理論力學(xué)之摩擦

第6章摩擦§6-1靜摩擦和滑動摩擦§6-2摩擦角和自鎖現(xiàn)象§6-3考慮滑動摩擦?xí)r的平衡問題§6-4滾動摩阻的概念

§6-1靜摩擦和滑動摩擦一、摩擦(Friction)的概念

摩擦產(chǎn)生于有相對運動或運動趨勢的受力物體上，摩擦的作用是阻礙兩物體接觸處的相對運動，摩擦力作用于兩物體接觸處，方向與兩物體接觸處相對滑動趨勢方向相反。干摩擦(DryFriction)——固體對固體的摩擦；流體摩擦(FluidFriction)——流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。靜摩擦(StaticFriction)：靜滑動摩擦，靜滾動摩擦動摩擦(DynamicFriction)： 動滑動摩擦，動滾動摩擦FPWFFNFFPO45°FmaxFd滑動狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)靜摩擦力滑動摩擦力最大靜摩擦力庫侖定律F<FmaxF＝Fd

=fd

FNF＝Fmax=fs

FN根據(jù)力系平衡確定F二、滑動摩擦力（ForceofSlidingFriction）一、摩擦角(AngleofFriction)FsFNFRa全約束力FR與法向約束力FN作用線之間的夾角用a

表示。FR=FN+FS摩擦力與法向反力的合力FR稱為全約束力FsFN全約束力與接觸面法線間夾角的最大值稱為摩擦角，用

f表示。

§6-2靜摩角和自鎖現(xiàn)象FNFmaxFRf

開始運動前,a角隨FP的改變而改變，臨近運動時達(dá)到最大值f，則物體靜止時必有

0

a

ftanf==fsFmaxFN=fs

FNFN靜滑動摩擦系數(shù)(StaticFrictionFactor)FN的作用點隨FS的增大而右移？法線測定摩擦系數(shù)的簡易方法n關(guān)于摩擦角的兩點結(jié)論：

摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。

三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。2jFQFQ四、自鎖現(xiàn)象

(Self-lock)

主動力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時物體處于臨界狀態(tài)。ja=jfa

主動力作用線位于摩擦角范圍以外時，不論主動力多小，物體都將發(fā)生運動。ja>jfj自鎖條件ajfa

主動力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時，不論主動力有多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。用平衡方程推導(dǎo)自鎖的條件斜面自鎖自鎖條件ajn斜面摩擦自鎖的應(yīng)用螺距自鎖條件：螺旋F

Fmax

,物體處于一般靜止?fàn)顟B(tài)，已知主動力求約束力，與一般平衡問題無異。物體處于臨界狀態(tài)或運動狀態(tài)時，除應(yīng)用平衡方程外，還應(yīng)根據(jù)運動狀態(tài)列出補充方程——庫侖方程?！?-3考慮滑動摩擦?xí)r的平衡問題（EquilibriumofBodieswithFriction）例1

已知：a

、f、塊重W。求：平衡時P力的范圍。補充條件：FfN∴解：解析法1.分析滑塊受力，P較小時，物塊有下滑趨勢，摩擦力向上。平衡條件:xyPaWPaWFNFx

=0

F+Pcosa

－

Wsina

=0Fy

=0

N－Psina

－

Wcosa

=02.P較大時，物塊有上滑趨勢，摩擦力向下3.結(jié)論與1的過程相同,可解得xyPaWFN不管P力多大，都不能破壞系統(tǒng)平衡，亦即發(fā)生

摩擦自鎖即使沒有水平力P的作用，在W作用下滑塊也不會下滑，發(fā)生摩擦自鎖4.討論時的力學(xué)意義aPmaxW圖解法（利用摩擦角的概念）1.

求Pmin

2.

求PmaxaPminWPaWFRa+jf法線Pmin

=Wtan(a-jf)a法線Pmax

=Wtan(a+jf)Wtan(a-jf)

P

Wtan(a+jf)3.

結(jié)論FNFNFRjf例2

尖劈起重裝置如圖所示。尖劈的頂角為a，在塊B上受力P1的作用。塊A和塊B之間的靜摩擦系數(shù)為fs（有滾珠處摩擦力忽略不計）。不計A，B塊的重量，試求能保持兩者平衡的力P的范圍。解法與例1相同先確定P的最大值此時A有左移趨勢再確定力P的最小值此時A有右移趨勢例3：已知凸輪機構(gòu)推桿與滑道間的摩擦系數(shù)為fs，滑道寬度為b。設(shè)凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計。問a為多大，推桿才不致被卡住。解法一：解析法（分析推桿）解法二：圖解法推桿平衡時，全反力與法線間的夾角a必滿足條件：推桿不被卡住或例4

已知：抽屜尺寸a,b,抽屜與兩壁間的摩擦因數(shù)fs

,不計抽屜底部摩擦。求：抽拉抽屜不被卡住之e值。解：取抽屜設(shè)抽屜剛好被卡住又聯(lián)立解得則抽屜不被卡住，已知：物塊重P,鼓輪重心位于處，閘桿重量不計，各尺寸如圖所示：求：制動鼓輪所需鉛直力F。例5解：分別以鼓輪和閘桿為研究對象，畫受力圖。設(shè)鼓輪被制動處于平衡狀態(tài)對鼓輪對閘桿補充方程且解得列方程，求解各構(gòu)件自重不計；求：作用于鼓輪上的制動力矩。例6已知：解：分析步驟桿O1ABA，O1桿EDCD，E桿O1DFN1輪OMf桿O2KFN2θ

