彈性體振動課件

第六章

彈性體振動第六章

彈性體振動1前各章在討論振動問題時(shí)采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個自由度，且運(yùn)動規(guī)律由常微分方程來確定。事實(shí)上，它只是現(xiàn)實(shí)問題中的一類力學(xué)模型。6.1介紹前各章在討論振動問題時(shí)采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個2客觀現(xiàn)實(shí)的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng))，它的物理參數(shù)是分布型的，具有無限多個自由度，且運(yùn)動規(guī)律由偏微分方程來確定。客觀現(xiàn)實(shí)的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)3由于描述的都是振動現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度系統(tǒng)振動分析所形成的一系列重要概念。在彈性體振動分析中都有相應(yīng)的地位和發(fā)展。在彈性體振動中系統(tǒng)固有頻率的數(shù)目增大為無限多個；主振型的概念發(fā)展為固有振型函數(shù)，而且這些振型函數(shù)之間也存在關(guān)于分布質(zhì)量與剛度的加權(quán)正交性；由于描述的都是振動現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度4在線性振動問題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析法、脈沖響應(yīng)法、頻率響應(yīng)法等同樣適用于彈性體振動分析。在線性振動問題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析5在考察實(shí)際振動問題時(shí)，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對象作具體處理。例如。飛機(jī)蒙皮一般取為薄板模型，渦輪盤取為厚圓板模型。渦輪葉片則取為薄殼或厚殼模型等。當(dāng)考察振動體內(nèi)彈性波的傳播問題時(shí)，就得采用彈性體模型。在考察實(shí)際振動問題時(shí)，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對6討論理想彈性體的振動。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：1）勻質(zhì)分布；2）各向同性；3）服從虎克定律。通過對一些簡單形狀的彈性體的振動分析，著重說明彈性體振動的特點(diǎn)，弄清它與多自由度系統(tǒng)振動的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)。討論理想彈性體的振動。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：76.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動

弦振動從有限多自由度模型到無限多自由度模型－連續(xù)系統(tǒng)6.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動

弦振動從有限多自由度模型到無限多8張力為T的弦振動－多自由度模型張力為T的弦振動－多自由度模型9根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點(diǎn)橫向振動的微分方程為假定作微小振動，因此根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點(diǎn)橫向振動的微分方程為10考慮到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動中保持不變。進(jìn)一步簡化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中張力可近似看做常量T。并且有在弦的兩端有y0＝y(tǒng)n+1＝0?？紤]到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動中保持不變。進(jìn)一步11寫成矩陣形式，有寫成矩陣形式，有12將上式兩端向除以Dxi，得隨著質(zhì)點(diǎn)數(shù)n的增加。質(zhì)點(diǎn)間的距離Dxi越來越小，弦上各質(zhì)點(diǎn)的位移yi(t)將趨于—連續(xù)函數(shù)y(x,t)。同時(shí)，分別是弦上單位長度的質(zhì)量和作用在弦上單位長度上的載荷。將上式兩端向除以Dxi，得13于是方程(6.2.4)演化為一階偏微分方程：其邊界條件y(0,t)=y(l,t)=0可見，對連續(xù)體若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似確定系統(tǒng)在外激擾力作用的響應(yīng)，這種做法在實(shí)際問題中常常用到。若把弦作為連續(xù)系統(tǒng)，精確地確定系統(tǒng)的響應(yīng)，則需求解偏微分方程(6.2.5)。于是方程(6.2.4)演化為一階偏微分方程：14弦的振動微分方程及其自由振動直接就連續(xù)體來推導(dǎo)弦橫向振動的微分方程。如圖在弦作微振動假設(shè)下，有：考慮到微元段在水平方向的平衡，弦中張力可近似看成是常量T。弦的振動微分方程及其自由振動直接就連續(xù)體來推導(dǎo)弦橫向振動的微15微元段的運(yùn)動微分方程為與方程(6.2.5)完全相同。微元段的運(yùn)動微分方程為16

