第五章-偏微分方程的有限元法課件

第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函與變分原理5.2基于變分原理的有限元法5.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt1/43第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函與變分原理編輯第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis，F(xiàn)EM）有限元法的基本思想是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題，然后再對(duì)簡單問題進(jìn)行求解的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法將求解域看成是由許多被稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)較簡單的近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件，從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解。有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法于上世紀(jì)50年代首先在力學(xué)領(lǐng)域-----飛機(jī)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特性分析中得到應(yīng)用，隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中。編輯版pppt2/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，F(xiàn)inite第五章偏微分方程的有限元法有限元法---變分原理基于變分原理的有限元法是逼近論、偏微分方程、變分與泛函分析的巧妙結(jié)合。基于變分原理的有限元法以變分原理為基礎(chǔ)，把所要求解的微分方程定解問題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，即泛函求極值問題；它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，然后利用剖分插值，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的）近似解，把離散化的變分問題轉(zhuǎn)化為普通多元函數(shù)的極值問題，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(邊界條件），即最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組，就得到待求邊值問題的數(shù)值解。編輯版pppt3/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法---變分原理第五章偏微分方程的有限元法有限元法--加權(quán)余數(shù)法自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。加權(quán)余數(shù)法的核心思想是：近似解與解析解相比會(huì)存在誤差R，但是可以通過一個(gè)準(zhǔn)則使R盡量小，求解這個(gè)等式，就可以得到待定常數(shù)的值，也就得到了近似解。編輯版pppt4/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法--加權(quán)余數(shù)法第五章偏微分方程的有限元法有限元法特點(diǎn)有限元法的物理意義直觀明確，理論完整可靠。因?yàn)樽兎衷砻枋隽酥湮锢憩F(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理（如力學(xué)中的最小勢能原理）。優(yōu)異的解題能力。有限元法對(duì)邊界幾何形狀復(fù)雜以及媒質(zhì)物理性質(zhì)變異等復(fù)雜物理問題求解上，有突出優(yōu)點(diǎn)：①不受幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜程度限制。②不必單獨(dú)處理第二、三類邊界條件。③離散點(diǎn)配置比較隨意，通過控制有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以充分保證所需的數(shù)值計(jì)算精度。編輯版pppt5/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法特點(diǎn)編輯版pp5.1泛函與變分原理數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變量間的關(guān)系稱為函數(shù)，而泛函則是函數(shù)集合的函數(shù)，也就是函數(shù)的函數(shù)，即自變量為函數(shù)，而不是變量。5.1.1泛函的定義泛函通常是指一種定義域?yàn)楹瘮?shù)，而值域?yàn)閷?shí)數(shù)的“函數(shù)”。設(shè)C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)集合。如果對(duì)C中的任一元素y(x)，在B中都有一個(gè)元素J與之對(duì)應(yīng)，則稱J為y(x)的泛函，記為J[y(x)]。編輯版pppt6/435.1泛函與變分原理數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變5.1泛函與變分原理例5.1.1質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一條光滑的從A點(diǎn)到B點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求下落時(shí)間最短的曲線。曲線上任一小段線元長度為：ABxyOx0x1捷線問題編輯版pppt7/435.1泛函與變分原理例5.1.1質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一5.1泛函與變分原理線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為ABxyOx0x1ds線元下落時(shí)間為從A點(diǎn)到B點(diǎn)的下落時(shí)間為編輯版pppt8/435.1泛函與變分原理線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為ABxyOx0x1d5.1泛函與變分原理5.1.2函數(shù)的變分設(shè)y(x)是泛函J定義域內(nèi)任一函數(shù)，如果y(x)變化為新函數(shù)Y(x)，且Y(x)屬于泛函J的定義域，則Y(x)與y(x)之差為函數(shù)y(x)的變分。變分δy是x的函數(shù)，它不同于函數(shù)的增量Δy。性質(zhì)：函數(shù)求導(dǎo)與求變分可以交換次序編輯版pppt9/435.1泛函與變分原理5.1.2函數(shù)的變分5.1泛函與變分原理5.1.3泛函的變分定義最簡泛函F(x,y,y’)稱為泛函的“核函數(shù)”泛函的變分最簡泛函:核函數(shù)只包含自變量x、未知函數(shù)y(x)以及導(dǎo)數(shù)y’(x)編輯版pppt10/435.1泛函與變分原理5.1.3泛函的變分定義最簡泛函F(5.1泛函與變分原理利用二元函數(shù)的泰勒展開編輯版pppt11/435.1泛函與變分原理利用二元函數(shù)的泰勒展開編輯版pppt15.1泛函與變分原理其中分別稱為泛函的一階變分和二階變分。編輯版pppt12/435.1泛函與變分原理其中分別稱為泛函的一階變分和二階變分。5.1泛函與變分原理泛函取極值的必要條件：一階變分為零性質(zhì)：對(duì)于最簡泛函，變分運(yùn)算可以與積分、微分運(yùn)算交換次序編輯版pppt13/435.1泛函與變分原理泛函取極值的必要條件：一階變分為零性質(zhì)5.1泛函與變分原理5.1.4泛函的極值問題泛函的一階變分利用1泛函的極值問題的間接解法轉(zhuǎn)化為微分方程：歐拉方程編輯版pppt14/435.1泛函與變分原理5.1.4泛函的極值問題泛函的一5.1泛函與變分原理對(duì)于駐定問題，兩邊界固定這就是最簡泛函的歐拉方程，等價(jià)于泛函取極值的必要條件。把變分問題轉(zhuǎn)化微分方程的定解問題（邊值問題）來求解。編輯版pppt15/435.1泛函與變分原理對(duì)于駐定問題，兩邊界固定5.1泛函與變分原理對(duì)于例5.1.1求下落時(shí)間最短的軌跡利用最簡泛函的歐拉方程。編輯版pppt16/435.1泛函與變分原理對(duì)于例5.1.1求下落時(shí)間最短的軌跡5.1泛函與變分原理代入歐拉方程編輯版pppt17/435.1泛函與變分原理代入歐拉方程編輯版pppt17/435.1泛函與變分原理變換得到進(jìn)一步化簡得到積分編輯版pppt18/435.1泛函與變分原理變換得到進(jìn)一步化簡得到積分編輯版ppp5.1泛函與變分原理做變量替換得而編輯版pppt19/435.1泛函與變分原理做變量替換得而編輯版pppt19/435.1泛函與變分原理對(duì)上式積分得到這樣就得到了下落時(shí)間最短曲線的參數(shù)方程式中常數(shù)c1和c2由始末兩點(diǎn)位置確定練習(xí)：畫出經(jīng)過(0,0)和(1,1)的下落時(shí)間最短曲線。連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線編輯版pppt20/435.1泛函與變分原理對(duì)上式積分得到這樣就得到了下落時(shí)間最短5.1泛函與變分原理2泛函的極值問題的直接解法基本做法：瑞利--里茲(Rayleigh-Ritz)法(1)選定一組具有相對(duì)完備性的基函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)線性組合的近似函數(shù)(2)將含有n個(gè)待定系數(shù)的構(gòu)造函數(shù)作為近似的極值函數(shù)，代入泛函編輯版pppt21/435.1泛函與變分原理2泛函的極值問題的直接解法基本做5.1泛函與變分原理(3)為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)取極值的必要條件(4)求解以上方程組，求出就可以得到極值函數(shù)的近似解(5)再將含有n+1個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)作為近似極值函數(shù)，重復(fù)(2)~(4)，就可以得到極值函數(shù)新的近似解。如果連續(xù)兩次所得到的結(jié)果接近，就認(rèn)為最后得到的函數(shù)就是極值函數(shù)的近似解。編輯版pppt22/435.1泛函與變分原理(3)為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)5.1泛函與變分原理例5.1.2求下列泛函的極值函數(shù)。解：為了滿足邊界條件，取基函數(shù)為近似函數(shù)為編輯版pppt23/435.1泛函與變分原理例5.1.2求下列泛函的極值函數(shù)。5.1泛函與變分原理當(dāng)n=1時(shí)代入泛函取極值編輯版pppt24/435.1泛函與變分原理當(dāng)n=1時(shí)代入泛函取極值編輯版pppt5.1泛函與變分原理計(jì)算得到近似函數(shù)同理n=2時(shí)利用歐拉方程，得到的精確解編輯版pppt25/435.1泛函與變分原理計(jì)算得到近似函數(shù)同理n=2時(shí)利用歐拉方5.1泛函與變分原理編輯版pppt26/435.1泛函與變分原理編輯版pppt26/435.1泛函與變分原理泛函的極值問題可以通過變分運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)微分方程和相應(yīng)的邊界條件，即歐拉方程，其解對(duì)應(yīng)于最簡泛函的極值函數(shù)。也就是泛函的極值問題可以等價(jià)為在一定邊界條件下求解微分方程問題。

