線性代數(shù)課件-極大無關(guān)組向量組的秩

1極大無關(guān)組，向量組的秩2定理3.5

如果向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關(guān),則整個(gè)向量組線性相關(guān).3證:

設(shè)向量組a1,a2,,as中有r個(gè)(rs)向量的部分組線性相關(guān),不妨設(shè)a1,a2,,ar線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,,kr使

k1a1+k2a2++krar=o

成立.因而存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,,kr,0,0,,0使

k1a1+k2a2++krar+0ar+1+0as=o

成立.即a1,a2,,as線性相關(guān).4此定理也可如下敘述:

線性無關(guān)的向量組中任何部分組皆線性無關(guān).

例6.

含有零向量的向量組線性相關(guān).

因零向量線性相關(guān),由定理3.5可知,該向量組也線性相關(guān).5(三)關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理

定理3.6

向量組a1,a2,,as(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是:其中至少有一個(gè)向量是其余s-1個(gè)向量的線性組合.6證:

必要性

因?yàn)閍1,a2,,as線性相關(guān),故存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,,ks使

k1a1+k2a2++ksas=o

成立.不妨假設(shè)k10,于是即a1是a1,a2,,as的線性組合.7充分性

如果a1,a2,,as中至少有一個(gè)向量是其余s-1個(gè)向量的線性組合,不妨設(shè)

a1=k2a2+k3a3++ksas

因此存在一組不全為零的數(shù)-1,k2,k3,,ks使

(-1)a1+k2a2++ksas=o

成立,即a1,a2,,as線性相關(guān).8例如,設(shè)有向量組a1=(1,-1,1,0),a2=(1,0,1,0),a3=(0,1,0,0),因?yàn)閍1-a2+a3=o,故a1,a2,a3線性相關(guān).

由a1-a2+a3=o可得

a1=a2-a3,a2=a1+a3,a3=-a1+a2910定理3.7

如果向量組a1,a2,,as,b線性相關(guān),而a1,a2,,as線性無關(guān),則向量b可由向量組a1,a2,,as線性表示且表示法唯一..11證:

先證b可由a1,a2,,as線性表示.

因a1,a2,,as,b線性相關(guān),因而存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,,ks及k,使

k1a1+k2a2++ksas+kb=o

成立.必有k0,否則,上式成為

k1a1+k2a2++ksas=o

且k1,k2,,ks不全為零,這與a1,a2,,as線性無關(guān)矛盾.因此k0.故即b是a1,a2,,as的線性組合.12再證表示法唯一.

如果 b=h1a1+h2a2++hsas

且 b=l1a1+l2a2++lsas

則有

(h1-l1)a1+(h2-l2)a2++(hs-ls)as=o

成立.由a1,a2,,as線性無關(guān)可知

(h1-l1)=(h2-l2)==(hs-ls)=0

即h1=l1,h2=l2,,hs=ls,所以表示法是唯一的.13例如,任意一向量a=(a1,a2,,an)可由初始單位向量組e1,e2,,en唯一地線性表示.即

a=a1e1+a2e2++anen14設(shè)有兩個(gè)向量組

a1,a2,,as (A)

及 b1,b2,,bt (B)

如果組(A)中每一向量都可由組(B)線性表示,則稱向量組(A)可由向量組(B)線性表示.15定理3.8

如果向量組(A)可由向量組(B)線性表示,而向量組(B)又可由向量組(C)線性表示,則向量組(A)也可由向量組(C)線性表示.

證:

設(shè)向量組a1,a2,,as (A)

b1,b2,,bt (B)

g1,g2,,gp (C)

如果

ai=bi1b1+bi2b2++bitbt(i=1,2,,s)①

bk=ck1g1+ck2g2++ckpgp(k=1,2,,t)②

將②代入①得16ai=bi1(c11g1+c12g2++c1pgp)

+bi2(c21g1+c22g2++c2pgp)

+

+bit(ct1g1+ct2g2++ctpgp)(i=1,2,,s)

整理后得

ai=(bi1c11+bi2c21++bitct1)g1

+(bi1c12+bi2c22++bitct2)g2

+

+(bi1c1p+bi2c2p++bitctp)gp(i=1,2,,s)

即向量組(A)可由(C)線性表示.17定理3.9

設(shè)有兩個(gè)向量組

a1,a2,,as (A)

b1,b2,,bt (B)

向量組(B)可由向量組(A)線性表示.如果s<t,則向量組(B)線性相關(guān).18證:由定理?xiàng)l件知

bj=a1ja1+a2ja2++asjas(j=1,2,,t)①

如果有一組數(shù)k1,k2,,kt使

k1b1+k2b2++ktbt=o

②

成立.我們需要證明k1,k2,,kt可以不全為零.把①代入②得

k1(a11a1+a21a2++as1as)

