福建省級普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試考試說明

第第頁P)SP)S

P)I(eS)(A)P)SP)S

P)I(eS)(M(MI(D)MUPIeiS【答案】C.【說明】本題以Venn圖為載體，考查集合的交、并、補運算等基本知識，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.解決此類問題，既可以用直接分析法，也可以用間接排除法解答.主要思路有：思路一：陰影部分為交集MIP的一部分，且位于S的外部，即在eiS中，所以它表示的集合為MIPIeS.思路二：取陰影部分中的任意一個點 a,則aM,aP,且aI,aS,即aeS,所以aMIPIeIS;反之，當aMIPIeIS時，a必在陰影部分中，故選C.本題常見錯誤：一是混淆交集與并集的符號， 選擇答案D;二是沒有看清楚題圖中陰影部分而誤選答案A.本題要求考生通過Venn圖直觀認識集合間的關(guān)系及基本運算， 側(cè)重考查基本技能，屬于理解層次，為容易題.【例3】函數(shù)y1xSin2x的部分圖象大致為x(A) (B) (C) (D)【答案】D.【說明】本題以函數(shù)圖象為載體，通過函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.對于函數(shù)圖象問題，一般考慮從定義域、特殊點的函數(shù)值、函數(shù)的單調(diào)性、 奇偶性等方面入手進行分析，對于本題，首先可以發(fā)現(xiàn)函數(shù) g(x)xsn2x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點xsinx sinx 對稱，而函數(shù)y1xsn2x的圖象可以由g(x)x”的圖象向上平移一個單位長度得x x到，其圖象關(guān)于點0,1對稱，且當x(0,1)時，y0,結(jié)合選項可知，應(yīng)選擇D.本題常見錯誤：一是不能發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)xsn2x是奇函數(shù)，因此也沒能發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象關(guān)于點 0,1x對稱，在用特殊值法時，計算失誤，而誤選 A或C；二是通過計算發(fā)現(xiàn)x1時，y1,但因不能正確判斷x 時函數(shù)的變化趨勢，而誤選B.本題要求考生理解函數(shù)的定義域、 值域、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等基本知識， 會用數(shù)形

結(jié)合思想分析解決問題，屬于理解層次，是中檔題.【例4】小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(A)(C)(A)(C)【說明】本題以函數(shù)的實際應(yīng)用問題為背景,考查函數(shù)圖象的變化情況等知識， 通過識【說明】本題以函數(shù)的實際應(yīng)用問題為背景,考查函數(shù)圖象的變化情況等知識， 通過識圖考查抽象概括能力、應(yīng)用意識，考查數(shù)形結(jié)合思想.由于本題中圖象描述的是距學(xué)校的距離與行駛時間的關(guān)系,中途停留，距離不變，這是解題的突破口，然后根據(jù)速度的變化確定正確選項.由出發(fā)時距學(xué)校最遠，首先排除A；中途堵塞停留，距離沒變，再排除 D;堵塞停留后騎得比原來快，所以排除B,圖考查抽象概括能力、應(yīng)用意識，考查數(shù)形結(jié)合思想.由于本題中圖象描述的是距學(xué)校的距離與行駛時間的關(guān)系,中途停留，距離不變，這是解題的突破口，然后根據(jù)速度的變化確定正確選項.由出發(fā)時距學(xué)校最遠，首先排除A；中途堵塞停留，距離沒變，再排除 D;堵塞停留后騎得比原來快，所以排除B,故選C.本題常見的錯誤是：一是誤將縱坐標當成離開家的距離而選擇答案 A;二是不知道直線斜率與速度的關(guān)系，無法從圖中識別出速度的變化，而誤選B;三是審題不夠認真，沒有發(fā)現(xiàn)小明在途中有停留而誤選D.本題涉及的是函數(shù)的具體應(yīng)用問題，要求考生從熟悉的背景中抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決，屬于理解層次,是容易題.【例5】已知n表布兩條不同直線,表不平面，下列說法正確的是決，屬于理解層次,是容易題.【例5】已知n表布兩條不同直線,表不平面，下列說法正確的是(A)若m//nII，則m//n(B)若m(C)若(C)若m(D)若m// ,m【說明】本題以直線與平面為載體,考查直線與直線的平行與垂直、直線與平面的平行與垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，利用直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理進行逐個判【說明】本題以直線與平面為載體,考查直線與直線的平行與垂直、直線與平面的平行與垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，利用直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理進行逐個判斷即可得到正確答案.本題經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤主要表現(xiàn)在空間想象能力弱， 抽象概括能力不強,對線面平行、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理理解不到位.本題要求考生掌握直線與平面平行、 直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理， 屬于理解層次，是容易題.【例6】在空間直角坐標系Oxyz中，點P1,2,3關(guān)于xOy平面的對稱點是(A) 1,2,3 (B) 1,2,3 (C)1,2,3 (D)1,2,3【答案】C.【說明】本題以對稱點的坐標的求解為載體， 主要考查空間直角坐標系等基礎(chǔ)知識， 考查考生空間想象能力和運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.解決問題時，只要熟悉空間直角坐標系， 由圖可得點P1,2,3關(guān)于xOy平面的對稱點是1,2,3.本題的主要錯誤是：不會在空間直角坐標系中，利用坐標刻畫點的位置.本題要求考生會用空間直角坐標系刻畫點的位置，屬了解層次，是容易題.【例7】如圖，某幾何體的三視圖是三個圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 四，則它的表面積是3A.17兀 B.18兀C.20兀 D.28兀【答案】A.【說明】本題以三視圖為載體，主要考查三視圖、球的體積和表面積等基礎(chǔ)知識， 考查考生空間想象能力和運算求解能力.解決問題時，由所給三視圖可知，所給幾何體是一個球截去1個球而得到的.設(shè)球的半8TOC\o"1-5"\h\z徑為R,由題設(shè)可得74代3=28」，即R2,從而所給幾何體的表面積83 37 9 3S=-4tR2-tR217兀.本題的主要錯誤表現(xiàn)在兩方面：一是無法想象出該幾何體的結(jié)8 4構(gòu)特征，不能正確把握該幾何體，導(dǎo)致不能進行深入的分析和計算； 二是在分析和計算該幾何體的體積和表面積時，由于公式不熟練或計算能力不足導(dǎo)致錯誤.屬于理解層次，是中檔題./jfiAx//輸出F屬于理解層次，是中檔題./jfiAx//輸出F/賦值【例8】閱讀如圖所示的程序框圖，若運行該程序后輸出的值為4,則輸入x的值為(A)2 (B)0(C)1 (D)4【答案】B.【說明】本題以程序框圖為載體，著重考查條件結(jié)構(gòu)、