變分原理

通過求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問題的解。

有限元法正是里茲法與有限差分法相結(jié)合的成果，它取長補(bǔ)短地在理論上以變分為基礎(chǔ)，在具體方法構(gòu)造上又利用了有限差分法網(wǎng)格離散化處理的思想。編輯版pppt27/435.1泛函與變分原理泛函的極值問題可以通過5.1泛函與變分原理

20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=RayleighRitz法＋分片函數(shù)”。有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。不同于求解滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的RayleighRitz法（往往是困難的），有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其它近似方法的原因之一。編輯版pppt28/435.1泛函與變分原理20世紀(jì)60年代初首次5.2基于變分原理的有限元法對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元法的基本做法是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元法基本做法首先把待求的偏微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問題。然后通過有限單元剖分的離散處理，構(gòu)造一個(gè)分片解析的有限元子空間。通過構(gòu)造近似函數(shù)，把變分問題近似地轉(zhuǎn)化為有限元子空間中的多元函數(shù)極值問題，由此直接利用RayleighRitz法探求變分問題的近似解（極值函數(shù)解），以此作為所求邊值問題的近似解。

編輯版pppt29/435.2基于變分原理的有限元法對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型5.2基于變分原理的有限元法有限元法具體求解步驟

建立積分方程根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。區(qū)域單元剖分根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。編輯版pppt30/435.2基于變分原理的有限元法有限元法具體求解步驟建立積分5.2基于變分原理的有限元法確定單元基函數(shù)根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。

單元分析將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程?？傮w合成在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。編輯版pppt31/435.2基于變分原理的有限元法確定單元基函數(shù)單元分析總體合5.2基于變分原理的有限元法

邊界條件的處理一般邊界條件有三種形式，對(duì)于第二類邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于第一類邊界條件和第三類邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。解有限元方程根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。編輯版pppt32/435.2基于變分原理的有限元法邊界條件的處理解有限元方程編5.2基于變分原理的有限元法

有限元分析可分成三個(gè)階段：

前置處理、計(jì)算求解和后置處理。前置處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后置處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。編輯版pppt33/435.2基于變分原理的有限元法有限元分析可分成三個(gè)階段：編5.2基于變分原理的有限元法1.求解區(qū)域離散

離散單元基本要求：各單元只能在頂點(diǎn)處相交。不同單元在邊界處相連，既不能相互分離又不能相互重疊。各單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)循序應(yīng)一致，一律按逆時(shí)針方向，從最小節(jié)點(diǎn)號(hào)開始。同一單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差不能太懸殊，對(duì)多區(qū)域的編號(hào)，按區(qū)域連續(xù)編號(hào)。把求解區(qū)域分割成有限個(gè)單元體的集合。單元體形狀原則上是任意的，一般取有規(guī)則形體。有限元法計(jì)算步驟編輯版pppt34/435.2基于變分原理的有限元法1.求解區(qū)域離散離散單元5.2基于變分原理的有限元法三角單元是經(jīng)常使用的單元剖分方法，剖分時(shí)應(yīng)注意幾下幾點(diǎn)：

三角形不能重疊。不能把一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取為相鄰三角形的邊上。剖分的三角形應(yīng)該避免鈍角。三角形不可過于狹長，最長邊一般不大于最短邊的3倍。三角形三邊之比盡量接近1。不能把一個(gè)三角形跨越不同的介質(zhì)。每個(gè)三角形最多只有一個(gè)邊在邊界上。三角形單元面積越小，計(jì)算精度越高編輯版pppt35/435.2基于變分原理的有限元法三角單元是經(jīng)常5.2基于變分原理的有限元法把求解區(qū)域劃分m個(gè)三角形有限單元，共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)在有限單元e(j,k,l)上進(jìn)行分片線性插值，插值函數(shù)為

