A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件設(shè)a=1-2o.2,b=1og3,c=lg4,貝Va,b,c的大小關(guān)系是()A.aVcVbB.bVcVaC.cVaVbD.cVbVa過點(diǎn)A(-1,0),斜率為k的直線，被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為2,則k的值為()A.±B.C.±D.函數(shù)y=sincos(0WxW9)的最大值與最小值之和為()A.-1B.-1C.0D.2已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,貝y|FM|：|MN|=()A.2：B.1：2C.1：D.1：3四邊形ABCD中,BC=1,AC=2,ZABC=90°,ZADC=90°,則的取值范圍是()A.[-13]B.(-3-1)C.[-31]D.二、填空題：本大題共6個(gè)小題每小題5分共30分。復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.曲線y在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該TOC\o"1-5"\h\z棱錐的體積為4，AB=2，貝9此球的表面積等于.設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2)，且與x2=1具有相同漸近線，則C的方程為；漸近線方程為.已知正數(shù)x,y滿足3，則當(dāng)x時(shí)，x+y的最小值是.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b定義運(yùn)算“*”：a*b，設(shè)f(x)=(2x-1)*(x-1),若函數(shù)g(x)=f(x)-mx2(mWR)恰有三個(gè)零點(diǎn)x,x，x，則m的取值范圍是；xxx的取123123值范圍是.三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。在△ABC中，角A,B，C所對(duì)的邊分別是a,b，c,且b-c=1,cosA,AABC的面積為2．求a及sinC的值；求cos(2A)的值.如圖,已知直三棱柱ABC［的底面是直角三角形，ZACB=90°,AA］=AB=2BC=2,3．求證:AB］丄平面A』D；求二面角A_BD_Ax的余弦值；求點(diǎn)2到平面A』D的距離.AB(15分)已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,_1),焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x_y+20的距離為3.求橢圓C的方程；設(shè)橢圓C與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為E.(i)當(dāng)k>0,mMO時(shí)，射線OE交直線x=_3于點(diǎn)D(_3,n)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求k2+n2的最小值；(i)當(dāng)kMO,且|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍.已知數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列，且a=3,b=a,b=a+3,b=a.nn1225384求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a；nn令c=log，證明：1(nWN*,n三2)；n2求(n^N*).已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(aWR).討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)Wx2對(duì)xW(0,+b)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)g(x)=xe-f(x)-x-1(e為自然對(duì)數(shù)的底).若正實(shí)數(shù)入「入2滿足入+入=1,x，xW(0,+b)(xMx),證明：g(入x+入x)V入g(x)+Ng212121122112(x)．2一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B2．A3．A4．C5．A6．A7．D8．C9．C二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。TOC\o"1-5"\h\z-i.x+y-2=024n.,y=±2x.，9.(0，)和().三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(1)在厶ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且b-c=1,cosA,.：sinA,'/△ABC的面積為bc?sinA?bc=2,.°.bc=6,.°.b=3,c=2,a3.再根據(jù)正弦定理可得,即,.sinC.(II).°.sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cos2A-1,故cos(2A)=cos2Acossin2Asin??.依題意，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，Cq為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,,/3,(I)證明：，設(shè)平面A』D的一個(gè)法向量為，貝y,令，貝y,???，即,111；111；Z.AB丄平面ABD；,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，則，令，則，又平面A1BD的一個(gè)法向量為，???，即二面角a-bd-ai的余弦值為；設(shè)點(diǎn)B到平面ABD的距離為d,則易知，而,11.?.點(diǎn)B］到平面ApD的距離為.解(I),設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)(c,0),c>0,由題意得：b=1,3,a2=b2+C2，解得：a2=3,b2=1,所以橢圓的方程：；(II)i)設(shè)M(x,y),N(x',y'),將直線與橢圓聯(lián)立整理得：(1+3k2)X2+6kmx+3m2-3=0,A=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)>0,即m2<1+3k2,且x+x',?.y+y'=k(x+x')+2m,所以MN的中點(diǎn)E(,),所以射線OE：yx,與直線x=-3的交點(diǎn)(-3,),所以n,所以n2+k2=k22,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1,k>0,所以k=1時(shí)n2+k2有最小值2.ii)當(dāng)kMO,且|AM|=|AN|時(shí),則AE丄MN,所以k,即,/.2m=1+3k2,.2m>m2,解AE得0VmV2,所以m取值范圍(0,2).(I)設(shè)數(shù)列｛a｝是公比為q的等比數(shù)列,數(shù)列｛b｝是公差為d的等差數(shù)列,nn由a3,ba,ba+3,ba,可^得b+d^3q,b+4d^3q2+3,b+7d^3q3,1225384111解得q=2d=3b1=3貝0a=3?2n-i,b=3+3(n-1)=3n；nn(II)證明:Cn=log2log22n-i=n-1,(Ill)由,可設(shè)Tn，nTn,n相減可得Tnn=2?，化簡(jiǎn)可得．(I)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},,當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f段)在(0,+b)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0解得，令f(x)V0解得，故此時(shí)函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；f(x)Wx2對(duì)xW(0,+b)恒成立，即為對(duì)任意的xW(0,+b),都有，設(shè)，貝y,令g(x)=i-inx-x2(x>0),貝y,.°.G(x)在(0,+b)上單調(diào)遞減，且G(1)=0,??.當(dāng)xe(0,1)時(shí)，G(x)>0,F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xW(1,+b),G(x)V0,Fz(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，.F(x)=F(1)=-1,max??實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,+s).證明：當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=xe-(inx-x)-x-1=xex-E-x-1=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0(x>0),不妨設(shè)0<x<x,12下先證：存在EW(X],x2),使得g(x2)-g(X])=g'(E)(x2-X]),構(gòu)造函數(shù)顯然H(x1)=H(x2)且則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,存在2丘(X],x2)，使得,即存在gw(X],x2)，使得g(x/-g(x)=gz(^)(x-x),121又g'(x)=ex-1為增函數(shù)，.g(x)-g(x)=gz(g)(x-x)>gz(x)(x-x),即g(x)>g(x)+g‘12112121(x)(x-x)121設(shè)x=Nx+入x(入+入=0),貝yx-x=(1-入)x-入x,x-x=(1-入)x1122121311222322-入x,11.g(x)>g(x)+