2x2x2,x…0,x2,x0,要解決本題，考生需要讀懂框圖，理解其功能是：對于分段函數(shù)fx給定x值，^^出y值；進而利用逆向思維，令fx4,解得x0.考生易出現(xiàn)的錯誤，一是計算出錯，二是判斷條件結(jié)構(gòu)流向錯誤.本題要求了解算法的含義和思想，理解程序框圖的順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu). 屬于理解層次,是容易題.【例9】從甲、乙、丙三人中任選2人，分別擔任周一和周二的值日生，則甲被選中的概率為(A)- (B)1 (C)- (D)12 3 3【答案】C.【說明】本題以實際問題為載體，考查古典概型等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查統(tǒng)計與概率思想.考生要解決本題，需要選擇恰當?shù)谋硎痉椒ǎ_列出所有基本事件，找出滿足 甲被選中”的基本事件，并根據(jù)古典概型概率計算公式，得到所求概率為 常出現(xiàn)的錯誤是不3能正確表示基本事件或不能正確列出所有基本事件.本題要求考生理解基本的概率模型及其概率計算公式， 能正確表示基本事件，屬于理解層次，是容易題.【例10】若角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點p1,73,則costan的值為(A)12.32(B)1 (A)12.32(B)1 .32(C)(D)【答案】A.【說明】本題以三角函數(shù)求值為載體， 考查任意角的三角函數(shù)定義等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.解決問題時，考生應(yīng)理解任意角的三角函數(shù)定義， 根據(jù)已知條彳計算出cos,tan的值,本題易出現(xiàn)的錯誤一是求cos,tan的值時公式錯誤，二是計算錯誤，從而得出錯誤選項.本題要求考生理解任意角的三角函數(shù)的定義，屬于理解層次，是容易題.兀,0的單調(diào)遞增區(qū)間是【例11兀,0的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)(B)兀-6,0(A)(B)兀-6,0兀--,03【答案】C.【說明】本題以三角函數(shù)為載體， 考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、 三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)首先用輔助角公式將函數(shù)解析式化為 fx2sinx-,然后結(jié)3合定義域求出x- 士,-,最后由入Ux- -求得單調(diào)遞增區(qū)間.本題易出現(xiàn)3 3 3 2 3 3的錯誤一是用錯輔助角公式，二是計算錯誤，從而得出錯誤選項.本題要求考生掌握求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，屬理解層次，是中檔題.1一【例12］若sin— —,則cos—2TOC\o"1-5"\h\z3 4 3(A)7 (B)- (C)- (D)78 4 4 8【答案】A.【說明】本題以求三角函數(shù)值為載體，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)知道用已知三角函數(shù)值的角表示待求的三角函數(shù)值的角， 即利用誘導(dǎo)公式把已知條件 sin— —轉(zhuǎn)化為cos- -,把待求式子cos— 2轉(zhuǎn)化為3 4 6 4 32cos2 — 1,從而達到解決問題的目的.本題易出現(xiàn)的錯誤一是誘導(dǎo)公式運用錯誤,6二是二倍角公式記憶錯誤，三是計算錯誤，從而得出錯誤選項.本題要求考生掌握解決知值求值問題的方法，屬于理解層次，是中檔題.【例13】已知點【例13】已知點A0,1,B1,2,C1,D3,4,則向量AB在CD方向上的投影為(A)逑2V22一2c3.15(A)逑2V22一2c3.15 2【說明】本題以求向量的投影為載體,考查向量的坐標計算公式、 向量的夾角公式與投影計算公式以及共線向量判定等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.解決問題時，考生應(yīng)首先求出rnuiAB合思想.解決問題時，考生應(yīng)首先求出rnuiABlut1,1,CD5,5,然后代入投影的計算公式，得到uuriuruurABcostAB,CDuuuuni