2.選擇近似函數(shù)編輯版pppt36/435.2基于變分原理的有限元法把求解區(qū)域劃分m個(gè)三角形有限單5.2基于變分原理的有限元法在單元節(jié)點(diǎn)上求解以上方程組可以得到3.求解單元形函數(shù)編輯版pppt37/435.2基于變分原理的有限元法在單元節(jié)點(diǎn)上求解以上方程組可以5.2基于變分原理的有限元法同理可以求出編輯版pppt38/435.2基于變分原理的有限元法同理可以求出編輯版pppt385.2基于變分原理的有限元法編輯版pppt39/435.2基于變分原理的有限元法編輯版pppt39/435.2基于變分原理的有限元法則插值函數(shù)可以寫為單元形函數(shù)（基函數(shù)）編輯版pppt40/435.2基于變分原理的有限元法則插值函數(shù)可以寫為單元形函數(shù)（5.2基于變分原理的有限元法三角元e插值函數(shù)可以改寫為矩陣形式編輯版pppt41/435.2基于變分原理的有限元法三角元e插值函數(shù)可以改寫為矩陣5.2基于變分原理的有限元法下面以泊松方程為例討論有限元解法所對(duì)應(yīng)的泛函為4.建立單元特征式難點(diǎn)：尋找與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函編輯版pppt42/435.2基于變分原理的有限元法下面以泊松方程為例討論有限元解5.2基于變分原理的有限元法在第e個(gè)三角元的泛函由于編輯版pppt43/435.2基于變分原理的有限元法在第e個(gè)三角元的泛函由于編輯版5.2基于變分原理的有限元法改寫為矩陣形式編輯版pppt44/435.2基于變分原理的有限元法改寫為矩陣形式編輯版pppt45.2基于變分原理的有限元法其中同理編輯版pppt45/435.2基于變分原理的有限元法其中同理編輯版pppt45/45.2基于變分原理的有限元法三角元e的泛函其中編輯版pppt46/435.2基于變分原理的有限元法三角元e的泛函其中編輯版ppp5.2基于變分原理的有限元法改寫Ke到所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)充部分添零，以方便總體矩陣的處理其中編輯版pppt47/435.2基于變分原理的有限元法改寫Ke到所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)5.2基于變分原理的有限元法求解區(qū)域上的總體泛函其中變分問題被離散化的多元二次函數(shù)的極值問題5.建立系統(tǒng)有限元方程編輯版pppt48/435.2基于變分原理的有限元法求解區(qū)域上的總體泛函其中變分問5.2基于變分原理的有限元法根據(jù)多元函數(shù)極值理論得到第i點(diǎn)有限元方程即求解上述有限元方程（線性代數(shù)方程組），就可以得到節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。

編輯版pppt49/435.2基于變分原理的有限元法根據(jù)多元函數(shù)極值理論得到第i點(diǎn)5.2基于變分原理的有限元法獲得有限元方程之后，就可以選擇各種方法求解相應(yīng)的代數(shù)方程組，常用方法有高斯消去法、列元素消去法、迭代法等等。在變分問題中第二類、第三類邊界條件已經(jīng)自然包含在泛函達(dá)到極值的要求中，不必單獨(dú)處理，稱為自然滿足的邊界條件，只需考慮第一類強(qiáng)加邊界條件，強(qiáng)加邊界條件的處理方法因代數(shù)方程組的解法而異。6.有限元方程求解與邊界條件處理編輯版pppt50/435.2基于變分原理的有限元法獲得有限元方程之5.2基于變分原理的有限元法迭代法求解：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程均不迭代，節(jié)點(diǎn)值始終保持給定值，不必單獨(dú)處理邊界。直接法求解：節(jié)點(diǎn)m為邊界，函數(shù)值um=u0，處理方法為，把對(duì)角元素的特征元素設(shè)置為1，即kmm=1,然后把m行與m列的其它元素全部設(shè)置為0，方程的等式右邊改為給定的函數(shù)值u0，其它元素則要減去該節(jié)點(diǎn)處理前對(duì)應(yīng)的m列的特征系數(shù)kim與u0的乘積。編輯版pppt51/435.2基于變分原理的有限元法迭代法求解：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所5.2基于變分原理的有限元法

例5.2.1一個(gè)邊長為1的二維正方形靜電場域，電位函數(shù)為φ(x,y)，邊界條件如圖所示，試用有限元法確定二維靜電場域的電位分布。解：該二維靜電場域的電位函數(shù)φ(x,y),可以用下列第一類邊界條件的偏微分方程描述：編輯版pppt52/435.2基于變分原理的有限元法例5.2.1一個(gè)邊長為15.2基于變分原理的有限元法按照右圖進(jìn)行三角形單元剖分，單元編號(hào)按照從左到右，從下到上的順序編號(hào)。節(jié)點(diǎn)編號(hào)：1(0,0)2(0,1)3(0.5,0.5)4(1,0)5(1,1)三角形單元編號(hào)：e(j,k,l)單元內(nèi)頂點(diǎn)按逆時(shí)針編號(hào)1(1,3,2)2(1,4,3)3(2,3,5)4(3,4,5)第一類邊界條件編輯版pppt53/435.2基于變分原理的有限元法按照右圖進(jìn)行三角形5.2基于變分原理的有限元法對(duì)于三角元1(1,3,2)編輯版pppt54/435.2基于變分原理的有限元法對(duì)于三角元1(1,3,2)編輯5.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元2(1,4,3)編輯版pppt56/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元2(1,4,35.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt57/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元3(2,3,5)編輯版pppt58/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元3(2,3,55.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt59/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元4(3,4,5)編輯版pppt60/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元4(3,4,55.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt61/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt65.2基于變分原理的有限元法全部節(jié)點(diǎn)K編輯版pppt62/435.2基于變分原理的有限元法全部節(jié)點(diǎn)K編輯版pppt62/5.2基于變分原理的有限元法有限元方程可以采用迭代法和直接解法，求解此線性代數(shù)方程組。編輯版pppt63/435.2基于變分原理的有限元法有限元方程可以采用迭代法和直接5.2基于變分原理的有限元法迭代法：迭代公式為代入初值編輯版pppt64/435.2基于變分原理的有限元法迭代法：迭代公式為代入初值編輯5.2基于變分原理的有限元法直接解法：需要處理第一類邊界條件編輯版pppt65/435.2基于變分原理的有限元法直接解法：需要處理第一類邊界條5.2基于變分原理的有限元法差分法得到差分遞推公式編輯版pppt66/435.2基于變分原理的有限元法差分法得到差分遞推公式編輯版p5.2基于變分原理的有限元法差分網(wǎng)格利用邊界條件編輯版pppt67/435.2基于變分原理的有限元法差分網(wǎng)格利用邊界條件編輯版pp5.3matlab有限元法工具箱大型通用有限元商業(yè)軟件國外軟件ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC等國內(nèi)軟件FEPG、JFEX、KMAS等

