大學(xué)物理剛體力學(xué)基礎(chǔ)課件

二、

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所有的質(zhì)元都繞某一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。

二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所1

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，即既不能改變方向又不能平移，這個(gè)轉(zhuǎn)軸為固定軸，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

我們只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OZ１、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

若轉(zhuǎn)軸的方向或位置在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變化，這個(gè)軸在某個(gè)時(shí)刻的位置稱為該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，即既不能改變方向又不能平移，這個(gè)轉(zhuǎn)軸2垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時(shí)組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，因此前面關(guān)于質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的全套描述方法，此處全部可用。

以轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，任引一射線為極軸，原點(diǎn)引向考察點(diǎn)的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。１）角量描述：角位移角速度3２)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)所有質(zhì)點(diǎn)的角量都相同

；質(zhì)點(diǎn)的線量與該質(zhì)點(diǎn)的軸矢徑大小成正比

。２)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)所有質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；4一、力矩1、力對(duì)固定點(diǎn)的力矩

1）定義：作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)慣性系中某參考點(diǎn)的力矩，等于力的作用點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、?！っ?N·m)om3-2力矩

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩1、力對(duì)固定點(diǎn)的力矩1）定義：作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)慣53）力矩的計(jì)算：

M的大小、方向均與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)※在直角坐標(biāo)系中，其表示式為3）力矩的計(jì)算：M的大小、方向均與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)※6

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對(duì)軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對(duì)Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對(duì)軸的矩：

設(shè)力Ｆ的作用線就在Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作用點(diǎn)到Ｚ軸的位矢為r，則力對(duì)Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉(zhuǎn)動(dòng)在平面內(nèi)，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個(gè)分力即可。rF力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對(duì)軸的矩。例如上面所列71.力對(duì)固定點(diǎn)的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過(guò)0點(diǎn),即，有心 力對(duì)力心的力矩恒為零）。2.力對(duì)固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A)1.力對(duì)固定點(diǎn)的力矩為零的情況： 力F等于零，2.力對(duì)固定軸83.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零3.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零9二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在剛體上取一質(zhì)元，繞軸作半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力矩由牛頓第二定律可知?jiǎng)t質(zhì)點(diǎn)所受力矩二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在剛體上取一質(zhì)10對(duì)剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)軸距離不變，令對(duì)剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)軸距離不變，令112、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與外力對(duì)該軸的力矩之和成正比，與剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中地位相當(dāng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明了J是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋?、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速12即J越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，J越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。

如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？MM即J越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性13

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系若物體質(zhì)量連續(xù)分布，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m214解(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直例如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx，距軸O的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量)為

，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm＝λdx.該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解例如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：在棒15(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由16解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖17則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.整個(gè)圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設(shè)圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量)

，則小圓環(huán)的質(zhì)量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為以上計(jì)算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓18(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

以上各例說(shuō)明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣19(3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。(3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移，對(duì)20例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng).求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對(duì)于作平動(dòng)的物體A，B，分別由牛頓定律得對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角21由于繩不可伸長(zhǎng)，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得由于繩不可伸長(zhǎng)，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得22例轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)ω＝

時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解(1)由題知，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有即將代入，求得這時(shí)飛輪的角加速度為例轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為23(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時(shí)，

，兩邊積分故當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即分離241、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能i質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

整個(gè)剛體的動(dòng)能—對(duì)i求和3-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量252、力矩的功對(duì)于i質(zhì)點(diǎn)其受外力為Fi，對(duì)i求和，當(dāng)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內(nèi)力矩之和為零）

∴當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過(guò)有限角時(shí)，力矩的功為2、力矩的功對(duì)于i質(zhì)點(diǎn)其受外力為Fi，對(duì)i求和，當(dāng)263、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)274、剛體的勢(shì)能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。

質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC4、剛體的勢(shì)能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。28例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時(shí)中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度.解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對(duì)O軸的力矩大小等于，是θ的函數(shù)，軸的支持力對(duì)O軸的力矩為零.由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，有等式左邊的積分為重力矩的功.即式中

是棒的質(zhì)心所在處相對(duì)棒的質(zhì)心C在最低點(diǎn)(即棒在豎直位置處)的高度.