討淪無阻尼自由振動的情形。此時(shí)p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可寫成

稱做一維波動方程，c就是波沿弦向的傳播速度。要求給出系統(tǒng)的邊界條件和初始條件討淪無阻尼自由振動的情形。17方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動解，另一種是振動解。波動解將弦的運(yùn)動表示為y(x,t)=f1(x－ct)+f2(x+ct)即把弦的運(yùn)動看成是由兩個相同形式的反向行進(jìn)波的疊加。振動解則將弦的運(yùn)動表示成各橫向同步運(yùn)動的疊加，各點(diǎn)的振幅在空間按特定的模式分布。方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動解，另一種18兩種解從不同的角度描述了弦的運(yùn)動，各有其特點(diǎn)。波動解能形象直觀地描述波動過程，給出任何時(shí)劃清晰的波形，但求解比較復(fù)雜；振動解揭示了弦的運(yùn)動由無窮多個簡諧運(yùn)動疊加而成。兩種解從不同的角度描述了弦的運(yùn)動，各有其特點(diǎn)。19對特定動力分析過程，選擇什么形式的解要視實(shí)際問題的需要來定。這既取決于擾動源的性質(zhì)，又取決于所考慮物體的相對尺寸，同時(shí)還與所關(guān)心的問題等因素有關(guān)。在一般機(jī)械系統(tǒng)中，直接進(jìn)行振動分析更為簡單可行。下面尋求方程(6.2.6)的振動解。對特定動力分析過程，選擇什么形式的解要視實(shí)際問題的需要來定。20觀察弦的自由振動可以發(fā)現(xiàn)。弦的運(yùn)動呈現(xiàn)同步振動，即在運(yùn)動中，弦的各點(diǎn)同時(shí)達(dá)到最大幅值，又同時(shí)通過平衡位置，而整個弦的振動形態(tài)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)語言來說，描述弦振動的函數(shù)y(x,t)可以分解為空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積。即y(x,t)=X(x)Y(t)(6.3.9)觀察弦的自由振動可以發(fā)現(xiàn)。弦的運(yùn)動呈現(xiàn)同步振動，即在運(yùn)動中，21其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個弦的振動形態(tài)。Y(t)描述弦各點(diǎn)的振動規(guī)律。將(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)，所以要使上式對任意的x、t都成立，只有兩邊都等于同一常數(shù)。設(shè)這一常數(shù)為a，有其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個弦的振動形態(tài)。Y(t)描22只有當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，才能從上述第一個方程中確定振動運(yùn)動。所以，取a=－p2于是，上述方程改為只有當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，才能從上述第一個方程中確定振動運(yùn)動。所以，23方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是Y(t)=Asinpt+Bcospt(6.2.12)X(x)=Csinbt+Dcosbt(6.2.12)其中A，B，C，D為積分常數(shù)。另外由邊界條件(6.2.7)，得X(0)=0(6.2.14)X(l)=0(6.2.15)于是有D=0方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是24而由條件(6.2.15)可得sinbl=0(6.2.16)上式稱做弦振動的特征方程。由此可確定一系列特征值bi所以系統(tǒng)的各階固有頻率為：而由條件(6.2.15)可得25與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為弦對應(yīng)于各階固有頻率pi的主振動為與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為26弦的自由振動可以表示為各階主振動的疊加，即有其中Ai，Bi由運(yùn)動的初始條件確定。將初始條件(6.2.8)代入上式，有弦的自由振動可以表示為各階主振動的疊加，即有27三角函數(shù)族具有正交性，即由此可得三角函數(shù)族具有正交性，即28由以上討論可見，張緊的弦的自由振動除了基頻(最低頻率p1)振動外，還可以包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動，這種倍頻振動亦稱諧波振動。由以上討論可見，張緊的弦的自由振動除了基頻(最低頻率p1)振29例求前圖(a)所示弦的前3階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)。解將i＝1，2，3分別代入式(6.2.18)和(6.2.19)中，有例求前圖(a)所示弦的前3階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)。30系統(tǒng)的前3階振型函數(shù)如下圖所示。系統(tǒng)的前3階振型函數(shù)如下圖所示。31討論：(1)弦的各階固有頻率由低到高成倍增長，相應(yīng)的波形的波數(shù)逐漸增多。振幅始終為零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)數(shù)隨振型階數(shù)的增向而逐一增加。一般地說，第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。(2)如果將弦縮聚成三自由度系統(tǒng)(如下圖所示)，用離散系統(tǒng)的振動分析方法，可以得到系統(tǒng)前3階固有頻率為討論：(1)弦的各階固有頻率由低到高成倍增長，相應(yīng)32與彈性體的分析結(jié)果比較，基頻的誤差為2.6%，一階主振型也較好地接近一階振型函數(shù)X1(x)，隨著階次的增加，誤差增大。與彈性體的分析結(jié)果比較，基頻的誤差為2.6%，一階主振型也較336.3導(dǎo)致一維波動方程的