Matlab偏微分方程工具箱（PDEToolbox）提供了利用有限元法、圖形界面求解偏微分方程的計(jì)算環(huán)境。PDEtool有較大的局限性，可以求解特殊PDE問題，比如只能求解二階PDE問題，并且不能解決偏微分方程組，但是它提供了GUI界面，從繁雜的編程中解脫出來了，同時(shí)還可以通過File->SaveAs直接生成M代碼。編輯版pppt68/435.3matlab有限元法工具箱大型通用有限元商業(yè)軟件國外5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解偏微分方程類型

1橢圓型方程（Elliptic）2拋物線型方程（Parabolic）3雙曲型方程（Hyperbolic）編輯版pppt69/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解5.3matlab有限元法工具箱

4特征值方程（Eigenmodes）上述微分方程中c、a、d、f在橢圓型方程中可以為函數(shù)，但在其它方程中必須為常數(shù)。編輯版pppt70/435.3matlab有限元法工具箱4特征值方程（Eige5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox邊界條件

1狄里赫利條件（Didchlet）2諾依曼條件（Neumann）n為邊界上的單位外法線矢量，h、r、q、g可以為函數(shù)編輯版pppt71/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox邊5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox啟動(dòng)

1啟動(dòng)2界面編輯版pppt72/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox啟5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Options打開或關(guān)閉柵格調(diào)整柵格大小打開或關(guān)閉捕捉柵格功能繪圖軸的坐標(biāo)范圍打開或關(guān)閉繪圖方軸關(guān)閉幫助信息圖形縮放選擇應(yīng)用模式重新顯示圖形編輯版pppt73/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Draw進(jìn)入繪圖模式對(duì)角點(diǎn)繪矩形固定中心繪矩形矩形對(duì)角點(diǎn)繪橢圓固定中心繪橢圓繪多邊形旋轉(zhuǎn)已選圖形將幾何描述矩陣輸出到主工作空間編輯版pppt74/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Boundary進(jìn)入邊界模式對(duì)已選邊界輸入條件顯示邊界區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)刪除已選的子域邊界刪除所有的子域邊界將分解幾何矩陣、邊界條件矩陣輸出到主工作空間編輯版pppt75/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

PDE進(jìn)入偏微分方程模式顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)調(diào)整PDE參數(shù)和類型將PDE參數(shù)輸出到主工作空間編輯版pppt76/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Mesh輸入網(wǎng)格模式初始化三角形網(wǎng)格加密當(dāng)前三角形網(wǎng)格優(yōu)化網(wǎng)格退回上一步用數(shù)字化的顏色顯示網(wǎng)格質(zhì)量，大于0.6可接受顯示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)識(shí)顯示三角形網(wǎng)格標(biāo)識(shí)修改網(wǎng)格生成參數(shù)輸出網(wǎng)格矩陣到主工作空間編輯版pppt77/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Solve對(duì)已經(jīng)定義的偏微分方程求解調(diào)整解PDE的參數(shù)輸出解到主工作空間Plot顯示圖形解繪圖參數(shù)設(shè)置輸出動(dòng)畫編輯版pppt78/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解步驟

求解區(qū)域設(shè)置應(yīng)用模式設(shè)置輸入邊界條件微分方程參數(shù)設(shè)定網(wǎng)格剖分初值和誤差設(shè)置解方程圖形解顯示參數(shù)設(shè)置File->SaveAs直接生成M代碼編輯版pppt79/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求5.3matlab有限元法工具箱例5.3.1如圖帶有矩形孔（0.1*0.8）的金屬板（1*1.6），金屬板左側(cè)保持在100℃，右側(cè)熱量可以向環(huán)境定常流動(dòng)，上下側(cè)及內(nèi)孔保持絕熱，初始溫度為0℃。求t=0.1、0.3、0.5、1.5s時(shí)金屬板溫度分布

解：此問題可以表示為如下定解問題編輯版pppt80/435.3matlab有限元法工具箱例5.3.1如圖帶有矩5.3matlab有限元法工具箱

求解區(qū)域設(shè)置

提示符輸入pdetool1選擇畫矩形2畫矩形3雙擊矩形，彈出對(duì)話框，輸入準(zhǔn)確矩形參數(shù)編輯版pppt81/435.3matlab有限元法工具箱求解區(qū)域設(shè)置1選擇畫矩5.3matlab有限元法工具箱

同樣畫出矩形孔，利用兩個(gè)矩形運(yùn)算得到求解區(qū)域圖形運(yùn)算編輯版pppt82/435.3matlab有限元法工具箱同樣畫出矩形孔，利用兩個(gè)5.3matlab有限元法工具箱

2.應(yīng)用模式設(shè)置編輯版pppt83/435.3matlab有限元法工具箱2.應(yīng)用模式設(shè)置編輯版5.3matlab有限元法工具箱

3輸入邊界條件1點(diǎn)擊，顯示邊界2雙擊邊界，彈出邊界條件窗口h=1,r=100編輯版pppt84/435.3matlab有限元法工具箱3輸入邊界條件1點(diǎn)5.3matlab有限元法工具箱

輸入每個(gè)邊的邊界條件紅色：Dirichlet藍(lán)色：Neumann編輯版pppt85/435.3matlab有限元法工具箱輸入每個(gè)邊的邊界條件紅5.3matlab有限元法工具箱

4.微分方程參數(shù)設(shè)定1點(diǎn)擊，設(shè)置方程，彈出窗口2拋物線型d=1c=1a=0f=0編輯版pppt86/435.3matlab有限元法工具箱4.微分方程參數(shù)設(shè)定15.3matlab有限元法工具箱

5.網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，加密網(wǎng)格編輯版pppt87/435.3matlab有限元法工具箱5.網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，網(wǎng)格5.3matlab有限元法工具箱

6.初值和誤差設(shè)置單擊Solve菜單中的Paramenters編輯版pppt88/435.3matlab有限元法工具箱6.初值和誤差設(shè)置單擊5.3matlab有限元法工具箱

7.解方程點(diǎn)擊，解方程編輯版pppt89/435.3matlab有限元法工具箱7.解方程點(diǎn)擊，解方程5.3matlab有限元法工具箱

8.圖形解顯示參數(shù)設(shè)置編輯版pppt90/435.3matlab有限元法工具箱8.圖形解顯示參數(shù)設(shè)5.3matlab有限元法工具箱

