導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高中三年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）60知識點函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值教學(xué)目標(biāo)掌握函數(shù)的單調(diào)性求法，會求函數(shù)的函數(shù)的極值，會求解最值問題，教學(xué)重點會利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，會求解函數(shù)的最值。教學(xué)難點熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用。整理為word格式整理為word格式整理為word格式教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入問題：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判斷的單調(diào)性，如何進(jìn)行？因為二次函數(shù)的圖像我們非常熟悉,可以畫出其圖像，指出其單調(diào)區(qū)間，再想一下，有沒有需要注意的地方？如果遇到函數(shù)，如何判斷單調(diào)性呢？你能畫出該函數(shù)的圖像嗎？定義是解決問題的最根本方法，但定義法較繁瑣,又不能畫出它的圖像，那該如何解決呢？整理為word格式整理為word格式整理為word格式二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?三、知識講解考點1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性整理為word格式整理為word格式整理為word格式如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)是減少的．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分．整理為word格式整理為word格式整理為word格式考點2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大?。⒁舛x域優(yōu)先的原則，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行．①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負(fù)”，則x0為極大值點；②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左負(fù)右正”，則x0為極小值點；③若f′(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點．整理為word格式整理為word格式整理為word格式考點3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式四、例題精析考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．【規(guī)范解答】f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，整理為word格式整理為word格式整理為word格式若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.當(dāng)a＝e3時，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，∴a≥e3.故存在實數(shù)a≥e3，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)．【總結(jié)與反思】(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；(3)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例2設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲線y＝f(x)在(2，f(2))處與直線y＝－x＋1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【規(guī)范解答】(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋eq\f(a,x)，y＝f(x)在(2，f(2))處切線的斜率為1，所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋eq\f(a,2)＝1，所以a＝0，此時f(2)＝2－2＝0，故所求的切線方程為y＝x－2.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a＋1x＋a,x)＝eq\f(x－1x－a,x).①當(dāng)0<a<1時，若x∈(0，a)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x∈(a,1)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．整理為word格式整理為word格式整理為word格式此時x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)＝－eq\f(1,2)a2＋alna，極小值是f(1)＝－eq\f(1,2).②當(dāng)a＝1時，f′(x)＝eq\f(x－12,x)>0，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，此時f(x)沒有極值點，故無極值．③當(dāng)a>1時，若x∈(0,1)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x∈(1，a)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(1)＝－eq\f(1,2)，極小值是f(a)＝－eq\f(1,2)a2＋alna.綜上，當(dāng)0<a<1時，f(x)的極大值是－eq\f(1,2)a2＋alna，極小值是－eq\f(1,2)；當(dāng)a＝1時，f(x)沒有極值；當(dāng)a>1時，f(x)的極大值是－eq\f(1,2)，極小值是－eq\f(1,2)a2＋alna.整理為word格式整理為word格式整理為word格式【總結(jié)與反思】(1)導(dǎo)函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．考點三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例3已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a＝3，b＝－9時，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【規(guī)范解答】(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因為曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b(2)記h(x)＝f(x)＋g(x)，當(dāng)a＝3，b＝－9時，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的變化情況如下表所示：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋＋h(x)28－43由表可知當(dāng)k≤－3時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28；當(dāng)－3<k<2時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值小于28.因此k的取值范圍是(－∞，－3]．【總結(jié)與反思】(1)求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點，再計算函數(shù)y＝整理為word格式整理為word格式整理為word格式f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得．(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個區(qū)間上的變化情況．五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為________．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【答案】(2,2a【規(guī)范解答】f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2由a>1知，當(dāng)x<2時，f′(x)>0，故f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是增函數(shù)；當(dāng)2<x<2a時，f′(x故f(x)在區(qū)間(2,2a當(dāng)x>2a時，f′(x故f(x)在區(qū)間(2a綜上，當(dāng)a>1時，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a在區(qū)間(2,2a整理為word格式整理為word格式整理為word格式(2)已知a>0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是________．