+k2(a12a1+a22a2++as2as) ③

+

+kt(a1ta1+a2ta2++astas)=o

整理后得19 (a11k1+a12k2++a1tkt)a1

+(a21k1+a22k2++a2tkt)a2 ④

+

+(as1k1+as2k2++astkt)at=o

因?yàn)閟<t,故齊次線性方程組有非零解.⑤20因此可取k1,k2,,kt為上述齊次線性方程組⑤的非零解.這個(gè)非零解可使④成立,因而可使③成立,即有不全為零的一組數(shù)k1,k2,,kt使②成立.所以,向量組(B)線性相關(guān).21這個(gè)定理的另一種說法是:向量組(B)(共有t個(gè)),可由向量組(A)(共有s個(gè))線性表示.如果向量組(B)線性無關(guān),則ts.22推論向量組(A)(共有t個(gè)向量)與(B)(共有s個(gè)向量)可以互相線性表示,如果(A),(B)都是線性無關(guān)的,則s=t.

證:(A)線性無關(guān)且可由(B)線性表示,則st;(B)線性無關(guān)且可由(A)線性表示,則ts.于是s=t.23(四)向量組的秩

設(shè)有向量組a1,a2,,as,只要組中的向量不全為零向量,則至少有一個(gè)向量不為零向量,因而它至少有一個(gè)向量的部分組線性無關(guān);再考察兩個(gè)向量的部分組;如果有兩個(gè)向量的部分組線性無關(guān),則往下考察三個(gè)向量的部分組;依此類推.最后總能達(dá)到向量組中有r(s)個(gè)向量的部分組線性無關(guān),而沒有多于r(s)個(gè)向量的部分組線性無關(guān),即向量組中r個(gè)向量的向量組線性無關(guān)的話,則是最大的線性無關(guān)的部分組.2425向量組的極大無關(guān)組可能不止一個(gè),但由定義可知,其向量的個(gè)數(shù)是相同的.

例如,二維向量組a1=(0,1),a2=(1,0),a3=(1,1),a4=(0,2).因?yàn)槿魏?個(gè)二維向量的向量組必線性相關(guān),又a1,a2線性無關(guān),故a1,a2是a1,a2,a3,a4的一個(gè)極大無關(guān)組,同樣a2,a3也是一個(gè)極大無關(guān)組.26272829定義3.8

向量組a1,a2,,as的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱為向量組的秩,記為

r(a1,a2,,as)

規(guī)定,全由零向量組成的向量組的秩為零.

上例中二維向量組二維向量組a1=(0,1),a2=(1,0),a3=(1,1),a4=(0,2).,其秩r(a1,a2,a3,a4)=2.30為了敘述簡(jiǎn)化,我們把矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩;矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.

定理3.11

A為mn矩陣,r(A)=r的充分必要條件是:A的列(行)秩為r.31證:必要性

設(shè)A=(aij)mn,如果r(A)=r,則存在A的r階子式不為零,不妨設(shè)令32則由定義2.12知r(A1)=r,又由定理3.4的另一說法知,A1的r個(gè)列向量線性無關(guān),即A中有r個(gè)列向量線性無關(guān).

再證明A的任何r+1個(gè)列向量線性相關(guān).

用反證法,假設(shè)A中有r+1個(gè)列向量線性無關(guān),不妨設(shè)為A的r+1個(gè)線性無關(guān)的列向量組成的矩陣33則由定理3.4的另一說法知r(A2)=r+1,由矩陣的秩的定義知,A2有r+1階子式不為零,即A有r+1階子式不為零,這與r(A)=r矛盾.因此A的任何r+1個(gè)列向量均線性相關(guān).于是知A的列秩為r.34充分性

如果A的列秩為r,不妨設(shè)A的前r列為A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.

設(shè)35由定理3.4的另一說法,知r(A1)=r,故A1中有r階子式不為零.

再證A中任何r+1階子式全為零.

用反證法.假設(shè)A中有一個(gè)r+1階子式不為零,不妨設(shè)36令則r(A2)=r+1,即A2的r+2個(gè)列向量線性無關(guān),亦即A的前r+1個(gè)列向量線性無關(guān),這與A的列秩為r矛盾,故A的所有r+1階子式均為零,于是r(A)=r,即r(A)等于A的列秩.37推論矩陣A的行秩與列秩相等.

因?yàn)樾兄?列秩均等于r(A)383940類似地,如果對(duì)矩陣A僅施以初等列變換化為矩陣A',則A'的行向量組與A的行向量組間有相同的線性關(guān)系(證明略).

簡(jiǎn)言之,矩陣的初等行(列)變換不改變其列(行)向量間的線性關(guān)系.41例1.

求向量組a1=(2,4,2),a2=(1,1,0),a3=(2,3,1),a4=(3,5,2)的一個(gè)極大無關(guān)組,并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.

解:對(duì)矩陣A=(a1T

a2T

a3T

a4T)僅施以初等行變換:4243由最后一個(gè)矩陣可知:a1,a2為一個(gè)極大無關(guān)組,且44例2.

證明:如果向量組a1,a2,,as與向量組b1,b2,,bt可以互相線性表示,則

r(a1,a2,,as)=r(b