ABCD-uuu

CD1052uuuuuruiv或者通過坐標判斷出AB,CDuuriuruurABcostAB,CDuuuuni

ABCD-uuu

CD1052uuuuuruiv或者通過坐標判斷出AB,CD同向，得到向量AB在uuuruuv ―一CD方向上的投影即為AB石.本題易出現(xiàn)的錯誤，一是向量的坐標計算錯誤，二是投影計算公式記憶錯誤，從而得出錯誤選項.本題要求考生掌握共線向量的判定方法與投影計算方法，屬于理解層次，是容易題.【例14］古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題： “今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是： “一女子善于織布，每天織的布都是前一天的 2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？” 根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30,該女子所需的天數(shù)至少為(A)7 (B)8 (C)9 (D)10【答案】B.【說明】本題以中國古代趣題為載體，考查等比數(shù)列的概念、 前n項和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想.考生在解決問題時應(yīng)注意到這個問題的本質(zhì)是等比數(shù)列的求和問題； “總尺數(shù)不少于30,所需至少的天數(shù)”應(yīng)轉(zhuǎn)化為求使得這個等比數(shù)列前 n項和Sn…30成立的最小的n值；TOC\o"1-5"\h\zx125 5因此，可以設(shè)第一天織布x尺，則8 5,得x—，所以前n天所織布的尺數(shù)12 31一5一 5 . n 為一2n1.由一2n1??30,得2…化？，則n的最小值為8.本題的王要錯誤，一是31 31未能讀懂題意，無法從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題；二是無法順利完成運算.本題要求學(xué)生要具備一定的閱讀能力，理解等比數(shù)列的概念、前n項和公式、不等式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，屬于理解層次，是中檔題.,2. 1(B) xx剌一,或x,2. 1(B) xx剌一,或x-3 2、.1 2(D)xx剌一，或x—2 3(A)x21k13 2(C)x1姒-2 3【答案】A.【說明】本題以不等式為載體，考查一元二次不等式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.解決問題時，考生應(yīng)明確一元二次不等式與一元二次函數(shù)、 一元二次方程的關(guān)系，進而1 求得一兀一次萬程的兩根x1 -,x2一，再結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，得到不等式的解集21 為x21k-.本題易出現(xiàn)的錯誤，一是沒有掌握一元二次不等式的解法，二是求根2出錯，從而得出錯誤選項.本題要求考生掌握一元二次不等式的解法，屬于理解層次，是容易題.【例16】已知奇函數(shù)f(x)是定義在［1,1］上的增函數(shù)，且f(x1)f(3x2)0,則x

