線性平穩(wěn)時間序列分析

第三章

線性平穩(wěn)時間序列分析線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!本章結(jié)構(gòu)線性過程自回歸過程AR(p)移動平均過程MA(q)自回歸移動平均過程ARMA(p，q)自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!線性平穩(wěn)時間序列分析在時間序列的統(tǒng)計(jì)分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機(jī)序列。在這方面已經(jīng)有了比較成熟的理論知識，最常用的是ARMA(AutoregressiveMovingAverage)模型。用ARMA模型去近似地描述動態(tài)數(shù)據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中有許多優(yōu)點(diǎn)，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在性質(zhì)，也便于在最小方差意義下進(jìn)行最佳預(yù)測和控制。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!線性過程方法性工具

這些工具會使得時間序列模型表達(dá)和分析更為簡潔和方便。延遲算子線性差分方程線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!線性差分方程

線性差分方程齊次線性差分方程線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!非齊次線性差分方程的解

非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解非齊次線性差分方程的通解zt齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!一階差分方程P33動態(tài)乘子(動態(tài)乘子為輸入ω對輸出yt的影響)當(dāng)0<φ<1，動態(tài)乘子按幾何方式衰減到零；當(dāng)-1<φ<0，動態(tài)乘子振蕩衰減到零；當(dāng)φ>1，動態(tài)乘子指數(shù)增加；當(dāng)φ<-1，動態(tài)乘子發(fā)散性振蕩；當(dāng)︱φ︱<1，動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定，即給定的ω的影響將逐漸消失；當(dāng)︱φ︱>1，動態(tài)系統(tǒng)發(fā)散；當(dāng)︱φ︱=1，輸入變量ω將對系統(tǒng)產(chǎn)生持久性影響。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!線性過程的因果性在應(yīng)用時間序列分析去解決實(shí)際問題時，所使用的線性過程是因果性的，即：用延遲算子表示：

條件：線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!ARMA模型AR模型(AutoRegressionModel)MA模型(MovingAverageModel)ARMA模型(AutoRegressionMovingAverageModel)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!

AR(1)模型的背景如果時間序列是獨(dú)立的，沒有任何依賴關(guān)系，這樣的資料所揭示的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立的隨機(jī)變動，系統(tǒng)無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存性，那么最簡單的關(guān)系就是后一時刻的行為主要與其前一時刻的行為有關(guān)，而與其前一時刻以前的行為無直接關(guān)系，即已知Xt-1，Xt主要與Xt-1相關(guān)。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動態(tài)性。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

AR(1)的中心化變換一般情形：此時中心化：令Yt=Xt-

，Yt即為Xt的中心化序列，此時有線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!AR(1)模型的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)條件：對應(yīng)齊次差分方程的特征根在單位圓內(nèi)特征方程：特征根:AR(1)模型平穩(wěn)平穩(wěn)域線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!AR(2)模型：二階自回歸模型對于自回歸模型來說，當(dāng)Xt不僅與前期Xt-1有關(guān)，而且與Xt-2相關(guān)時，AR(1)模型就不再適用了。這時就需要用AR(2)模型。中心化的AR(2)模型：非中心化的AR(2)模型：其中εt為隨機(jī)擾動，一般為零均值的白噪聲序列。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!AR(2)模型的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)域AR(2)平穩(wěn)性判別：特征根平穩(wěn)域線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!AR(p)

模型：一般自回歸模型中心化的AR(p)模型：非中心化的AR(p)模型：說明當(dāng)前期的隨機(jī)擾動與過去的序列值無關(guān)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!MA模型：MovingAverageModelAR模型：是系統(tǒng)在t時刻的響應(yīng)Xt僅與其以前時刻的響應(yīng)Xt-j有關(guān)，而與其以前時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動εt-j無關(guān)。MA模型：如果一個系統(tǒng)在t時刻的響應(yīng)Xt，與其以前時刻的響應(yīng)Xt-j無關(guān)，而與其以前時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動εt-j存在著一定的相關(guān)關(guān)系，這時需要建立的是MA模型。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!非中心化的MA(q)模型：引進(jìn)延遲算子，MA(q)模型又可以簡記為：