不同時(shí)刻溫度分布編輯版pppt91/435.3matlab有限元法工具箱不同時(shí)刻溫度分布編輯版p5.3matlab有限元法工具箱

不同時(shí)刻溫度分布編輯版pppt92/435.3matlab有限元法工具箱不同時(shí)刻溫度分布編輯版p5.3matlab有限元法工具箱

MATLAB除了提供有限元工具箱求解二階偏微分方程之外，還提供了pdepe函數(shù)，可以直接求解一維橢圓型和拋物線型偏微分方程或偏微分方程組。sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,xmesh,tspan)sol：是一個(gè)三維數(shù)組，sol(:,:,i)表示第i個(gè)微分方程

ui的解。xmesh,tspan：空間和時(shí)間離散向量編輯版pppt93/435.3matlab有限元法工具箱5.3matlab有限元法工具箱

pdefun：PDE描述函數(shù)[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)

m,x,t就是對(duì)應(yīng)于偏微分方程中相關(guān)參數(shù)，du是u的一階導(dǎo)數(shù)，由給定的輸入變量即可表示出c,f,s這三個(gè)輸出函數(shù)。編輯版pppt94/435.3matlab有限元法工具箱pdefun：PDE描5.3matlab有限元法工具箱

pdebc：PDE的邊界條件描述函數(shù)[pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)其中a表示下邊界，b表示上邊界。pdeic：是PDE的初始條件描述函數(shù)u0=pdeic(x)編輯版pppt95/435.3matlab有限元法工具箱pdebc：PDE的5.3matlab有限元法工具箱

例5.3.2試求解下列的偏微分方程組初始條件：邊界條件：編輯版pppt96/435.3matlab有限元法工具箱例5.3.2試求解下列5.3matlab有限元法工具箱

對(duì)照偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，則方程組可以改寫為可見m=0編輯版pppt97/435.3matlab有限元法工具箱對(duì)照偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式5.3matlab有限元法工具箱

編輯版pppt98/435.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt98/435.3matlab有限元法工具箱

下邊界上邊界邊界條件編輯版pppt99/435.3matlab有限元法工具箱下邊界上邊界邊界條件編輯5.3matlab有限元法工具箱

編輯版pppt100/435.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt100/45.3matlab有限元法工具箱

初始條件編輯版pppt101/435.3matlab有限元法工具箱初始條件編輯版pppt15.3matlab有限元法工具箱

編輯版pppt102/435.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt102/45.3matlab有限元法工具箱

編輯版pppt103/435.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt103/45.3matlab有限元法工具箱