例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)29則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為將及

代入①式，得則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為將30§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

角動(dòng)量守恒定律§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理31一、

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

在質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量mv不守恒，但角動(dòng)量的引入：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的面積定律

許多實(shí)例都說(shuō)明是一個(gè)獨(dú)立的物理量，再考慮到行星的質(zhì)量m為恒量，一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量在質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量m32

在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)及微觀粒子的運(yùn)動(dòng)中都具有獨(dú)特作用。因此必須引入一個(gè)新的物理量－－角動(dòng)量L，來(lái)描述這一現(xiàn)象。

衛(wèi)星地球+在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星33１、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量

動(dòng)量為mv的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣性系內(nèi)某參考點(diǎn)0的角動(dòng)量，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的位矢r與其動(dòng)量mv的矢積。

角動(dòng)量是矢量，角動(dòng)量L

的方向垂直于r和mv所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。注意：為表示是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量，通常將角動(dòng)量L畫在參考點(diǎn)上。L的大小為·L１、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量動(dòng)量為mv的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣34★角動(dòng)量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對(duì)量：與參照系的選擇有關(guān)，與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)L＝rmv=mr2★角動(dòng)量的定義并沒(méi)有限定質(zhì)點(diǎn)只能作曲線運(yùn)動(dòng)而不能作直線運(yùn)動(dòng)?！锝莿?dòng)量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1352、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量☆假定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的矢徑為r，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量為，方向沿z軸，可正、可負(fù)☆質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，則只需考慮動(dòng)量在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量；或運(yùn)用坐標(biāo)分量式求得：2、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量☆假定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且質(zhì)點(diǎn)36

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理１、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)o的位矢。

又于是有或

即：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。此即質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理１、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）若用37２、角動(dòng)量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對(duì)同一點(diǎn)而言a、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒律若，則

質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某參考點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。

外力距對(duì)某固定點(diǎn)的沖量距等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。＊若質(zhì)點(diǎn)受有心力作用，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量一定守恒。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律２、角動(dòng)量定理的積分形式：叫沖量矩*：M和L38b、對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數(shù)，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對(duì)某軸的力矩為零），則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。b、對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：若Mz=0，則Lz39二、

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系，共有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力為則i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o的角動(dòng)量定理為二、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理40對(duì)i求和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)內(nèi)力對(duì)O的力矩之和為零，因此內(nèi)力矩之總和為零，于是有（i)內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)，（與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理相似）對(duì)i求和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)41(iii)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，求外力對(duì)固定點(diǎn)的力矩之和時(shí)，不能先求合力，再求合力矩。只能說(shuō)外力矩之和不能說(shuō)合外力之矩。(iii)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)422、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量分別向給定軸投影，即可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理。

式中ri為i質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離，i

是vi與ri間的夾角。若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)則有

為簡(jiǎn)單記只討論沿z軸的角動(dòng)量定理——這時(shí)組成質(zhì)點(diǎn)系的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，于是有2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力矩之矢43將其與線動(dòng)量 相比

m

表示物體的平動(dòng)慣性，則J表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，故將命名為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，（式中ri

為mi

到軸的距離）即：若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理為將其與線動(dòng)量 相比m表示物體的平動(dòng)慣性，則J441、對(duì)軸的角動(dòng)量定理已知質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理的積分形式為可以證明，這個(gè)結(jié)論對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)同樣成立，同時(shí)考慮到

即：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。這一關(guān)系稱剛體的角動(dòng)量定理。三、

剛體組對(duì)軸的角動(dòng)量定理及其守恒定律1、對(duì)軸的角動(dòng)量定理已知質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理的積分形式為452、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒若Mz外＝0，

若外力對(duì)Ｚ軸的力矩為零，則剛體（或剛體組）對(duì)Ｚ軸的角動(dòng)量守恒，稱之為剛體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律。

若為剛體，當(dāng)角動(dòng)量守恒時(shí)，因J＝常數(shù)，則亦為常數(shù)，這與轉(zhuǎn)動(dòng)定律是一致的。2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒若Mz外＝0，若外力對(duì)Ｚ463、物體組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以相同角速度繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒

J

可變，ω亦可變，但仍有Jω=常數(shù)，故有3、物體組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以相同角速度繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒474、剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒總角動(dòng)量4、剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒總角動(dòng)量48解此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過(guò)程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰.此過(guò)程機(jī)械能守恒.以棒、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，以棒的重心在豎直位置時(shí)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有例如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過(guò)其一端的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)將棒拉到水平位置(OA′)后放手，棒下擺到豎直位置(OA)時(shí)，與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止.設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)μ處處相同，求證解此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過(guò)程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位49(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過(guò)程角動(dòng)量守恒(并非動(dòng)量守恒)和機(jī)械能守恒，設(shè)碰撞后棒的角速度為ω′，物塊速度為v，則有(3)碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足動(dòng)能定理聯(lián)立以上四式，即可證得：(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過(guò)程角動(dòng)量守恒(并非動(dòng)量守恒50

平動(dòng)

轉(zhuǎn)動(dòng)

動(dòng)量

角動(dòng)量動(dòng)量定理

角動(dòng)量定理

動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律

動(dòng)能定理

動(dòng)能定理

機(jī)械能守恒定律條件：（或只有保守力作功）

質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系平動(dòng)51謝謝！52謝謝！525353二、

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所有的質(zhì)元都繞某一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。

二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所54

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，即既不能改變方向又不能平移，這個(gè)轉(zhuǎn)軸為固定軸，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

我們只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OZ１、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

若轉(zhuǎn)軸的方向或位置在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變化，這個(gè)軸在某個(gè)時(shí)刻的位置稱為該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，即既不能改變方向又不能平移，這個(gè)轉(zhuǎn)軸55垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時(shí)組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，因此前面關(guān)于質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的全套描述方法，此處全部可用。

以轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，任引一射線為極軸，原點(diǎn)引向考察點(diǎn)的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。１）角量描述：角位移角速度56２)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)所有質(zhì)點(diǎn)的角量都相同

；質(zhì)點(diǎn)的線量與該質(zhì)點(diǎn)的軸矢徑大小成正比

。２)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)所有質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；57一、力矩1、力對(duì)固定點(diǎn)的力矩

1）定義：作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)慣性系中某參考點(diǎn)的力矩，等于力的作用點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、?！っ?N·m)om3-2力矩

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩1、力對(duì)固定點(diǎn)的力矩1）定義：作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)慣583）力矩的計(jì)算：

M的大小、方向均與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)※在直角坐標(biāo)系中，其表示式為3）力矩的計(jì)算：M的大小、方向均與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)※59

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對(duì)軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對(duì)Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對(duì)軸的矩：

設(shè)力Ｆ的作用線就在Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作用點(diǎn)到Ｚ軸的位矢為r，則力對(duì)Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉(zhuǎn)動(dòng)在平面內(nèi)，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個(gè)分力即可。rF力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對(duì)軸的矩。例如上面所列601.力對(duì)固定點(diǎn)的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過(guò)0點(diǎn),即，有心 力對(duì)力心的力矩恒為零）。2.力對(duì)固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A)1.力對(duì)固定點(diǎn)的力矩為零的情況： 力F等于零，2.力對(duì)固定軸613.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零3.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零62二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在剛體上取一質(zhì)元，繞軸作半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力矩由牛頓第二定律可知?jiǎng)t質(zhì)點(diǎn)所受力矩二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在剛體上取一質(zhì)63對(duì)剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)軸距離不變，令對(duì)剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)軸距離不變，令642、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與外力對(duì)該軸的力矩之和成正比，與剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中地位相當(dāng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明了J是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋?、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速65即J越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，J越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。

如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？MM即J越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性66

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系若物體質(zhì)量連續(xù)分布，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m267解(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直例如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx，距軸O的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量)為

，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm＝λdx.該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解例如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：在棒68(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由69解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖70則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.整個(gè)圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設(shè)圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量)