q階移動平均系數(shù)多項(xiàng)式：

MA(q)模型：q階移動平均模型線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!MA(q)模型的可逆性可逆MA模型定義若一個MA模型能夠表示成無窮階的自回歸模型，則稱該MA模型稱為可逆的。例：線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!ARMA模型的背景一個系統(tǒng)，如果它在t時刻的響應(yīng)Xt不僅與其以前時刻的響應(yīng)有關(guān)，而且還與其以前時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動存在著一定的相關(guān)關(guān)系，那么這個系統(tǒng)就是自回歸移動平均系統(tǒng)，相應(yīng)的模型記作ARMA模型。在此模型下，一個影響系統(tǒng)的擾動εt被“牢記”一定時期，從而影響系統(tǒng)的后繼行為。正是系統(tǒng)的這種動態(tài)性，引起了時間序列中的依存關(guān)系，從而決定了序列中的依存關(guān)系不能用普通靜態(tài)回歸模型來描述，而只能用ARMA模型。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!ARMA(p,q)模型的系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，ARMA(p,q)模型又可以簡記為：p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式：q階移動平均系數(shù)多項(xiàng)式：線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!ARMA平穩(wěn)域與可逆域的定義平穩(wěn)域{φi：Φ(B)=0的根都在單位圓外}可逆域{θj：Θ(B)=0的根都在單位圓外}平穩(wěn)可逆域{φi,θj：Φ(B)=0和Θ(B)=0的根都在單位圓外}線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!舉例問下列幾個ARMA(1,1)模型是否平穩(wěn)和可逆？答：(1）平穩(wěn)可逆，（2）平穩(wěn)不可逆，（3）可逆不平穩(wěn)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!Green函數(shù)Gj是j個單位時間以前加入系統(tǒng)的沖擊或擾動εt對現(xiàn)在影響的權(quán)重Green函數(shù)表示了系統(tǒng)對沖擊εt-j有多大的記憶，也即如果有單個εt加入系統(tǒng)，Green函數(shù)決定了系統(tǒng)將用多久時間能夠恢復(fù)到它的平衡位置。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!舉例ARMA(1,1)模型：Xt=0.6Xt-1+εt-0.3εt-1，寫出模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式。解：(1)傳遞形式線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值：方差：借助于傳遞形式

線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!三種模型之間的轉(zhuǎn)換當(dāng)三種模型：AR、MA和ARMA都具有平穩(wěn)可逆性時，它們之間可以有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：AR(p)→MA(∞)MA(q)→MA(∞)ARMA(p,q)→AR(∞)或MA(∞)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)ACF在模型兩邊同乘Xt-k(k≠0)，再求期望，可得自協(xié)方差系數(shù)：自相關(guān)系數(shù)的Yule-Walker方程：設(shè)p階差分方程特征根為，則自相關(guān)系數(shù)滿足AR(p)的自相關(guān)系數(shù)ACF-------拖尾線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!自相關(guān)系數(shù)按負(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!MA(q)模型的自協(xié)方差系數(shù)自協(xié)方差系數(shù)只與滯后階數(shù)k相關(guān)，且q階截尾。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)ACF拖尾線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!偏自相關(guān)系數(shù)的定義對于零均值平穩(wěn)序列{Xt}，考慮用Xt-k,Xt-k+1,

…,Xt-1對Xt的線性最小方差估計(jì)，即選擇系數(shù)，使得下式最小：

φkj為使得殘差方差達(dá)到極小的k階自回歸模型的第j項(xiàng)系數(shù)。其中最后一個系數(shù)φkk稱為Xt的偏自相關(guān)系數(shù)。φkk是使在模型中已經(jīng)包含了Xt-1,Xt-2,…,Xt-k+1之后，再增加一期滯后Xt-k所增加的模型的解釋能力，它是一種條件相關(guān)，是對Xt與Xt-k之間未被Xt-1,Xt-2,…,Xt-k+1所解釋的相關(guān)的度量。k階自回歸模型中的第k個系數(shù)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于k階自回歸模型第k個回歸系數(shù)的值

Yule-Walker方程線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例:考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!ARMA的ACF和PACF的拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!延遲算子定義：設(shè)B為一步延遲算子，如果當(dāng)前序列乘以一個延遲算子，就表示把當(dāng)前序列值的時間向過去撥一個時刻，即BXt=Xt-1。性質(zhì)：線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實(shí)數(shù)根場合有相等實(shí)根場合復(fù)根場合線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!一階差分方程P33用遞歸替代法解差分方程：假設(shè)已知y-1和ω的各期值動態(tài)乘子動態(tài)乘子為輸入ω對輸出yt的影響，依賴于j，即輸入ωt和輸出yt+j觀察值之間的時間間隔。當(dāng)參數(shù)φ取不同的值，系統(tǒng)最后的狀態(tài)也不同。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!線性過程定義：{Xt}稱為線性過程，若，其中{εt}是白噪聲序列，系數(shù)序列{Gj}滿足。系統(tǒng)是因果性的：若系數(shù)序列Gj滿足Gj=0,j<0，即定理3.1：線性過程肯定是平穩(wěn)過程，且是均方收斂的。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!線性過程的逆轉(zhuǎn)形式用t時刻及其以前時刻的Xt-j(j=0,1,…)來表示白噪聲εt，即：為Xt的逆轉(zhuǎn)形式其中稱為逆函數(shù)。例：Xt=εt