其它振動系統(tǒng)比較典型的有：桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動。6.3導(dǎo)致一維波動方程的

其它振動系統(tǒng)比較典型的有：34桿的縱向振動桿的縱向振動35以u(x，t)表示桿上距原點(diǎn)x處在t時(shí)刻的縱向位移。在桿上取微元段dx，它的受力如上圖(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，它的運(yùn)動方程為以u(x，t)表示桿上距原點(diǎn)x處在t時(shí)刻的縱向位移。在桿上取36將它代入式(6.3.1)并化簡，得將它代入式(6.3.1)并化簡，得37可見桿的縱向振動的運(yùn)動微分方程也是一維波動方程。方程的求解仍可采用上節(jié)中的分離變量法。將u(x,t)表為：u(x,t)=X(x)U(t)(6.3.5)可見桿的縱向振動的運(yùn)動微分方程也是一維波動方程。方程的求解仍38按上類似的方式可得：其中固有頻率p與振型函數(shù)X(x)由桿的邊界條件確定。典型的邊界條件有以下幾種：按上類似的方式可得：39(1)固定端該處縱向位移為零，即有u(x,t)=0,x=0orl(2)自由端該處軸向內(nèi)力為零，即有(3)彈性支承設(shè)桿的右端為彈性支承(如圖(a))，則此處軸向內(nèi)力等于彈性力，即(1)固定端該處縱向位移為零，即有40

(4)慣性載荷設(shè)桿的右端附—集中質(zhì)量塊(圖(b))，則此處桿的軸向內(nèi)力等于質(zhì)量塊的慣性力，即

41例一勻質(zhì)細(xì)直桿的左端固定，右端通過彈簧與固定點(diǎn)相連(如上圖(a))。試推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。解桿在兩端的邊界條件可表示為u(0,t)=0

和

即例一勻質(zhì)細(xì)直桿的左端固定，右端通過彈簧與固定點(diǎn)相連(如上42將此邊界條件代入振型函數(shù)X(x)，(式(6.3.7))中，可得由此可知，系統(tǒng)的頻率方程為將此邊界條件代入振型函數(shù)X(x)，(式(6.3.7))中，可43對應(yīng)給定的a值，不難找到各固有頻率pi的數(shù)值解，而與各個pi相應(yīng)的振型函數(shù)為對應(yīng)給定的a值，不難找到各固有頻率pi的數(shù)值解，而與各個pi44軸的扭轉(zhuǎn)振動長為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓截面對其中心的極慣性矩為Ip，材料剪切彈性模量為G。軸的扭轉(zhuǎn)振動長為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓45假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動。以q

