2023屆四川省樹德中學（寧夏街校區(qū)）高三上學期10月階段性測試數學（文）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆四川省樹德中學（寧夏街校區(qū)）高三上學期10月階段性測試數學（文）試題一、單選題1．如果復數z滿足，那么的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2i【答案】C【分析】由復數模的幾何意義求解．【詳解】在復平面上，設復數對應的點為，復數對應的點為，為原點，表示點在以為圓心，1為半徑的圓上，，而，所以的最大值為1＋1＝2．故選：C．2．設，，若M是N的真子集，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據真子集的定義求解．【詳解】顯然，所以由已知，解得，時符合題意．故選：D．3．已知P是△ABC所在平面內的一點，若，其中λ∈R，則點P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內部【答案】A【分析】根據向量的線性運算整理可得，再結合向量共線分析即可.【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點在AC邊所在直線上．故選：A．4．設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【分析】利用等比數列的通項公式，求解出公比【詳解】由，有，即，由等比數列的通項公式得，即，解得或，由數列為正項等比數列，∴.故選：A5．下列判斷，不正確的選項是（

）A．若是奇函數，則的圖象關于點對稱B．曲線的圖象關于直線對稱．C．函數定義在R上的可導函數，若為偶函數，則其導函數為奇函數．D．若函數，則函數圖像關于對稱【答案】B【分析】對于A，根據奇函數的定義結合中心對稱的定義判斷，對于B，令，由與的關系判斷，對于C，由奇偶函數的定義結合導數的運算分析判斷，對于，由軸對稱的性質分析判斷.【詳解】對于A，因為為奇函數，所以，所以，所以的圖象關于點對稱，所以A正確，對于B，令，則，所以曲線的圖象不關于直線對稱，所以B錯誤，對于C，因為為偶函數，所以，因為定義在R上的可導函數，所以，所以，即，所以其導函數為奇函數，所以C正確，對于D，因為函數，所以函數圖像關于對稱，所以D正確，故選：B6．比較甲、乙兩名學生的數學學科素養(yǎng)的各項能力指標值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數學抽象指標值為4，乙的數學抽象指標值為5，則下面敘述錯誤的是（

）A．甲的邏輯推理能力指標值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標值B．乙的直觀想象能力指標值優(yōu)于甲的數學建模能力指標值C．乙的六維能力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標值整體水平D．甲的數學運算能力指標值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值【答案】D【分析】根據六維能力雷達圖，分別讀取出甲乙兩人的相應能力指標值，比較或計算平均值可得答案.【詳解】對于A選項，甲的邏輯推理能力指標值為4，乙的邏輯推理能力指標值為3，所以甲的邏輯推理能力指標值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標值，故選項A正確；對于B選項，甲的數學建模能力指標值為3，乙的直觀想象能力指標值為5，所以乙的直觀想象能力指標值優(yōu)于甲的數學建模能力指標值，故選項B正確；對于C選項，甲的六維能力指標值的平均值為，乙的六維能力指標值的平均值為，所以乙的六維能力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標值整體水平，所以選項C正確；對于D選項，甲的數學運算能力指標值為4，甲的直觀想象能力指標值為5，所以甲的數學運算能力指標值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值，所以選項D錯誤.故選：D7．已知過點作曲線的切線有且僅有條，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設出切點，對函數求導得出切線的斜率，利用點斜式方程寫出切線，將點代入，并將切線有且僅有條，轉化為方程只有一個根，列方程求解即可．【詳解】設切點為，由已知得，則切線斜率，切線方程為直線過點，則，化簡得切線有且僅有條，即，化簡得，即，解得或故選：C8．已知函數，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的k的值為6，則判斷框中t的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】模擬程序框圖的運行過程，求解即可.【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿足退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿足退出循環(huán)的條件；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿足退出循環(huán)的條件；第五次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿足退出循環(huán)的條件，此時；第六次執(zhí)行循環(huán)體后，，，滿足退出循環(huán)的條件，此時；所以故選：B9．