的取值范圍是【答案】13.3’4【說明】本題以抽象函數(shù)、不等式為載體，考查復(fù)合函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元一次不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，首先利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義，把函數(shù)值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系，再根據(jù)定義域?qū)?x的限制，得到x的取值范圍.即先將所給的不等式f(x1)f(3x2)0進行變形，得到f(x1)f(3x2),再根據(jù)奇函數(shù)的定義得到f(x1)f(3x2);由函數(shù)f(x)是定義在［1,1］上的增函數(shù)，得到自變量之間的關(guān)系x13xx13x2,最后結(jié)合所給函數(shù)的定義域限制得到1Ux11制3x1,由此得到不等式組21,"x11,133,4本題常見的錯誤：一是1 3133,4本題常見的錯誤：一是1刑3x21,解得-，x—,從而得到x的取值范圍是3 4x13x2,無法正確運用函數(shù)的性質(zhì)，將所給的不等式f(x1)f(3x2)0轉(zhuǎn)化為f(x1)f(3x2),導(dǎo)致無從下手；二是沒有考慮定義域的限制，從而擴大了自變量 x的取值范圍.本題涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等相關(guān)性質(zhì)、 復(fù)合函數(shù)的定義域、一元一次不等式的解法等眾多知識，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于理解層次，是中檔題.【例17】過原點且傾斜角為60的直線被圓x2y24x0所截得的弦長為.【答案】2.【說明】本題以直線與圓為載體，考查直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.解決問題時，由直線過原點且傾斜角為 60可得直線方程為y屈x,再利用垂徑定理即可得出弦長為2；也可以注意到原點在圓 x2y24x0上，作出圖形，數(shù)形結(jié)合直接得出結(jié)論.本題經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤主要是： 不能根據(jù)直線特征寫出直線方程或作出圖形， 不會應(yīng)用垂徑定理求直線被圓所截得的弦長.本題涉及直線的方程，直線截圓所得的弦長等知識，涉及數(shù)形結(jié)合思想，屬于理解層次，是中檔題.【例18】為估計n的近似值，可以用隨機模擬方法近似計算.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間1,1上的均勻隨機數(shù)x,x2,L,xn和y1,y2,L,yN,由此得到N個點x/(i1,2,L,N).再數(shù)出其中滿足x2y2,1(i1,2,L,N)的點數(shù)N1,那么由隨機模擬方法可得冗的近似值為.4N【答案】4NN【說明】本題以估計冗的近似值為載體，考查隨機模擬、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查統(tǒng)計與概率思想.考生要解決本題，需要理解隨機模擬試驗的基本原理及操作方法,能讀懂題意，明確該模擬試驗的功能是往一邊長為 2的正方形內(nèi)隨機投N個點，其中落入該正方形內(nèi)切圓的點數(shù)有Ni,最后根據(jù)概率是頻率的估計值這一本質(zhì)，列出等式:NN號，得到答案n4N1*.常出現(xiàn)的錯誤有：一是不能讀懂題意，無法正確構(gòu)建正確圖形，將問題轉(zhuǎn)化為幾N何概型，并利用概率計算公式求解；二是弄錯正方形與圓的相關(guān)數(shù)量關(guān)系，出現(xiàn)計算錯誤.本題要求考生理解隨機模擬試驗的基本原理及操作方法,理解頻率與概率之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握幾何概型概率計算公式，屬于理解層次，是中檔題.1 2【例19】已知0x—,且sinxcosx一，貝U4sinxcosxcosx的值為2 5【答案】3925【說明】本題以三角求值為載體，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)知道解決問題的關(guān)鍵是求得sinx,cosx的值，因此必須用到2cosx1.一方面可直接聯(lián)立方程組結(jié)合定義域進行求解，另一方面亦可通過整體思想，把sinx1 1cosx一兩邊平方可得12sinxcosx一,5 25求出2sinxcosx24,26再由定義域得至Usinxcosx.sin2xcos2x2sinxcosx75'12425聯(lián)立方程組求得聯(lián)立方程組求得sinx-,cosx5,最后代入目標式進行求解. 易出現(xiàn)的錯誤一是沒有注意55 5定義域，二是計算錯誤,從而得出錯誤答案.本題要求考生掌握對sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx三者知一求二問題的求解方法,屬于理解層次，是中檔題.tan10tan50tan60[例20] tan10tan50【說明】本題以三角化簡求值為載體， 考查兩角和的正切公式等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)觀察出10 解決問題時，考生應(yīng)觀察出10 50 60,從而把tan10tan50tan60化為tan601tan10tan50 tan60o tan60an10tan50,從而解決問題.當然，我們也可根據(jù)教材中習題的結(jié)論：當ABC時，tanAtanBtanCtanAtanBtanC,把tan10tan50tan60化為tan10tan50tan120tan10tan50tan120來快速解決問題.本題易出現(xiàn)的錯誤，一是不懂建立非特殊角與特殊角的聯(lián)系， 二是結(jié)果弄錯符號，從而得出錯誤答案.本題要求考生掌握三角化簡求值問題處理的常見方法，屬于理解層次，是中檔題.【例21】已知向量a=1,1,b=1,1,c= 1,2.若cmanb,則m,n.【答案】1,2 2【說明】本題以向量的線性表示為載體， 考查平面向量的基本定理， 平面向量的線性運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.解決問題時，考生應(yīng)根據(jù)平面向量的基本定理，利用向量的坐標線性運算得到方程組1,m-,1,求得mn2,求得mn2,n,2的條件.本題要求考生借助待定系數(shù)法，將平面內(nèi)的向量用平面的一組基底表示， 屬于理解層次，是容易題.【例22】鈍角△ABC的面積是1,AB1,BCJ2,則AC=2【答案】布.【說明】本題以解三角形為載體，考查三角形面積公式、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)注意到已知三角形的兩條邊長，要求 AC長，只需再求一個角.顯然由面積的值可以求已知兩邊的夾角B,即由S1ABBCsinB-可求得，2 2sinB—1——,所以B」或8出.當B」時，由余弦定理可得，ABBC2 4 4 4ACVAB2BC22ABBCcosB1,此時ACAB1,BC石，易得A上,這與“鈍2角三角形”條件矛盾，舍去.當B32t時，由余弦定理得，4符合題意.本題常見的錯誤是，一是不能根據(jù)要求，對條件、結(jié)論中邊角關(guān)系進行合理互化，導(dǎo)致解題沒有思路；二是不能對所求得的角 B進行分類討論，驗證其合理性，產(chǎn)生增解.