編輯版pppt104/435.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt104/4

上機(jī)5利用有限元工具箱計(jì)算二維熱傳導(dǎo)問題編輯版pppt105/43上機(jī)5利用有限元工具箱計(jì)算二維熱傳導(dǎo)問題編輯版p上機(jī)5利用有限元工具箱，求解下列雙曲線型偏微分方程求解域s為邊界條件：構(gòu)成求解域的邊界值都為5初始條件：編輯版pppt106/43上機(jī)5利用有限元工具箱，求解下列雙曲線型偏微分方程求解域感謝親觀看此幻燈片，此課件部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們刪除，謝謝配合！107編輯版pppt感謝親觀看此幻燈片，此課件部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，107編輯版p感謝親觀看此幻燈片，此課件部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們刪除，謝謝配合！108編輯版pppt感謝親觀看此幻燈片，此課件部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，108編輯版p第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函與變分原理5.2基于變分原理的有限元法5.3matlab有限元法工具箱編輯版pppt1/43第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函與變分原理編輯第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis，F(xiàn)EM）有限元法的基本思想是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題，然后再對(duì)簡單問題進(jìn)行求解的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法將求解域看成是由許多被稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)較簡單的近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件，從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解。有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法于上世紀(jì)50年代首先在力學(xué)領(lǐng)域-----飛機(jī)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特性分析中得到應(yīng)用，隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中。編輯版pppt2/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，F(xiàn)inite第五章偏微分方程的有限元法有限元法---變分原理基于變分原理的有限元法是逼近論、偏微分方程、變分與泛函分析的巧妙結(jié)合?；谧兎衷淼挠邢拊ㄒ宰兎衷頌榛A(chǔ)，把所要求解的微分方程定解問題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，即泛函求極值問題；它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，然后利用剖分插值，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的）近似解，把離散化的變分問題轉(zhuǎn)化為普通多元函數(shù)的極值問題，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(邊界條件），即最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組，就得到待求邊值問題的數(shù)值解。編輯版pppt3/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法---變分原理第五章偏微分方程的有限元法有限元法--加權(quán)余數(shù)法自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。加權(quán)余數(shù)法的核心思想是：近似解與解析解相比會(huì)存在誤差R，但是可以通過一個(gè)準(zhǔn)則使R盡量小，求解這個(gè)等式，就可以得到待定常數(shù)的值，也就得到了近似解。編輯版pppt4/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法--加權(quán)余數(shù)法第五章偏微分方程的有限元法有限元法特點(diǎn)有限元法的物理意義直觀明確，理論完整可靠。因?yàn)樽兎衷砻枋隽酥湮锢憩F(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理（如力學(xué)中的最小勢能原理）。優(yōu)異的解題能力。有限元法對(duì)邊界幾何形狀復(fù)雜以及媒質(zhì)物理性質(zhì)變異等復(fù)雜物理問題求解上，有突出優(yōu)點(diǎn)：①不受幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜程度限制。②不必單獨(dú)處理第二、三類邊界條件。③離散點(diǎn)配置比較隨意，通過控制有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以充分保證所需的數(shù)值計(jì)算精度。編輯版pppt5/43第五章偏微分方程的有限元法有限元法特點(diǎn)編輯版pp5.1泛函與變分原理數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變量間的關(guān)系稱為函數(shù)，而泛函則是函數(shù)集合的函數(shù)，也就是函數(shù)的函數(shù)，即自變量為函數(shù)，而不是變量。5.1.1泛函的定義泛函通常是指一種定義域?yàn)楹瘮?shù)，而值域?yàn)閷?shí)數(shù)的“函數(shù)”。設(shè)C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)集合。如果對(duì)C中的任一元素y(x)，在B中都有一個(gè)元素J與之對(duì)應(yīng)，則稱J為y(x)的泛函，記為J[y(x)]。編輯版pppt6/435.1泛函與變分原理數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變5.1泛函與變分原理例5.1.1質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一條光滑的從A點(diǎn)到B點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求下落時(shí)間最短的曲線。曲線上任一小段線元長度為：ABxyOx0x1捷線問題編輯版pppt7/435.1泛函與變分原理例5.1.1質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一5.1泛函與變分原理線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為ABxyOx0x1ds線元下落時(shí)間為從A點(diǎn)到B點(diǎn)的下落時(shí)間為編輯版pppt8/435.1泛函與變分原理線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為ABxyOx0x1d5.1泛函與變分原理5.1.2函數(shù)的變分設(shè)y(x)是泛函J定義域內(nèi)任一函數(shù)，如果y(x)變化為新函數(shù)Y(x)，且Y(x)屬于泛函J的定義域，則Y(x)與y(x)之差為函數(shù)y(x)的變分。變分δy是x的函數(shù)，它不同于函數(shù)的增量Δy。性質(zhì)：函數(shù)求導(dǎo)與求變分可以交換次序編輯版pppt9/435.1泛函與變分原理5.1.2函數(shù)的變分5.1泛函與變分原理5.1.3泛函的變分定義最簡泛函F(x,y,y’)稱為泛函的“核函數(shù)”泛函的變分最簡泛函:核函數(shù)只包含自變量x、未知函數(shù)y(x)以及導(dǎo)數(shù)y’(x)編輯版pppt10/435.1泛函與變分原理5.1.3泛函的變分定義最簡泛函F(5.1泛函與變分原理利用二元函數(shù)的泰勒展開編輯版pppt11/435.1泛函與變分原理利用二元函數(shù)的泰勒展開編輯版pppt15.1泛函與變分原理其中分別稱為泛函的一階變分和二階變分。編輯版pppt12/435.1泛函與變分原理其中分別稱為泛函的一階變分和二階變分。5.1泛函與變分原理泛函取極值的必要條件：一階變分為零性質(zhì)：對(duì)于最簡泛函，變分運(yùn)算可以與積分、微分運(yùn)算交換次序編輯版pppt13/435.1泛函與變分原理泛函取極值的必要條件：一階變分為零性質(zhì)5.1泛函與變分原理5.1.4泛函的極值問題泛函的一階變分利用1泛函的極值問題的間接解法轉(zhuǎn)化為微分方程：歐拉方程編輯版pppt14/435.1泛函與變分原理5.1.4泛函的極值問題泛函的一5.1泛函與變分原理對(duì)于駐定問題，兩邊界固定這就是最簡泛函的歐拉方程，等價(jià)于泛函取極值的必要條件。把變分問題轉(zhuǎn)化微分方程的定解問題（邊值問題）來求解。編輯版pppt15/435.1泛函與變分原理對(duì)于駐定問題，兩邊界固定5.1泛函與變分原理對(duì)于例5.1.1求下落時(shí)間最短的軌跡利用最簡泛函的歐拉方程。編輯版pppt16/435.1泛函與變分原理對(duì)于例5.1.1求下落時(shí)間最短的軌跡5.1泛函與變分原理代入歐拉方程編輯版pppt17/435.1泛函與變分原理代入歐拉方程編輯版pppt17/435.1泛函與變分原理變換得到進(jìn)一步化簡得到積分編輯版pppt18/435.1泛函與變分原理變換得到進(jìn)一步化簡得到積分編輯版ppp5.1泛函與變分原理做變量替換得而編輯版pppt19/435.1泛函與變分原理做變量替換得而編輯版pppt19/435.1泛函與變分原理對(duì)上式積分得到這樣就得到了下落時(shí)間最短曲線的參數(shù)方程式中常數(shù)c1和c2由始末兩點(diǎn)位置確定練習(xí)：畫出經(jīng)過(0,0)和(1,1)的下落時(shí)間最短曲線。連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線編輯版pppt20/435.1泛函與變分原理對(duì)上式積分得到這樣就得到了下落時(shí)間最短5.1泛函與變分原理2泛函的極值問題的直接解法基本做法：瑞利--里茲(Rayleigh-Ritz)法(1)選定一組具有相對(duì)完備性的基函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)線性組合的近似函數(shù)(2)將含有n個(gè)待定系數(shù)的構(gòu)造函數(shù)作為近似的極值函數(shù)，代入泛函編輯版pppt21/435.1泛函與變分原理2泛函的極值問題的直接解法基本做5.1泛函與變分原理(3)為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)取極值的必要條件(4)求解以上方程組，求出就可以得到極值函數(shù)的近似解(5)再將含有n+1個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)作為近似極值函數(shù)，重復(fù)(2)~(4)，就可以得到極值函數(shù)新的近似解。如果連續(xù)兩次所得到的結(jié)果接近，就認(rèn)為最后得到的函數(shù)就是極值函數(shù)的近似解。編輯版pppt22/435.1泛函與變分原理(3)為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)5.1泛函與變分原理例5.1.2求下列泛函的極值函數(shù)。解：為了滿足邊界條件，取基函數(shù)為近似函數(shù)為編輯版pppt23/435.1泛函與變分原理例5.1.2求下列泛函的極值函數(shù)。5.1泛函與變分原理當(dāng)n=1時(shí)代入泛函取極值編輯版pppt24/435.1泛函與變分原理當(dāng)n=1時(shí)代入泛函取極值編輯版pppt5.1泛函與變分原理計(jì)算得到近似函數(shù)同理n=2時(shí)利用歐拉方程，得到的精確解編輯版pppt25/435.1泛函與變分原理計(jì)算得到近似函數(shù)同理n=2時(shí)利用歐拉方5.1泛函與變分原理編輯版pppt26/435.1泛函與變分原理編輯版pppt26/435.1泛函與變分原理泛函的極值問題可以通過變分運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)微分方程和相應(yīng)的邊界條件，即歐拉方程，其解對(duì)應(yīng)于最簡泛函的極值函數(shù)。也就是泛函的極值問題可以等價(jià)為在一定邊界條件下求解微分方程問題。

變分原理

通過求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問題的解。

有限元法正是里茲法與有限差分法相結(jié)合的成果，它取長補(bǔ)短地在理論上以變分為基礎(chǔ)，在具體方法構(gòu)造上又利用了有限差分法網(wǎng)格離散化處理的思想。編輯版pppt27/435.1泛函與變分原理泛函的極值問題可以通過5.1泛函與變分原理

20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=RayleighRitz法＋分片函數(shù)”。有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。不同于求解滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的RayleighRitz法（往往是困難的），有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其它近似方法的原因之一。編輯版pppt28/435.1泛函與變分原理20世紀(jì)60年代初首次5.2基于變分原理的有限元法對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元法的基本做法是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元法基本做法首先把待求的偏微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問題。然后通過有限單元剖分的離散處理，構(gòu)造一個(gè)分片解析的有限元子空間。通過構(gòu)造近似函數(shù)，把變分問題近似地轉(zhuǎn)化為有限元子空間中的多元函數(shù)極值問題，由此直接利用RayleighRitz法探求變分問題的近似解（極值函數(shù)解），以此作為所求邊值問題的近似解。

編輯版pppt29/435.2基于變分原理的有限元法對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型5.2基于變分原理的有限元法有限元法具體求解步驟

建立積分方程根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。區(qū)域單元剖分根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。編輯版pppt30/435.2基于變分原理的有限元法有限元法具體求解步驟建立積分5.2基于變分原理的有限元法確定單元基函數(shù)根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。