設方程和方程的根分別為p和q，設函數，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據，關于直線對稱，而與，的交點的橫坐標即為，根據對稱性可得，再由圖象開口向上，對稱軸方程為，即可求解.【詳解】由得，由得，所以令，和，這三個函數的圖象情況如下圖所示，與相交于點，與相交于點，由于與的圖象關于對稱，而與的交點為，所以，即，又因為的對稱軸為：，根據二次函數的性質得在單調遞減，在上單調遞增，所以，故選：A.10．已知奇函數的周期為，將函數的圖像向右平移個單位長度，可得到函數的圖像，則下列結論正確的是（

）A．函數B．函數在區(qū)間上單調遞增C．函數的圖像關于直線對稱D．當時，函數的最大值是【答案】C【分析】利用輔助角公式變形函數，由已知求出，再借助平移變換求出，然后利用正弦函數性質逐項判斷作答.【詳解】依題意，，則有，又是奇函數，于是得，因，即有，，因此，A不正確；當時，，而函數在上不單調，因此函數在區(qū)間上不單調，B不正確；當時，，為的最小值，因此函數的圖像關于直線對稱，C正確；當時，，即有，，，D不正確.故選：C11．如圖，在棱長為2的正四面體中，點分別為和的重心，為線段上一點（

）A．的最小為2B．若平面，則C．若平面，則三棱錐外接球的表面積為D．正四面體的內切球體積為【答案】D【分析】A選項由線面垂直證得，進而由點與點重合時即可判斷；BD選項利用內切球求得，內切球半徑，即可判斷；C選項找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；【詳解】解：取中點，連接，因為點分別為和的重心，所以，三點共線，三點共線，三點共線，所以，在棱長為2的正四面體中，，，又，平面，平面，所以，面，平面，又面，面，所以，，又因為，平面所以，平面，又平面，所以．所以，當點與點重合時，取得最小值，又，所以，最小值為，A錯誤．在正四面體中，取中點，連接，所以三點共線，，因為平面，所以，平面，因為平面，所以因為面，面，所以因為，平面，所以平面，因為平面，所以，在上，所以，又點也是和的內心，所以，點P為正四面體內切球的球心．，．設正四面體內切球的半徑為，因為，所以，解得，即，故，故B選項錯誤．所以，正四面體內切球的體積為，故D選項正確.設三棱錐外接球的球心為，半徑為，因為平面，所以，球心在直線上，且，所以，，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項錯誤．故選：D.12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉化，需要作出輔助線，結合內心的性質得到三角形三邊關系，求出離心率.二、填空題13．為防控新冠疫情，很多公共場所要求進人的人必須佩戴口罩．現(xiàn)有2人在一次外出時需要從藍、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機選2只不同顏色的口罩，則藍色口罩被選中的概率為____________．【答案】0.4【分析】利用列舉法和古典概型的概率計算公式可得答案.【詳解】從藍、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中選2只不同顏色的口罩，樣本點如下：（藍，白），（藍，紅），（藍，黑），（藍，綠），（白，紅），（白，黑），（白，綠），（紅，黑，（紅，綠），（黑，綠），共有10個樣本點，其中藍色口罩被選中的樣本點有（藍，白），（藍，紅），（藍，黑），（藍，綠），共4個樣本點，所以藍色口罩被選中的概率．故答案為：．14．已知關于、的不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一點，則的最小值________．【答案】【分析】作出平面區(qū)域，分析可知為點到直線的距離的倍，數形結合可求得點到直線的距離的最小值，即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：設點到直線的距離為，則，則，由圖可知，當點與點重合時，取最小值，且，因此，的最小值為.故答案為：.15．數列滿足，，則前40項和為________．【答案】【分析】根據題設中的遞推關系可得、，利用分組求和可求前40項和，【詳解】當時，，故，當時，，所以，所以，當時，；當時，；當時，；當時，；故，故前40項和為，故答案為：16．已知函數（），若在區(qū)間內恰好有7個零點，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】首先討論時不符題意，再討論時，當時，函數的性質及零點個數，再確定函數在內的個零點個數，然后結合三角函數的性質列出不等式組解出的取值范圍，最后取并集即可.【詳解】當時，對任意，在內最多有2個零點，不符題意；所以，當時，，開口向下，對稱軸為，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又因為當時，；當，即時，在內無零點，所以在內有7個零點，即在內有7個零點，因為，所以，，所以，解得，又因為，所以無解；當，即時，=在內有1個零點，在內有6個零點，即在內有6個零點，由三角函數的性質可知此時在內只有4個零點，不符題意；當，即時，=在內有2個零點，所以=在內有5個零點，即在內有5個零點，因為，所以，，所以，解得，又因為時，所以，當，即時，在內有1個零點，所以在內有6個零點，即在內有6個零點，因為，所以，，所以，解得，又因為，所以.