(x,t)表示軸上x截面處在t時(shí)刻相對左端面的扭轉(zhuǎn)角。為推導(dǎo)軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程，從其中截取一微元段如上圖。列出運(yùn)動微分方程為其中T為軸上x截面處的扭矩。由材料力學(xué)知，代入式(6.3.8)，整理得假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動。以q(x,46其中c2=G/r。可見軸的扭轉(zhuǎn)振動微分方程仍為一維波動方程。常見的邊界條件有以下幾種：(1)固定端該處轉(zhuǎn)角為零，即有q(x,t)=0，x=0orl其中c2=G/r?？梢娸S的扭轉(zhuǎn)振動微分方程仍為一維波動方程。47(2)自由端該處扭矩為零，即(3)彈性支承若軸的右端通過剛度為Kt的扭簧與固定點(diǎn)相連，則有(4)慣性載荷若軸的右端附有一圓盤，則有(2)自由端該處扭矩為零，即48上(4)中J0為圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。例設(shè)軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖所示。圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量力J0，試考察這—系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。上(4)中J0為圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。49解設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動可表為q(x,t)=X(x)Q(t)且有Q(t)=Asinpt+BcosptX(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c)軸在左端有u(0,t)＝0，軸的右端有解設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動可表為50以上邊界條件也可表示為由上二式可得以上邊界條件也可表示為51或?qū)懗蒪tanb=a

(c)其中b=pl/c,a=Iprl/J0

式(c)即軸系的特征方程。

a的物理意義為軸的轉(zhuǎn)動慣量與園盤轉(zhuǎn)動慣量之比。對于給定的a值，不難找出軸系固有頻率的數(shù)值解。

在實(shí)用上，通?；l振動最為重要。其對應(yīng)于基頻特征值b1?；?qū)懗?2注意，當(dāng)a取小值時(shí)，b1亦為小值。如近似地取tanb=b，則式(c)化簡為b2=a(d)可寫成p2=c2rIp/(J0l)=GIp/(J0l)GIp/l就是軸的扭轉(zhuǎn)彈簧常數(shù)，上式也就是略去軸的質(zhì)量后所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式?？煽吹?，當(dāng)a＝0.3時(shí)，由上式給出的固有頻率近似值的誤差約為5%。注意，當(dāng)a取小值時(shí)，b1亦為小值。如近似地取tanb=53進(jìn)一步的近似可取tanb≈b+b

3/3，這時(shí)有即有再將式(d)中的b2代入上式右端。可得進(jìn)一步的近似可取tanb≈b+b3/3，這時(shí)有54或?qū)懗?e)上式也就是將軸轉(zhuǎn)動慣量的1/3加到圓盤后所得單自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。它和瑞利法所得的結(jié)果相一致?？煽吹剑?dāng)a＝1時(shí)，用式(e)所得的基頻近似值的誤差還不到1%。所以，只要軸的轉(zhuǎn)動慣量不大于圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，那末計(jì)算基頻近似式(e)在實(shí)用上已足夠準(zhǔn)確?；?qū)懗?5一維連續(xù)彈性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動響應(yīng)總是工程實(shí)際所關(guān)心的。連續(xù)介質(zhì)的彈性系統(tǒng)強(qiáng)迫振動響應(yīng)也是建立在自由振動分析的基礎(chǔ)上，即在獲得了對該系統(tǒng)的特征值bi和振型函數(shù)Xi

(x)的基礎(chǔ)上。下以一個例子來說明過程。一維連續(xù)彈性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動響應(yīng)總是工程實(shí)際所關(guān)心的。56例考察左端固定、右端附有質(zhì)量M的桿，設(shè)AE為常數(shù)，初始條件為零，質(zhì)量M上作用有諧波力F(t)=F0sinwt。解：由題意有(a)設(shè)主振動為