本題要求考生理解三角形面積公式、余弦定理，能夠利用它們解三角形 ，并要求驗證所求結(jié)果與題設(shè)條件的符合情況，屬于理解層次，是中檔題.A處時測得公路北側(cè)一山頂【例23A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北 75°的方向上，仰角為30°,則此山的高度CD=m.【答案】100m.【說明】本題以測量山的高度為載體，考查正弦定理、空間方位角及解三角形相關(guān)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行抽象概括的應(yīng)用意識和抽象概括能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)將文字信息與圖形對應(yīng)起來，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的解三角形問題，要求CD的長度，需要依托一個三角形，顯然，在 RtABCD中，DBC30,故只需再求得一條邊即可.在△ABC中，AB600,BAC30,ABC180 75 105，從而600BC _一一ACB45,由正弦定理可求得 BC長，即由 可得，BC300^2.從而，sin45sin30在RtBCD中，可求得，CDBCtan3030072—10076(m)本題的主要錯誤，一3是對空間方位角陌生，無法將文字信息與圖形準確對應(yīng)，導(dǎo)致題意理解不清；二是未能找到不同三角形之間公共要素， 建立聯(lián)系的橋梁，導(dǎo)致解題沒有思路.本題要求學(xué)生具備一定的閱讀理解能力、抽象概括能力，會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；并會在多個三角形之間尋找溝通的渠道；屬于理解層次，是稍難題.1【例24】數(shù)列an滿足an1 ,a82,則a .1an22【說明】本題以遞推數(shù)列為載體，考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的項，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)注意到，無法直接由遞推關(guān)系得出通項公式；那么猜想應(yīng)該有一定的TOC\o"1-5"\h\z1規(guī)律性可以定出首項的值，猜測有周期性.將 a8 2代入遞推公式，求得 a7」；再將a7 -2代入，求得a6 1；再將a6 1代入，求得a5 2；由此可以推出數(shù)列 an是一個周期為 31的數(shù)列從而可得a1a7-.本題主要的錯誤是，缺乏解題經(jīng)驗，不敢嘗試計算數(shù)列的若干2項，從中尋找規(guī)律，從而無從下手.本題需要對數(shù)列的遞推表示法有所了解，屬于了解層次，是容易題.2xy1-0,【例25】設(shè)x,y滿足約束條件x2y1,0，則z2x3y的最小值為.x,1,【答案】 5.

【說明】本題以最優(yōu)解問題為載體，考查線性規(guī)劃相關(guān)問題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)將代數(shù)問題幾何化，畫出條件不等式組所對應(yīng)的可行域，如圖所示，并尋求目標函數(shù)的幾何意義，2 發(fā)現(xiàn)其與斜率為 —的直線在y軸上的截距有關(guān).通過平移發(fā)3z現(xiàn)，當直線y±x*過點A時，z有最小值，由方程組32xy10一2(1)3(1)5.本題的常見錯誤是，考2xy'O,解得A(1,1),從而求得zmin2(1)3(1)5.本題的常見錯誤是，考生無法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題解決.本題要求學(xué)生理解二元一次不等式（組）及線性目標函數(shù)的幾何意義，能將代數(shù)問題幾何化.屬于理解層次，是容易題.【例26】某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為 800元.若每批生產(chǎn)x件，則x平均倉儲時間為x天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用8與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品件.【答案】80.【說明】本題以生產(chǎn)安排為載體，主要考查函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行抽象概括的應(yīng)用意識和抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解決問題時，考生應(yīng)通過閱讀理解把握題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，懂得倉儲費用2,x x為xx1工，得到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為8 82x—80082x—8008800 2.800x8xx20,當且僅當一8800,即x80時，上式取等號，從x而求得實際問題的解.本題的主要錯誤是，考生無法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.本題要求學(xué)生具備一定的閱讀理解能力和抽象概括能力，會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，即把生產(chǎn)或生活中遇到的實際問題，抽象為一個數(shù)學(xué)問題來解決.屬于理解層次，是稍難題.1【例27】設(shè)函數(shù)fxx-a(aR).x(I)若f(1)0,求a的值；（出）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,（n）當a取何值時，函數(shù)（出）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,）的圖象上不存在兩點A,B,使直線AB平行于x軸.1【解】（I）1【解】（I）由已知fxx-a(aR),f(1)11a0,得a2.(n)函數(shù)f(x)的定義域為(，0)U(0,).- 1 1方法一：f(x)f(x)x-a(x) a2a，x (x)當2a0,即a0時，f(x)f(x)0,故當a0時，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).1萬法一：若函數(shù)f(x)x-a為奇函數(shù),x則f(1)f(1)0,即2a(2)a0,則f(1)1 ,(x-)=f(x).1 ,(x-)=f(x).x檢驗：當a0時，f(x)x一，此時有f(x)(x) x (x)所以當a0時，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(出)方法一：任取x1,x2(1,),依題意得X"因為x1,x2(1, ),xx2,故(x-x1)(x1x2--0,即f區(qū))f(x1).x2x1所以直線AB的斜率kABf(x2)f(x1)0,因此直線AB不平彳T于x軸.x2x1方法二：假設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間1, 的圖象上存在不同兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),使直線AB平行于x軸.則x1x2,x1x21,f(x1)f(x2)0,即存在實數(shù)m0,使關(guān)于x的1 2萬程x-am在1, 內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根 x1,x2,也即萬程x(ma)x10在x1, 內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根X,x2.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21,這與xx21矛盾.故函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間1, 不存在兩點A,B,使直線AB平行于x軸.【說明】本題以含有參數(shù)的函數(shù)為載體， 主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.對于第(I)問，直接代入求解即可；對于第(n)問，判斷函數(shù)的奇偶性，可以先求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，然后用奇函數(shù)的定義 f(x)f(x),即f(x)f(x)0求出a的值；也可以用特殊點代入求出 a的值，然后將結(jié)果代入函數(shù)解析式利用奇函數(shù)的定義加以檢驗.對于第(出)問，首先應(yīng)根據(jù)題意，利用圖形幫助尋找解題途徑：把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題，再根據(jù) 若函數(shù)在區(qū)間1, 上單調(diào)，則在區(qū)間1, 上該函數(shù)的圖象上不存在兩點 A,B,使得直線AB與x軸平行”來得到結(jié)論.本題常見的錯誤是：在解決第(n)問時沒有先求函數(shù)的定義域而直接判斷函數(shù)的奇偶性，或利用