求：（2）能保持木箱平衡的最大拉力。（1）當(dāng)D處為拉力時，木箱是否平衡?例7已知：均質(zhì)木箱重解：（1）取木箱，設(shè)其處于平衡狀態(tài)。解得而因所以木箱不會滑動；又木箱無翻倒趨勢。結(jié)論：木箱平衡（2）設(shè)木箱將要滑動時拉力為又解得設(shè)木箱有翻倒趨勢時拉力為解得所以，能保持木箱平衡的最大拉力為*對此題，先解答完（2），自然有（1）。因為F1>F2轉(zhuǎn)動中心為A例8P=100N的均質(zhì)滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的靜摩擦系數(shù)為fsC

=0.4。輪半徑為r，桿長為l，當(dāng)α=600時，AC=BC=l/2。當(dāng)D處靜摩擦系數(shù)fsD分別為0.3和0.15時，求維持系統(tǒng)平衡需作用于輪心的最小水平推力。取AB為研究對象取輪為研究對象解:即所以假設(shè)C處的靜摩擦力先達(dá)到最大值fsC

=0.4應(yīng)D處先到達(dá)臨界平衡狀態(tài)<FD=40N解決多點摩擦問題的關(guān)鍵是判斷哪一點摩擦力首先達(dá)到最大值.問題：假設(shè)墻壁光滑，若使梯子不滑動，地面與梯子間的靜滑動摩擦因數(shù)fs

至少為多大(不計梯子自重,人重為W).ABBAn解：研究梯子，畫受力圖討論問題：長軸為a

，短軸為b

，重為W的均質(zhì)橢圓，一端鉛垂吊起，另一端放在傾角為的固定斜面上，圓盤長軸與水平線的夾角為，若圓盤處于平衡，圓盤與斜面的靜滑動摩擦因數(shù)最小為多大？不滑動的條件不平衡力系

剛性約束模型的局限性根據(jù)剛性約束模型，得到不平衡力系，即不管力FT多么小,都會發(fā)生滾動，這顯然是不正確的。FTFPFFN§6-4

滾動摩阻的概念滾動，分布力系分布力系合成變形,未滾動向A點簡化,滾動阻力偶Mf

。滾動摩阻(RollingResistance)的形成滾動摩阻（擦）系數(shù)，長度量綱的物理意義M

fmax＝FN滾動摩阻力偶矩的取值范圍0M

fM

fmax其中滾動摩阻定律:滾動摩阻力偶矩的最大值與正壓力成正比求解滾動摩阻問題時需加補充方程M

fFN為什么滾動比滑動省力？滑動摩擦力是阻力滑動摩擦力是驅(qū)動力思考:以直徑450mm的充氣輪胎為例,令=3.15mm,fs=0.7,FT1與FT2的比值。例1

半徑為R的滑輪上作用有力偶，輪上繞有細(xì)繩拉住半徑為R，重量為P的圓柱，斜面傾角為α，圓柱與斜面間的滾動摩阻系數(shù)為δ。求保持圓柱平衡時，力偶矩MB的最大與最小值；并求能使圓柱勻速滾動而不滑動時靜滑動摩擦系數(shù)的最小值。解：拉力最小時，圓柱有向下滾動的趨勢；拉力最大時，圓柱有向上滾動的趨勢。（1）求Fmin（2）求Fmax（3）取滑輪為研究對象解（4）求圓柱只滾不滑時靜滑動摩擦系數(shù)的最小值取圓柱為研究對象，當(dāng)它有上滾趨勢時滿足只滾不滑的力學(xué)條件例2

重量P=19.62kN的重物放在半徑r=50mm的滾輪上，滾輪重量不計，滾輪與其上下接觸面間的滾動摩擦系數(shù)δ=0.5mm。求即將拉動重物時所需的水平力F的大小。解：取滾輪A、B為研究對象，處于臨界狀態(tài)時若將重物直接放在軌道上拖拉設(shè)靜摩擦系數(shù)fs=0.15再取整體為研究對象滾動比滑動省力F2F1NF2NF1M1M2求：拉動拖車最小牽引力（平行于斜坡）。拖車總重P

，車輪半徑，其它尺寸如圖；例3已知：解：1）取整體，分析受力2）列方程，求解（1）（2）（3）七個未知數(shù)。（4）（5）能否用，作為補充方程?取前、后輪七個方程聯(lián)立解得（6）（7），意味什么？意味什么？若，若，則則，若拖車總重，車輪半徑在水平路上行駛（），牽引力為總重的1％。問題

分析可能的工作狀態(tài)

每一種工作狀態(tài)下都會遇到什么問題

設(shè)定已知參數(shù)和欲求的未知量求解

結(jié)論與討論討論小結(jié)摩擦力是在受力物體有運動或運動趨勢時才產(chǎn)生的,所以摩擦力的作用與約束力的作用相似,阻礙物體的運動，但在不同的狀態(tài)下計算方法各異。解帶有滑動摩擦的平衡問題時,除應(yīng)用平衡方程外，還必須應(yīng)用關(guān)于摩擦的物理方程，即庫侖定律Fmax

=fsFN對于運動狀態(tài)未知的情形,求約束力,與一般平衡

問題一樣,摩擦力作為約束力,其方向可以假設(shè)。對于F=Fmax的情形，要求確定平衡或不平衡條件，這時必須根據(jù)滑動趨勢正確確定滑動摩擦力的方向，而不能任意假設(shè)。對于滑動狀態(tài),