(b)例考察左端固定、右端附有質(zhì)量M的桿，設(shè)AE為常數(shù)，初始條件57這里的wi，Xi(x)分別為前(c)，(d)所給，Xi(x)中Ai由(e)的歸一條件定出。將(b)代入(a)，兩邊前乘Xj(x)并沿桿長積分，注意(e)，(f)及對d函數(shù)的積分性質(zhì)，有這里的wi，Xi(x)分別為前(c)，(d)所給，Xi(x)58因?yàn)橛商卣鞣匠蹋?Mw2X(l)=EAX’(l)，就有因?yàn)?9(c)(d)(e)(f)(c)60最后最后616.4梁的彎曲振動梁彎曲振動的運(yùn)動方程考察勻質(zhì)等截面細(xì)直梁的橫向彎曲振動;假定梁只有縱向?qū)ΨQ平面，所受的外力也在此對稱平面內(nèi)，故梁在此平面內(nèi)作彎曲振動；還假定梁的長度與截面高度之比大于10。如下圖6.4梁的彎曲振動梁彎曲振動的運(yùn)動方程62設(shè)梁長為l，單位長度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建立如上圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)梁長為l，單位長度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建63根據(jù)材料力學(xué)“簡單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響；這種梁稱做歐拉—貝努利(Euler-Bernoulli)梁。梁上各點(diǎn)的運(yùn)動只需用梁軸線的橫向位移表示。根據(jù)材料力學(xué)“簡單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響；64在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位移可用y(x,t)表示。按其受力情況。微元段沿y方向的運(yùn)動方程為忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響，各力對右截面上任一點(diǎn)的矩之和應(yīng)為零，即在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位65略去二階微量，有由材料力學(xué)知，彎矩與撓曲線的關(guān)系為將(6.4.2)和(6.4.3)代入(6.4.1)中，得略去二階微量，有66上式就是梁彎曲振動的運(yùn)動微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振動，其運(yùn)動微分方程為(6.4.5)或?qū)懗?6.4.6)其中a2=EI/r上式就是梁彎曲振動的運(yùn)動微分方程。如p(x,t)=0，梁67粱的自由振動粱彎曲振動的運(yùn)動微分方程(6.4.6)是一個四階偏微分方程。為求其振動解，仍采用分離變量法，即假定方程(6.4.6)的解為y(x,t)=X(x)Y(t)(6.4.7)將(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得粱的自由振動粱彎曲振動的運(yùn)動微分方程(6.4.6)是68要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常數(shù)。取這一常數(shù)為－p2，于是有方程(6.4.9)的通解為要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常69方程(6.4.10)是一個四階常系數(shù)線性微分方程，它的特征方程是l4－b4=0其特征值為l1=b,l2=－b,l3=bj,l4=－bj所以，方程(6.4.10)的通解為X(x)=Cebx+De-bx+Eejbx+Fe-jbx方程(6.4.10)是一個四階常系數(shù)線性微分方程，它的70或表示為X(x)=c1chbx+c2shbx+c3cosbx+c4sinbx(6.4.12)特征值b及振型函數(shù)由梁的邊界條件來確定。對于梁的彎曲振動，基本的邊界條件有以下幾種：(1)固支端固支端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即或表示為71(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即(3)自由端自由端的彎矩與剪力都為零，即(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即72還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集中質(zhì)量。還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集73圖(a)所示梁右端的邊界條件為圖(a)所示梁右端的邊界條件為74圖(b)所示梁右端的邊界條件為

圖(b)所示梁右端的邊界條件為75在所有這些邊界條件中，反映對端點(diǎn)位移或轉(zhuǎn)角的約束條件稱為幾何邊界條件，反映對彎矩或剪力的約束條件稱為力邊界條件。在所有這些邊界條件中，反映對端點(diǎn)位移或轉(zhuǎn)角的約束條件稱為幾何76根據(jù)梁的邊界條件，可確定梁的無限多個固有頻率pi和相應(yīng)的振型函數(shù)Xi(x)因而梁彎曲自由振動的一般表達(dá)式為式中Ai，Bi

(i=1,2,…)由系統(tǒng)的初始條件y(x,0)和y(x,0)決定。.根據(jù)梁的邊界條件，可確定梁的無限多個固有頻率pi和相應(yīng)的振型77固有頻率與振型函數(shù)討論幾種常見梁的情形。1．簡支梁由簡支梁的邊界條件(6.4.14)推知固有頻率與振型函數(shù)討論幾種常見梁的情形。78有c1+c3=0,c1－c3=0c1=c3=0c2shbl+c4sinbl=0c2shbl－c4sinbl=0因?yàn)閎l0時(shí)，shbl0，得c2=0特征方程為sinbl=0(6.4.24)特征根為bi=ip/l,i=1,2,…,(6.4.25)有c1+c3=0,c1－c79因?yàn)閎2=p/a