奇函數(shù)性質(zhì)，用特殊點求出a值后沒有進行檢驗；對于第（出）問，很多學(xué)生可能因為無法正確理解題意而找不到解決問題的辦法.本題涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等有關(guān)性質(zhì)，涉及函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的推理論證能力、運算求解能力，屬于掌握層次，是稍難題.【例28】某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出,每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛. 租出的車每輛車需要維護費 150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元，未租出的車每輛每月需要維護費50元，問當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解】設(shè)每輛車的月租金為 x元，則未租出的車有x3000輛,租出的車有100x3000輛.又設(shè)租賃公50 50司的月收益為的月收益最大？最大月收益是多少？【解】設(shè)每輛車的月租金為 x元，則未租出的車有x3000輛,租出的車有100x3000輛.又設(shè)租賃公50 50司的月收益為y元，依題意可得：所以，當x4050時，y取最大值307050.即當每輛車的月租金為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元.【說明】本題以某汽車租賃公司的汽車租賃收益為載體設(shè)計應(yīng)用性問題，考查數(shù)學(xué)建模、代數(shù)式恒等變形、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想.解決問題時，首先必須通過對題文的閱讀理解， 正確把握問題的含義，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)問題的解答解決相應(yīng)的實際問題. 即根據(jù)題意建立租賃公司的月收益y（元）關(guān)于每輛車的月租金X（元）的二次函數(shù)模型.從而把實際問題轉(zhuǎn)化為求該二次函數(shù)在X--3000的最大值的數(shù)學(xué)問題，進而對得到的函數(shù)解析式進行1 2化簡，得到y(tǒng)—x4050 307050,最后根據(jù)二次函數(shù)取得最值的條件，求得函數(shù)的50最值.解決本題的主要障礙是數(shù)學(xué)建模及運算問題， 常見的錯誤是無法正確建模， 或者計算出錯.本題綜合考查二次函數(shù)、 數(shù)學(xué)建模等知識，涉及代數(shù)式的恒等變形，計算量也較大，屬于掌握層次，是稍難題.【例29］如圖，正方體ABCDABGD的棱長為2,E,F,G分別是BG,AD1,QE的中與八、、?（I）求證：FG//平面AAE;（II）求直線FG與平面ABQ1D1所成的角的正切值.【解】（I）證明：因為F為AD1的中點，且G為DR的中點，所以FG為^AER的中位線，所以FG//AE.2,55又因為FG平面AAE,AE平面AAE,2,55所以FG//平面AAE.（n）取AD的中點H,連接FH,HG.因為FH為△ARA的中位線，所以FH//AA.又因為aa平面AB1C1D1,所以FH平面ABCiD所以FGH為直線FG與平面ABiCiDi所成的角.在直角^ABiE中，AEJAB：BiE2而.因為GH為△AED1的中位線，所以GH=AE—.2 2tanFGH又因為FH=處1,所以在直角4FGH中,tanFGH2故直線FG與平面ABCiD所成的角的正切值為期.5【說明】本題以正方體為載體，考查空間直線與平面的位置關(guān)系以及空間直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對于第（I）問，由三角形中位線定理得到線線平行，直接利用直線與平面平行的判定定理即可證明；對于第（n）問，只需利用直線與平面所成的角的定義作出直線 FG與平面ABiCiDi所成的角，再計算其正切值即可.本題經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤主要是：第（n）問無法作出直線FG與平面ABiCiDi所成的角.涉及化歸與轉(zhuǎn)化思本題涉及直線與平面平行的判定定理， 直線與平面所成的角等知識,涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的推理論證能力、運算求解能力，屬于理解層次，是中檔題.【例30］如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD是菱形，bad60,PAPD,。為AD邊的中點，點M在線段PC上.（I）證明：平面POB平面PAD;（n）若AB2點PA/,pb炳，pa//平面mob,求四棱車BMbodc的體積.【解】（I）連接BD,因為底面ABCD是菱形,BAD60,所以4ABD是正三角形，所以ADBO.因為。為AD的中點，PAPD,所以ADPO,且POIBOO,所以AD平面POB,又AD平面PAD,所以平面POB平面PAD.