綜上所述，的取值范圍為：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數的零點、二次函數的性質、三角函數的性質及分類討論思想，屬于難題.三、解答題17．已知四邊形ABCD是由ABC與ACD拼接而成的，且在ABC中，．(1)求角B的大小；(2)若，，，．求AB的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理計算；（2）在ADC中，由正弦定理求得，在ABC中由余弦定理求得．【詳解】(1)∵，∴整理可得，，∴在ABC中，由余弦定理可得，，∴．(2)在ADC中，由正弦定理，可得，可得，在△ABC中由余弦定理，可得，可得，，解得，（負值舍去）．18．在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥平面ABCD，，且，N為BE的中點，M為CD中點．(1)求證：平面ABCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，由題可得四邊形NHDF為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）連接BM，由題可得，然后根據錐體的體積公式即得.【詳解】(1)取的中點，連接，∵N為BE的中點，∴，∵，且，所以，∴四邊形NHDF為平行四邊形，∴，∵平面ABCD且平面ABCD，∴平面ABCD；(2)連接BM，則四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，且，∴四邊形BMFN為平行四邊形，∴，∵，∴.19．網民的智慧與活力催生新業(yè)態(tài)，網絡購物，直播帶貨，APP買菜等進入我們的生活，改變了我們的生活方式，隨之電信網絡詐騙犯罪形勢也非常嚴峻．自“國家反詐中心APP”推出后，某地區(qū)采取多措并舉的推廣方式，努力為人民群眾構筑一道防詐反詐的“防火墻”．經統(tǒng)計，該地區(qū)網絡詐騙月報案數與推廣時間有關，并記錄了經推廣x個月后月報案件數y的數據．x（個）1234567y（件）891888351220200138112(1)根據以上數據，使用作為回歸方程模型，求出y關于x的回歸方程；(2)分析該地區(qū)一直推廣下去，兩年后能否將網絡詐騙月報案數降至75件以下．參考數據（其中，，，，．參考公式：對于一組數據，，，…，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】(1)；(2)能，詳見解析.【分析】（1）對于非線性回歸方程先通過換元法將變化為線性回歸方程，再利用最小二乘法即得；（2）將代入回歸方程得到，進而即得.【詳解】(1)由表中數據可得(891+888+351+220+200+138+112)=400，令，設y關于t的線性回歸方程為，則則，故y關于x的回歸方程為；(2)由回歸方程可知，隨x的增大，y逐漸減少，當時，，故兩年后網絡詐騙月報案數能降至75件以下．20．在平面直角坐標系xOy中，動圓P與圓：內切，且與圓：外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)過圓心的直線交軌跡E于A，B兩個不同的點，過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據兩圓內切和外切列出圓心距與半徑的關系，即可發(fā)現(xiàn)圓心P的軌跡滿足橢圓的定義，進而可求出方程；（2）當直線AB的斜率不存在，或為0時，可直接由已知得出四邊形ADBG面積；當直線AB的斜斜率存在且不為0時，設出直線AB的方程，與聯(lián)立橢圓聯(lián)立，通過韋達定理與弦長公式得出與直線AB的斜率的關系，再由，得出直線DG的斜率與直線AB的斜率的關系，設出直線DG的方程，同理得出與直線AB的斜率的關系，即可列出四邊形ADBG面積的式子，再通過基本不等式的應用得出最小值.【詳解】(1)設動圓P的半徑為R，圓心P的坐標為，由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，動圓P與圓內切，且與圓外切，，則動圓P的圓心的軌跡E是以，為焦點的橢圓，設其方程為：，其中，，，，即軌跡E的方程為：.(2)當直線AB的斜率不存在，或為0時，四邊形ADBG面積長軸長通徑長，當斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為，，，由可得：，，，，．，，同理可得：，，四邊形ADBG面積，則等號當且僅當時取，即時，.21．已知函數．(1)當時，對于函數，存在，，使得成立，求滿足條件的最大整數m；(2)使不等式對任意恒成立時最大的k記為c，求當時，的取值范圍．【答案】(1)4(2)【分析】（1）由題意得，然后對函數求導，求出函數的單調區(qū)間，從而可求出函數在的最值，則可求出的取值范圍，進而可求出的最大值，（2）將問題轉化為對任意恒成立，構造函數，利用導數求出的最小值，則可得的取值范圍，從而可得的值，則可表示出，再構造函數可求出其范圍.【詳解】(1)由已知可得，，，所以，，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，又，，，因為，所以所以函數在上的最大值為，最小值為，因為存在，，使得，成立，所以，又，故，所以滿足條件的最大整數m值為4；(2)因為，所以原不等式可變