系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)為因?yàn)閎2=p/a802．固支梁由下圖固支梁的邊界條件(6.4.13)可推知2．固支梁81由(6.4.28)，(6.4.29)有c1+c3=0,c2＋c4=0c1=－c3，c2＝－c4(chbl－cosbl)c1+(shbl－sinbl)c2=0(shbl+sinbl)c1+(chbl－cosbl)c2=0(6.4.30)彈性體振動課件82要使c1，c2有非零解，上式的系數(shù)行列式必須為零，即考慮到ch2bl－sh2bl=1,cos2bl+sin2bl=1(6.4.31)可化簡為cosblchbl=1(6.4.32)要使c1，c2有非零解，上式的系數(shù)行列83這是兩端固支梁的特征方程。用數(shù)值解法可以求得一系列bi值(i＝1,2,…)。前5階的特征根如下(不包括零根）：其中，對應(yīng)于i2的各個特征根可足夠準(zhǔn)確地取為bil≈(i+1/2)p,i=2,3,4,…這是兩端固支梁的特征方程。84梁的各固有頻率相應(yīng)地為pi=bi2(EI/r)1/2

i=1,2,…(6.4.33)求得各特征根后，由(6.4.30)可確定系數(shù)c1，c2的gi。梁的各固有頻率相應(yīng)地為85故與pi相應(yīng)的各振型函數(shù)可取為Xi(x)=chbix－cosbix+gi(shbix－sinbix)(6.4.35)

其中前3階振型函數(shù)如圖。故與pi相應(yīng)的各振型函數(shù)可取為863.自由梁可證明：從自由梁的邊界條件得到的自由梁彎曲振動的特征方程與固支梁特征方程(6.4.32)相同。3.自由梁87

不過自由梁還有b＝0的二重特征根。它們分別對應(yīng)于自由梁的兩種橫向剛體運(yùn)動，即在對稱面內(nèi)的鉛直平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。需要指出，雖然自由梁與固支梁有相向的彎曲振動固有頻率，但它們對應(yīng)的振型函數(shù)卻是不同的。不過自由梁還有b＝0的二重特征根。884.懸臂梁一端固定，一端自由梁的邊界條件可表示為X(0)=X’(0)=0(6.4.36)X”(l)=X’”(l)=0(6.4.37)由上c3=－c1c4＝－c2(chbl＋cosbl)c1+(shbl＋sinbl)c2=0(shbl－sinbl)c1+(chbl＋cosbl)c2=0(6.4.38)4.懸臂梁89方程(6.4.38)有非零解的條件為化簡后有即為懸臂梁彎曲振動的特征方程。它的前5階特征根可借數(shù)值解法求得如下：方程(6.4.38)有非零解的條件為90其中對于i

3的各特征根可足夠準(zhǔn)確地取為bil≈(i－1/2)p,i=1,2,…各階固有頻率相應(yīng)地為pi=bi2(EI/r)1/2,i=1,2,…(6.4.40)將各特征根代入方程(6.4.38)，可確定系數(shù)c1與c2的比值zi其中對于i3的各特征根可足夠準(zhǔn)確地取為91故與pi相應(yīng)的振型函數(shù)可取為故與pi相應(yīng)的振型函數(shù)可取為92

懸臂梁的前3階振型函數(shù)如上圖所示。由基本邊界條件組合的共它梁的情形列于下表。懸臂梁的前3階振型函數(shù)如上圖所示。93彈性體振動課件94懸臂梁自由端加上橫向彈性支承，其彈簧剛度系數(shù)力k。對下圖所示梁，其邊界條件為：懸臂梁自由端加上橫向彈性支承，其彈簧剛度系數(shù)力k。對下95由固定端的邊界條件有c1=－c3，c2=－c4由邊界條件(6.4.44)及上式，有由固定端的邊界條件有96方程(6.4.45)有非零解的條件經(jīng)整理化簡后為方程(6.4.45)有非零解的條件經(jīng)整理化簡后為97兩種極端情形：(1)當(dāng)k＝0時(shí)，(6.4.46)轉(zhuǎn)化為1+chblcosbl=0即得到懸臂梁的特征方程。