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【答案】(0,3]【規(guī)范解答】∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a>0，可知0<a≤3.整理為word格式整理為word格式整理為word格式2、設(shè)f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a為正實數(shù)．(1)當(dāng)a＝eq\f(4,3)時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【規(guī)范解答】對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex·eq\f(1＋ax2－2ax,1＋ax22). ①(1)當(dāng)a＝eq\f(4,3)時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝eq\f(3,2)，x2＝eq\f(1,2).結(jié)合①，可知xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以x1＝eq\f(3,2)是極小值點，x2＝eq\f(1,2)是極大值點．(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a由此并結(jié)合a>0，知0<a≤1.所以a的取值范圍為{a|0<a≤1}．整理為word格式整理為word格式整理為word格式3.已知函數(shù)f(x)＝xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【規(guī)范解答】(1)f′(x)＝lnx＋1，x>0，由f′(x)＝0得x＝eq\f(1,e)，所以f(x)在區(qū)間(0，eq\f(1,e))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(eq\f(1,e)，＋∞)上單調(diào)遞增．所以，x＝eq\f(1,e)是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在．(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，則g′(x)＝lnx＋1－a，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為遞增函數(shù)．當(dāng)ea－1≤1，即a≤1時，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)＝0.當(dāng)1<ea－1<e，即1<a<2時，g(x)的最小值為g(ea－1)＝a－ea－1.當(dāng)ea－1≥e，即a≥2時，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(e)＝a＋e－ae.綜上，當(dāng)a≤1時，g(x)的最小值為0；當(dāng)1<a<2時，g(x)的最小值為a－ea－1；當(dāng)a≥2時，g(x)的最小值為a＋e－ae.整理為word格式整理為word格式整理為word格式【鞏固】1、已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．【規(guī)范解答】(1)由題意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. 整理為word格式整理為word格式整理為word格式f(x)與f′(x)的情況如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)． (2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k； 當(dāng)0<k－1<1，即1<k<2時，f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1，即k≥2時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. 綜上，當(dāng)k≤1時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)1<k<2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k≥2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. 整理為word格式整理為word格式整理為word格式2設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A．1<a≤2 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≤2 D．0<a≤3整理為word格式整理為word格式整理為word格式【答案】A【規(guī)范解答】∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx，∴f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x>0)，當(dāng)x－eq\f(9,x)≤0時，有0<x≤3，即在(0,3]上原函數(shù)是減函數(shù)，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.整理為word格式整理為word格式整理為word格式3．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是 ()A．－2 B．0 C．2 D．4整理為word格式整理為word格式整理為word格式【答案】C【規(guī)范解答】∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在[－1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1]上是減函數(shù)．∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2.整理為word格式整理為word格式整理為word格式【拔高】1、(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．【規(guī)范解答】(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4∵y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴a＝4，b＝4.(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝lneq\f(1,2)，列表：x(－∞，－2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，ln\f(1,2)))lneq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值∴y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)，＋∞))；單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，ln\f(1,2))).f(x)極大值＝f(－2)＝4－4e－2.2．已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范圍．(2)設(shè)g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．整理為word格式整理為word格式整理為word格式【規(guī)范解答】(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意對于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.整理為word格式整理為word格式整理為word格式當(dāng)a>0時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖像開口向上，而f′(0)＝－a<0，所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；當(dāng)a＝1時，對于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1時f′(x)＝0，f(x)符合條件；當(dāng)a＝0時，對于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，且只在x＝0時，f′(x)＝0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為0≤a≤1.(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，①當(dāng)a＝0時，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.②當(dāng)a＝1時，對于任意x∈[0,1]有g(shù)′(x)＝－2xex≤0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.③當(dāng)0<a<1時，由g′(x)＝0得x＝eq\f(1－a,2a)>0.若eq\f(1－a,2a)≥1，即0<a≤eq\f(1,3)時，g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，整理為word格式整理為word格式整理為word格