，則小圓環(huán)的質(zhì)量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為以上計(jì)算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓71(2)質(zhì)量元的選取：線分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

以上各例說(shuō)明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣72(3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。(3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移，對(duì)73例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng).求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對(duì)于作平動(dòng)的物體A，B，分別由牛頓定律得對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角74由于繩不可伸長(zhǎng)，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得由于繩不可伸長(zhǎng)，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得75例轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)ω＝

時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解(1)由題知，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有即將代入，求得這時(shí)飛輪的角加速度為例轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為76(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時(shí)，

，兩邊積分故當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即分離771、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能i質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

整個(gè)剛體的動(dòng)能—對(duì)i求和3-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量782、力矩的功對(duì)于i質(zhì)點(diǎn)其受外力為Fi，對(duì)i求和，當(dāng)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內(nèi)力矩之和為零）

∴當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過(guò)有限角時(shí)，力矩的功為2、力矩的功對(duì)于i質(zhì)點(diǎn)其受外力為Fi，對(duì)i求和，當(dāng)793、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)804、剛體的勢(shì)能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。

質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC4、剛體的勢(shì)能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。81例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時(shí)中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度.解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對(duì)O軸的力矩大小等于，是θ的函數(shù)，軸的支持力對(duì)O軸的力矩為零.由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，有等式左邊的積分為重力矩的功.即式中

是棒的質(zhì)心所在處相對(duì)棒的質(zhì)心C在最低點(diǎn)(即棒在豎直位置處)的高度.

例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)82則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為將及

代入①式，得則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為將83§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

角動(dòng)量守恒定律§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理84一、

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

在質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量mv不守恒，但角動(dòng)量的引入：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的面積定律

許多實(shí)例都說(shuō)明是一個(gè)獨(dú)立的物理量，再考慮到行星的質(zhì)量m為恒量，一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量在質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量m85

在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)及微觀粒子的運(yùn)動(dòng)中都具有獨(dú)特作用。因此必須引入一個(gè)新的物理量－－角動(dòng)量L，來(lái)描述這一現(xiàn)象。

衛(wèi)星地球+在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星86１、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量

動(dòng)量為mv的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣性系內(nèi)某參考點(diǎn)0的角動(dòng)量，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的位矢r與其動(dòng)量mv的矢積。

角動(dòng)量是矢量，角動(dòng)量L

的方向垂直于r和mv所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。注意：為表示是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量，通常將角動(dòng)量L畫在參考點(diǎn)上。L的大小為·L１、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量動(dòng)量為mv的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣87★角動(dòng)量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對(duì)量：與參照系的選擇有關(guān)，與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)L＝rmv=mr2★角動(dòng)量的定義并沒(méi)有限定質(zhì)點(diǎn)只能作曲線運(yùn)動(dòng)而不能作直線運(yùn)動(dòng)?！锝莿?dòng)量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1882、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量☆假定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的矢徑為r，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量為，方向沿z軸，可正、可負(fù)☆質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，則只需考慮動(dòng)量在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量；或運(yùn)用坐標(biāo)分量式求得：2、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量☆假定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且質(zhì)點(diǎn)89

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理１、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)o的位矢。

又于是有或

即：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。此即質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理１、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）若用90２、角動(dòng)量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對(duì)同一點(diǎn)而言a、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒律若，則

質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某參考點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。

外力距對(duì)某固定點(diǎn)的沖量距等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。＊若質(zhì)點(diǎn)受有心力作用，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量一定守恒。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律２、角動(dòng)量定理的積分形式：叫沖量矩*：M和L91b、對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數(shù)，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對(duì)某軸的力矩為零），則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。b、對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：若Mz=0，則Lz92二、

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系，共有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力為則i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o的角動(dòng)量定理為二、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理93對(duì)i求和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)內(nèi)力對(duì)O的力矩之和為零，因此內(nèi)力矩之總和為零，于是有（i)內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)，（與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理相似）對(duì)i求和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)94(iii)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，求外力對(duì)固定點(diǎn)的力矩之和時(shí)，不能先求合力，再求合力矩。只能說(shuō)外力矩之和不能說(shuō)合外