工程力學(xué)-材料力學(xué)-第章動量矩定理華蕊

第12章動量矩

定理本章重點：質(zhì)點系動量矩的概念及計算，轉(zhuǎn)動慣量的概念，質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用。1．質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義§12-1質(zhì)點和剛體的動量矩單位：kg·m2/s質(zhì)點對z軸的動量矩是質(zhì)點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數(shù)量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負(fù)。質(zhì)點的動量對坐標(biāo)軸的矩對點的動量矩對軸的動量矩即

質(zhì)點系的動量矩(1)剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。2.剛體的動量矩(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩轉(zhuǎn)動慣量單位：kg·m2

轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。質(zhì)量是剛體移動時慣性的度量。2.剛體的動量矩教材P213表12－1列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1)回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2)平行軸定理式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO；一高為h、質(zhì)量為m1的均質(zhì)矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉(zhuǎn)動；一質(zhì)量為m2的質(zhì)點E以相對速度vr在板上運動。試求系統(tǒng)運動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例12-1續(xù)3、LZ(E)結(jié)果果：：例12-1續(xù)鐘擺擺簡簡化化如如圖圖所所示示。。已已知知均均質(zhì)質(zhì)細(xì)細(xì)桿桿和和均均質(zhì)質(zhì)圓圓盤盤的的質(zhì)質(zhì)量量都都為為m，圓圓盤盤半半徑徑R，桿桿長長3R，求求擺擺對對通通過過懸懸掛掛點點O并垂垂直直于于圖圖面面的的z軸的轉(zhuǎn)動動慣量。。例12-2解：查表得：：根據(jù)平行行軸定理理1．質(zhì)點的的動量矩矩定理設(shè)O為定點，，有：其中：

(O為定點)§12-2動量矩定定理投影式：：因此稱為質(zhì)點的動動量矩定定理：質(zhì)點對對某定點點的動量量矩對時時間的一一階導(dǎo)數(shù)數(shù)，等于于作用力力對同一一點的矩矩。質(zhì)點的動動量矩定定理得由于對第i個質(zhì)點有有：對n個質(zhì)點有有：2.質(zhì)點系的的動量矩矩定理投影式：：注意：內(nèi)力不能能改變質(zhì)質(zhì)點系的的動量矩矩。稱為質(zhì)點系的的動量矩矩定理：質(zhì)點系系對某定定點O的動量矩矩對時間間的一階階導(dǎo)數(shù)，，等于作作用于質(zhì)質(zhì)點系的的外力對對于同一一點之矩矩的矢量量和。2.質(zhì)點系的的動量矩矩定理已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為為研究對對象,受力分析析如圖例12-3求：彈簧簧被拉長長s時，重物物m2的加速度度a2。設(shè)塔輪該該瞬時的的角速度度為ω，則解得：若，則常矢量；若，則常量。3．動量矩矩守恒定定律主動力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定定軸轉(zhuǎn)動動的微分分方程已知：，，求。。解：由上式可可見，只只有當(dāng)定定滑輪勻勻速轉(zhuǎn)動動（包括括靜止））或雖非非勻速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動，但但可忽略略J時，F(xiàn)1、F2才相等。。例12-5已知：，，求：：1.ω；2.Mf解：因為系統(tǒng)統(tǒng)外力對對z軸的矩為為零，故故系統(tǒng)對對z軸動量矩矩守恒。。例12-61.選系統(tǒng)為為研究對對象2.選輪2為研究對對象積分1．對質(zhì)心心的動量量矩由于得其中如圖，以以質(zhì)心C為原點，，取平移移坐標(biāo)系系Cx’y’z’’。質(zhì)點系相相對質(zhì)心心C為的動量量矩為：：§12-4質(zhì)點系相相對于質(zhì)質(zhì)心的動動量矩定定理質(zhì)點系相相對質(zhì)心心的動量量矩，無無論是以以相對速速度計算算還是以以絕對速速度計算算，其結(jié)結(jié)果都相相同。質(zhì)點系對對任一點點O的動量矩矩：質(zhì)點系相相對于任任意定點點的動量量矩結(jié)論質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量對O點的動量矩，與質(zhì)點系相對于質(zhì)心動量矩的矢量和。質(zhì)點系相相對于任任意定點點的動量量矩由于即2相對質(zhì)心心的動量量矩定理理質(zhì)點系相相對于質(zhì)質(zhì)心的動動量矩定定理：質(zhì)點系系相對于于質(zhì)心的的動量矩矩對時間間的一階階導(dǎo)數(shù)，，等于作作用于質(zhì)質(zhì)點系的的外力對對質(zhì)心的的主矩。。該定理在在形式上上與質(zhì)點點系相對對于固定定點的動動量矩定定理完全全一樣。。提示示質(zhì)點系相相對于質(zhì)質(zhì)心的動動量矩定定理或剛體體的的平平面面運運動動選選質(zhì)質(zhì)心心為為基基點點，，可可分分為為隨隨質(zhì)質(zhì)心心的的平平移移和和相相對對質(zhì)質(zhì)心心的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動，，則則剛剛體體平平面面運運動動微微分分方方程程是是質(zhì)質(zhì)心心運運動動定定理理和和相相對對于于質(zhì)質(zhì)心心的的動動量量矩矩定定理理。?！?2-5剛體體的的平平面面運運動動微微分分方方程程以上上各各組組均均稱稱為為剛剛體體平平面面運運動動微微分分方方程程。。應(yīng)用用時時一一般般用用投投影影式式：：剛體體的的平平面面運運動動微微分分方方程程例12-8已知知：：l，m，θ=60°°。求求：：1.αAB；2.FA解：：繩子子剛剛被被剪剪斷斷，，桿桿AB作平平面面運運動動，，受受力力如如圖圖，，根根據(jù)據(jù)平平面面運運動動微微分分方方程程補充充運動動學(xué)學(xué)方方程程在y軸方向向投影影例12-9已知：：如圖圖r，m，m1。求：：1.aA；2.FAB；3.FS2解：分別以以A、B、C為研究