(n)連接AC,交OB于點N,連接MN,因為PA//平面MOB,PA平面PAC,平面PACI平面MOBMN,所以PA//MN,TOC\o"1-5"\h\z因為AO//BC,所以ANAO1,所以AN1AC,故PM1PC,CNCB2 3 3因為AB2串,PAPD/，所以O(shè)B3,OP2,2 2 2又PB炳，所以O(shè)BOPPB,所以POB90,即OPOB,又ADPO,且OBIADO,所以O(shè)P平面BODC.「1^2 2 4由PM-PC知CM-CP,故點M到平面BODC的距離為一PO-,3 3 3 39.32，29.32，20.口為SBODC—SABCD—2 (23)sin604 2所以四棱錐MBODC的體積為1述f3 2 3【說明】本題以四棱錐為載體， 考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力和運算求解能力， 考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對于第(I)問，可以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理找到證題方向，即證明 AD平面POB,再利用菱形及等腰三角形的性質(zhì)得到 ADBO和ADPO,進而得到AD平面POB,從而平面POB平面PAD；對于第(n)問，先利用PA//平面MOB,得至ijPA//MN,再根據(jù)線段的長度得到垂直關(guān)系， 可以證明OP平面BODC,進而求出點M到平面BODC的距離為-PO 4 ,得到四棱錐MBODC的體積為1型9 273 .本題經(jīng)3 3 3 2 3常出現(xiàn)的錯誤主要是：第(I)問無法將證明平面 POB平面PAD轉(zhuǎn)化為證明AD平面POB；第(n)問無法利用線面平行的性質(zhì)定理得到 PA//MN,導(dǎo)致求不出點M到平面BODC的距離，從而無法求出四棱錐 MBODC的體積.本題涉及直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的性質(zhì)定理及空間幾何體的體積等知識，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的空間想象能力、 推理論證能力和運算求解能力，屬于理解層次，是稍難題.【例31】在平面直角坐標系xOy中，圓C:x2y28y0,過點P2,2的動直線l與圓C交于A,B兩點，線段AB的中點為M.(I)求M的軌跡方程；(II)當|OP||OM|時，求l的方程及APOM的面積.__ 一 . 2 .2 — ?,一. ，一.【解】(I)圓C的方程可化為xy4 16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.uuuu uur uujjruur設(shè)M(x,y),則CM(x,y4),MP(2x,2y),由平面幾何知識可知CMMP0,