-0.1εt-1是因果的，可逆的

線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!AR(p)模型：p階自回歸模型線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!AR(1)模型：一階自回歸模型描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型，簡記為AR(1)，即其中Xt為零均值(即中心化處理后的)平穩(wěn)序列。φ1為Xt對Xt-1的依賴程度,εt為隨機(jī)擾動，一般為零均值的白噪聲序列。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!AR模型平穩(wěn)性的判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的。

判別方法特征根判別法線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!考察下列模型的平穩(wěn)性：序列的期望和方差如何求？線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!AR(2)模型的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)條件：對應(yīng)齊次差分方程的特征根在單位圓內(nèi)特征方程：特征根:AR(2)模型平穩(wěn)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!考察下列模型的平穩(wěn)性：序列的期望和方差如何求？線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!AR(p)

的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化的AR(p)模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項(xiàng)式對應(yīng)齊次差分方程的特征多項(xiàng)式其根互為倒數(shù)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!MA(q)模型：q階移動平均模型線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!

MA(1)模型：一階移動平均模型如果一個系統(tǒng)在t時刻的響應(yīng)Xt僅與其前一時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動εt-1存在著一定的相關(guān)關(guān)系，描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階移動平均模型，記作MA(1)，即

為常數(shù)，是序列均值；

εt為零均值的白噪聲序列；

θ為移動平均系數(shù)。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!MA(q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值：模型兩邊求期望可得常數(shù)方差：【注】MA(q)模型一定為平穩(wěn)模型。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!ARMA模型自回歸移動平均模型Autoregressive-MovingAverageModel線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!ARMA(p,q)模型非中心化的ARMA(p,q)模型：

其中φi為自回歸系數(shù)，θi為移動平均系數(shù)。中心化的ARMA(p,q)模型線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!AR、MA和ARMA之間的關(guān)系

ARMA(p,q)模型：當(dāng)p=0時，ARMA(p,q)模型就退化為MA(q)模型；當(dāng)q=0時，ARMA(p,q)模型就退化為AR(p)模型；AR(p)模型和MA(q)模型實(shí)際上是ARMA(p,q)模型的特例，它們統(tǒng)稱為ARMA(p,q)模型；ARMA(p,q)模型的性質(zhì)也正是AR(p)模型和MA(q)模型性質(zhì)的有機(jī)組合。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!平穩(wěn)與可逆性的說明ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件Φ(B)=0的根都在單位圓外，完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定如果系統(tǒng)具有平穩(wěn)性，說明系統(tǒng)對某一時刻進(jìn)入的擾動的記憶逐漸衰減，時間越遠(yuǎn)，它的影響作用越小，逐漸被完全忘掉。ARMA(p,q)模型的可逆條件Θ(B)=0的根都在單位圓外，完全由其移動平均部分的可逆性決定可逆性表示某一時刻的系統(tǒng)響應(yīng)對后繼時刻的響應(yīng)的影響呈遞減狀態(tài)，離該時刻時間越遠(yuǎn)，影響作用越小。對于ARMA(p,q)模型來說，只有平穩(wěn)且可逆才是有意義的。線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!ARMA模型可以變形為：定義：當(dāng){Xt}表示為即稱為ARMA(p,q)模型的傳遞形式，或{Xt}的World分解，稱{Gj}為Green函數(shù)或World系數(shù)。ARMA(p,q)模型的傳遞形式線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!ARMA模型可以變形為：定義：當(dāng){Xt}表示為即稱為ARMA(p,q)模型的逆轉(zhuǎn)形式，稱{Ij}為模型的逆函數(shù)。ARMA(p,q)模型的逆轉(zhuǎn)形式線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!(2)逆轉(zhuǎn)形式線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!自協(xié)方差：借助于傳遞形式自相關(guān)系數(shù)：ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)ACF偏自相關(guān)系數(shù)PACF線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!例：考察如下AR模型的自相關(guān)圖----可以驗(yàn)證，這四個模型都是平穩(wěn)的線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出正負(fù)相間的衰減線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)ACFMA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)(ACF)--------q步截尾線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾線性平穩(wěn)時間序列分析共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)延遲k相關(guān)系數(shù)：衡量的并不是Xt與Xt-k之間單純的相關(guān)關(guān)系，它