單元分析將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程?？傮w合成在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。編輯版pppt31/435.2基于變分原理的有限元法確定單元基函數(shù)單元分析總體合5.2基于變分原理的有限元法

邊界條件的處理一般邊界條件有三種形式，對(duì)于第二類邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于第一類邊界條件和第三類邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。解有限元方程根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。編輯版pppt32/435.2基于變分原理的有限元法邊界條件的處理解有限元方程編5.2基于變分原理的有限元法

有限元分析可分成三個(gè)階段：

前置處理、計(jì)算求解和后置處理。前置處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后置處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。編輯版pppt33/435.2基于變分原理的有限元法有限元分析可分成三個(gè)階段：編5.2基于變分原理的有限元法1.求解區(qū)域離散

離散單元基本要求：各單元只能在頂點(diǎn)處相交。不同單元在邊界處相連，既不能相互分離又不能相互重疊。各單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)循序應(yīng)一致，一律按逆時(shí)針方向，從最小節(jié)點(diǎn)號(hào)開始。同一單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差不能太懸殊，對(duì)多區(qū)域的編號(hào)，按區(qū)域連續(xù)編號(hào)。把求解區(qū)域分割成有限個(gè)單元體的集合。單元體形狀原則上是任意的，一般取有規(guī)則形體。有限元法計(jì)算步驟編輯版pppt34/435.2基于變分原理的有限元法1.求解區(qū)域離散離散單元5.2基于變分原理的有限元法三角單元是經(jīng)常使用的單元剖分方法，剖分時(shí)應(yīng)注意幾下幾點(diǎn)：

三角形不能重疊。不能把一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取為相鄰三角形的邊上。剖分的三角形應(yīng)該避免鈍角。三角形不可過于狹長，最長邊一般不大于最短邊的3倍。三角形三邊之比盡量接近1。不能把一個(gè)三角形跨越不同的介質(zhì)。每個(gè)三角形最多只有一個(gè)邊在邊界上。三角形單元面積越小，計(jì)算精度越高編輯版pppt35/435.2基于變分原理的有限元法三角單元是經(jīng)常5.2基于變分原理的有限元法把求解區(qū)域劃分m個(gè)三角形有限單元，共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)在有限單元e(j,k,l)上進(jìn)行分片線性插值，插值函數(shù)為

2.選擇近似函數(shù)編輯版pppt36/435.2基于變分原理的有限元法把求解區(qū)域劃分m個(gè)三角形有限單5.2基于變分原理的有限元法在單元節(jié)點(diǎn)上求解以上方程組可以得到3.求解單元形函數(shù)編輯版pppt37/435.2基于變分原理的有限元法在單元節(jié)點(diǎn)上求解以上方程組可以5.2基于變分原理的有限元法同理可以求出編輯版pppt38/435.2基于變分原理的有限元法同理可以求出編輯版pppt385.2基于變分原理的有限元法編輯版pppt39/435.2基于變分原理的有限元法編輯版pppt39/435.2基于變分原理的有限元法則插值函數(shù)可以寫為單元形函數(shù)（基函數(shù)）編輯版pppt40/435.2基于變分原理的有限元法則插值函數(shù)可以寫為單元形函數(shù)（5.2基于變分原理的有限元法三角元e插值函數(shù)可以改寫為矩陣形式編輯版pppt41/435.2基于變分原理的有限元法三角元e插值函數(shù)可以改寫為矩陣5.2基于變分原理的有限元法下面以泊松方程為例討論有限元解法所對(duì)應(yīng)的泛函為4.建立單元特征式難點(diǎn)：尋找與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函編輯版pppt42/435.2基于變分原理的有限元法下面以泊松方程為例討論有限元解5.2基于變分原理的有限元法在第e個(gè)三角元的泛函由于編輯版pppt43/435.2基于變分原理的有限元法在第e個(gè)三角元的泛函由于編輯版5.2基于變分原理的有限元法改寫為矩陣形式編輯版pppt44/435.2基于變分原理的有限元法改寫為矩陣形式編輯版pppt45.2基于變分原理的有限元法其中同理編輯版pppt45/435.2基于變分原理的有限元法其中同理編輯版pppt45/45.2基于變分原理的有限元法三角元e的泛函其中編輯版pppt46/435.2基于變分原理的有限元法三角元e的泛函其中編輯版ppp5.2基于變分原理的有限元法改寫Ke到所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)充部分添零，以方便總體矩陣的處理其中編輯版pppt47/435.2基于變分原理的有限元法改寫Ke到所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)5.2基于變分原理的有限元法求解區(qū)域上的總體泛函其中變分問題被離散化的多元二次函數(shù)的極值問題5.建立系統(tǒng)有限元方程編輯版pppt48/435.2基于變分原理的有限元法求解區(qū)域上的總體泛函其中變分問5.2基于變分原理的有限元法根據(jù)多元函數(shù)極值理論得到第i點(diǎn)有限元方程即求解上述有限元方程（線性代數(shù)方程組），就可以得到節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。

編輯版pppt49/435.2基于變分原理的有限元法根據(jù)多元函數(shù)極值理論得到第i點(diǎn)5.2基于變分原理的有限元法獲得有限元方程之后，就可以選擇各種方法求解相應(yīng)的代數(shù)方程組，常用方法有高斯消去法、列元素消去法、迭代法等等。在變分問題中第二類、第三類邊界條件已經(jīng)自然包含在泛函達(dá)到極值的要求中，不必單獨(dú)處理，稱為自然滿足的邊界條件，只需考慮第一類強(qiáng)加邊界條件，強(qiáng)加邊界條件的處理方法因代數(shù)方程組的解法而異。6.有限元方程求解與邊界條件處理編輯版pppt50/435.2基于變分原理的有限元法獲得有限元方程之5.2基于變分原理的有限元法迭代法求解：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程均不迭代，節(jié)點(diǎn)值始終保持給定值，不必單獨(dú)處理邊界。直接法求解：節(jié)點(diǎn)m為邊界，函數(shù)值um=u0，處理方法為，把對(duì)角元素的特征元素設(shè)置為1，即kmm=1,然后把m行與m列的其它元素全部設(shè)置為0，方程的等式右邊改為給定的函數(shù)值u0，其它元素則要減去該節(jié)點(diǎn)處理前對(duì)應(yīng)的m列的特征系數(shù)kim與u0的乘積。編輯版pppt51/435.2基于變分原理的有限元法迭代法求解：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所5.2基于變分原理的有限元法