TOC\o"1-5"\h\z2 2故x2xy42y 0,即x1y3 2.2 2由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是X1y3 2（n）由（I）可知M的軌跡是以點N（1,3）為圓心，J2為半徑的圓.1 8-x一3 3由于OP|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓1 8-x一3 3因為ON的斜率為3,所以l的斜率為1,直線l的方程為：y33所以點O到l3所以點O到l的距離為d410 55又|OM||OP|27，所以|PM|2j]OP2d21602.8254105所以APOM的面積為竺.5【說明】本題以直線與圓為載體，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考【說明】本題以直線與圓為載體，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.對于第（I）查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.對于第（I）問，只要根據(jù)CMMP,并轉(zhuǎn)化為uuruurCMMP0,代入點的坐標并化簡后便可得m的軌跡方程；對于第（n）問，先根據(jù)0P便可得m的軌跡方程；對于第（n）問，先根據(jù)0POM得到O在線段PM的垂直平分線上，結(jié)合P在圓N上，ONPM可求得直線l的方程為：y1 8-x-,進而求出POM的3 3問，無法找到點M滿足的幾何條件，不面積為16.本題經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤主要是：第問，無法找到點M滿足的幾何條件，不5能將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系或計算能力不足導(dǎo)致化簡錯誤； 第（n）問，不能將|OP||OM|轉(zhuǎn)化為O在線段PM的垂直平分線上，不能卞^據(jù)P在圓N上得到ONPM，求不出直線l的方程，從而無法求出APOM的面積.本題涉及弦中點的軌跡、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識，涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，要求有一定的運算求解能力，屬于理解層次，是稍難題.【例32】某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過 w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費.從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（I）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使 80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？（n）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替.當w3時，估計該市居民該月的人均水費.【解】（I）由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過 3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(n)由用水量的頻率分布直方圖及題意， 得居民該月用水量費用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:組號12345678分組2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費估計為：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5（元）.【說明】本題以階梯水費收費為載體設(shè)計實際應(yīng)用性問題， 考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、識圖能力、運算求解能力，考查應(yīng)用意識.解決問題時，考生要懂得頻率分布直方圖中每個小矩形的面積代表頻率， 從而根據(jù)頻率分布直方圖求得用水量不超過 2立方米時，頻率是0.45,用水量不超過3立方米時，頻率是0.85,從而確定合理的分界線.最后依據(jù)用樣本估計總體的思想，通過計算樣本的人均水費用以估計全市的人均水費. 本題的解決對識圖能力要求較高， 所以考生常出現(xiàn)的錯誤是無法讀懂題意，或計算出錯.本題綜合考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識， 涉及頻率分布直方圖、以頻率分布直方圖估計均值、用樣本估計總體，屬于理解層次，是中檔題.【例33］下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(I)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(n)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y關(guān)于X的線性回歸方程y$x$;(m)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(n)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？TOC\o"1-5"\h\zn __Xiyi nxy _ _參考公式：田 ,$y$x.n2 -2xinxi1【解】(I)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作出散點圖(II)由已知可得，x4.533.5,66.544.53.566.563由系數(shù)公式可知， $ 2- 0.7,$3.50.74.50.35,8644.5 5所以線性回歸方程為 y0.7x0.35.（出）由（n）知，當x100時，y0.71000.3570.35,9070.3519.65,所以預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低 19.65噸標準煤.【說明】本題以某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造為載體， 考查線性回歸知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計與概率思想.考生要解決該題，需要具備一定的數(shù)據(jù)處理能力， 能根據(jù)題意正確作出散點圖， 并能由圖象直觀判斷兩變量符合線性相關(guān)關(guān)系， 進而利用公式求得線性回歸方程， 最后由方程作出預(yù)測.本題主要錯誤有：一是審題不過關(guān)，無法正確作出圖象；二是計算出錯或不能根據(jù)求得的直線方程做出預(yù)測.本題要求考生了解兩變量間的線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)概念及其回歸分析，屬于了解層次，是容易題.【例34】在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c,且2cosBC14sinBsinC.（I）求A;（n）若a2日,△ABC的面積24，求bc.【解】（I）由2cosBC14sinBsinC得，2cosBcosCsinBsinC4sinBsinC1,即2cosBcosCsinBsinC1,1即2cosBC1,所以cosBC-.2因為0BC%,所以BC-,3又因為ABC%,所以A紅.3（n）由（I）得A紅.由S2加得,1bcsin立273,bc8.①3 2 3由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA,得 2。7 b將①代入②得， bc828,所以bc6.將①代入②得， bc828,所以bc6.【說明】本題以解三角形為載體，綜合考查三角恒等變換、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等相關(guān)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.解決問題時，對于第（I）問，要求角A,應(yīng)該從已知B,C兩角的恒等式2cosBC14sinBsinC入手，注意到該恒等式左邊有兩角差的余弦值，應(yīng)該用三角恒等變換將它化為B,C的三角函數(shù)值運算，通過左右兩邊式子的對比，容易想到移項重組，32 2 2 一即bcbc28.所以bcbc28.②

得到B,C兩角和的余弦，從而求出角 BC,當然其補角A也就可以求出了；解決第（n）問時，要求bc的值，可以采用整體求解思想，這往往與 b2c2,bc的值有關(guān).已知面積的值與第（I）所求角A的值可容易算出bc的值，因此關(guān)于角A的余弦定理式子a2b2c22bccosA中，應(yīng)將b2c2轉(zhuǎn)化為bc2bc,從而式子變成關(guān)于bc的方程，容易求解.本題常見的錯誤是，第（I）問中，兩角差的余弦公式記錯，求不出角 A的值；第（n）問中，沒有整體求解意識，試圖分別求 b,c的值，造成計算量過大，求解錯誤.本題要求考生理解三角恒等變換公式、 正余弦定理、三角形面積公式，能夠利用它們建構(gòu)條件與結(jié)論之間的橋梁，要有整體求解意識，屬于理解層次，是稍難題.【例35】△ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC,4ABD面積是【例35】2