例5.2.1一個(gè)邊長為1的二維正方形靜電場域，電位函數(shù)為φ(x,y)，邊界條件如圖所示，試用有限元法確定二維靜電場域的電位分布。解：該二維靜電場域的電位函數(shù)φ(x,y),可以用下列第一類邊界條件的偏微分方程描述：編輯版pppt52/435.2基于變分原理的有限元法例5.2.1一個(gè)邊長為15.2基于變分原理的有限元法按照右圖進(jìn)行三角形單元剖分，單元編號(hào)按照從左到右，從下到上的順序編號(hào)。節(jié)點(diǎn)編號(hào)：1(0,0)2(0,1)3(0.5,0.5)4(1,0)5(1,1)三角形單元編號(hào)：e(j,k,l)單元內(nèi)頂點(diǎn)按逆時(shí)針編號(hào)1(1,3,2)2(1,4,3)3(2,3,5)4(3,4,5)第一類邊界條件編輯版pppt53/435.2基于變分原理的有限元法按照右圖進(jìn)行三角形5.2基于變分原理的有限元法對(duì)于三角元1(1,3,2)編輯版pppt54/435.2基于變分原理的有限元法對(duì)于三角元1(1,3,2)編輯5.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元2(1,4,3)編輯版pppt56/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元2(1,4,35.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt57/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元3(2,3,5)編輯版pppt58/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元3(2,3,55.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt59/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt55.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元4(3,4,5)編輯版pppt60/435.2基于變分原理的有限元法同樣，對(duì)于三角元4(3,4,55.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt61/435.2基于變分原理的有限元法擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)編輯版pppt65.2基于變分原理的有限元法全部節(jié)點(diǎn)K編輯版pppt62/435.2基于變分原理的有限元法全部節(jié)點(diǎn)K編輯版pppt62/5.2基于變分原理的有限元法有限元方程可以采用迭代法和直接解法，求解此線性代數(shù)方程組。編輯版pppt63/435.2基于變分原理的有限元法有限元方程可以采用迭代法和直接5.2基于變分原理的有限元法迭代法：迭代公式為代入初值編輯版pppt64/435.2基于變分原理的有限元法迭代法：迭代公式為代入初值編輯5.2基于變分原理的有限元法直接解法：需要處理第一類邊界條件編輯版pppt65/435.2基于變分原理的有限元法直接解法：需要處理第一類邊界條5.2基于變分原理的有限元法差分法得到差分遞推公式編輯版pppt66/435.2基于變分原理的有限元法差分法得到差分遞推公式編輯版p5.2基于變分原理的有限元法差分網(wǎng)格利用邊界條件編輯版pppt67/435.2基于變分原理的有限元法差分網(wǎng)格利用邊界條件編輯版pp5.3matlab有限元法工具箱大型通用有限元商業(yè)軟件國外軟件ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC等國內(nèi)軟件FEPG、JFEX、KMAS等

Matlab偏微分方程工具箱（PDEToolbox）提供了利用有限元法、圖形界面求解偏微分方程的計(jì)算環(huán)境。PDEtool有較大的局限性，可以求解特殊PDE問題，比如只能求解二階PDE問題，并且不能解決偏微分方程組，但是它提供了GUI界面，從繁雜的編程中解脫出來了，同時(shí)還可以通過File->SaveAs直接生成M代碼。編輯版pppt68/435.3matlab有限元法工具箱大型通用有限元商業(yè)軟件國外5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解偏微分方程類型

1橢圓型方程（Elliptic）2拋物線型方程（Parabolic）3雙曲型方程（Hyperbolic）編輯版pppt69/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解5.3matlab有限元法工具箱

4特征值方程（Eigenmodes）上述微分方程中c、a、d、f在橢圓型方程中可以為函數(shù)，但在其它方程中必須為常數(shù)。編輯版pppt70/435.3matlab有限元法工具箱4特征值方程（Eige5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox邊界條件

1狄里赫利條件（Didchlet）2諾依曼條件（Neumann）n為邊界上的單位外法線矢量，h、r、q、g可以為函數(shù)編輯版pppt71/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox邊5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox啟動(dòng)

1啟動(dòng)2界面編輯版pppt72/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox啟5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Options打開或關(guān)閉柵格調(diào)整柵格大小打開或關(guān)閉捕捉柵格功能繪圖軸的坐標(biāo)范圍打開或關(guān)閉繪圖方軸關(guān)閉幫助信息圖形縮放選擇應(yīng)用模式重新顯示圖形編輯版pppt73/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Draw進(jìn)入繪圖模式對(duì)角點(diǎn)繪矩形固定中心繪矩形矩形對(duì)角點(diǎn)繪橢圓固定中心繪橢圓繪多邊形旋轉(zhuǎn)已選圖形將幾何描述矩陣輸出到主工作空間編輯版pppt74/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Boundary進(jìn)入邊界模式對(duì)已選邊界輸入條件顯示邊界區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)刪除已選的子域邊界刪除所有的子域邊界將分解幾何矩陣、邊界條件矩陣輸出到主工作空間編輯版pppt75/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

PDE進(jìn)入偏微分方程模式顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開關(guān)調(diào)整PDE參數(shù)和類型將PDE參數(shù)輸出到主工作空間編輯版pppt76/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Mesh輸入網(wǎng)格模式初始化三角形網(wǎng)格加密當(dāng)前三角形網(wǎng)格優(yōu)化網(wǎng)格退回上一步用數(shù)字化的顏色顯示網(wǎng)格質(zhì)量，大于0.6可接受顯示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)識(shí)顯示三角形網(wǎng)格標(biāo)識(shí)修改網(wǎng)格生成參數(shù)輸出網(wǎng)格矩陣到主工作空間編輯版pppt77/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜單

Solve對(duì)已經(jīng)定義的偏微分方程求解調(diào)整解PDE的參數(shù)輸出解到主工作空間Plot顯示圖形解繪圖參數(shù)設(shè)置輸出動(dòng)畫編輯版pppt78/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox菜5.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求解步驟

求解區(qū)域設(shè)置應(yīng)用模式設(shè)置輸入邊界條件微分方程參數(shù)設(shè)定網(wǎng)格剖分初值和誤差設(shè)置解方程圖形解顯示參數(shù)設(shè)置File->SaveAs直接生成M代碼編輯版pppt79/435.3matlab有限元法工具箱PDEToolbox求5.3matlab有限元法工具箱例5.3.1如圖帶有矩形孔（0.1*0.8）的金屬板（1*1.6），金屬板左側(cè)保持在100℃，右側(cè)熱量可以向環(huán)境定常流動(dòng)，上下側(cè)及內(nèi)孔保持