(2)當(dāng)k時(shí)，彈性支承就相當(dāng)于鉸支端，(6.4.46)轉(zhuǎn)化chblsinbl－shblcosbl=0thbl=tanbl(6.4.47)即得到一端固定，一端鉸支情形下的特征方程。兩種極端情形：98前討論過多自由度系統(tǒng)主振型的正交性，這種正交性是模態(tài)分析法的基礎(chǔ)。彈性體振動具有類似的特性。從前幾節(jié)的討論可以看到，一些簡單邊界條件下的振型函數(shù)是三角函數(shù)，它們的正交性是比較熟悉的。另—些情形下得到的振型函數(shù)包含雙曲函數(shù)，它們的正交性以及更一般情形下振型函救的正交性尚待進(jìn)一步說明。6.6振型函數(shù)的正交性前討論過多自由度系統(tǒng)主振型的正交性，這種正交性是模態(tài)分析法的99討論正交性時(shí)，不必涉及振型函數(shù)的具體形式。所以放寬—些假設(shè)條件，考察變截面梁的情形。這時(shí)，梁單位長度的質(zhì)量r(x)以及截面剛度EI(x)都是x的已知函數(shù)，不必為常數(shù)，故梁自由彎曲振動微分方程為討論正交性時(shí)，不必涉及振型函數(shù)的具體形式。所以放寬—些假設(shè)條100采用分離變量法，將y(x,t)表示為y(x,t)=X(x)Y(t)(6.6.2)將它代入方程(6.6.1)進(jìn)行分離變量后，可得分兩種情形進(jìn)行討論。采用分離變量法，將y(x,t)表示為1011.以基本邊界條件組合的梁的情形當(dāng)梁的邊界條件為基本邊界條件時(shí)，與(6.4.13)，(6.4.14)，(6.4.15)相對應(yīng)的邊界條件分別為固支端鉸支端1.以基本邊界條件組合的梁的情形102自由端現(xiàn)假設(shè)方程(6.6.4)在一定的邊界條件下，對應(yīng)于任意兩個不同的特征值pi或pj的振型函數(shù)分別為Xi(x)與Xj(x)，于是有自由端103對(6.6.8)乘以Xj(x)dx，然后在0＜x＜l上對x進(jìn)行積分，得(6.6.10)再對(6.6.9)乘以Xi(x)dx，然后在0＜x＜l上對x進(jìn)行積分，得對(6.6.8)乘以Xj(x)dx，然后在0＜x＜l104(6.6.11)(6.6.11)105(6.6.10)與(6.6.11)相減，可得(6.6.10)與(6.6.11)相減，可得106如果以(6.6.5)~(6.6.7)中任意兩個式子組合成梁的邊界條件，那末(6.6.12)右端都將等于零。所以，在這情形下，就有已假設(shè)pi≠pj，故有稱振型函數(shù)Xi(x)與Xj(x)關(guān)于質(zhì)量密度r(x)正交。亦稱以r(x)為權(quán)的加權(quán)正交。如果以(6.6.5)~(6.6.7)中任意兩個式子組合107當(dāng)r(x)等于常數(shù)時(shí)，Xi(x)與Xj(x)具有的通常意義下的正交性：考慮到(6.6.13)，從(6.6.10)或(6.6.11)都可以看到，在上述邊界條件下，有當(dāng)r(x)等于常數(shù)時(shí)，Xi(x)與Xj(x)具有的108梁彎曲振動振型函數(shù)關(guān)于剛度EI(x)的正交性，實(shí)際是振型函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所具有的正交性。當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，(6.6.12)自然滿足。記下列積分為

Mi稱為第i階振型的廣義質(zhì)量，Ki稱為第i階振型的廣義剛度。由(6.6.10)或(6.6.11)不難看到，有Ki/Mi=pi2梁彎曲振動振型函數(shù)關(guān)于剛度EI(x)的正交性，實(shí)際是1092．梁邊界條件中含有非基本邊界條件情形當(dāng)梁的邊界條件含有非基本邊界條件時(shí)，振型函數(shù)的正交關(guān)系需要修正。比如：當(dāng)梁l端為彈性支承時(shí)，邊界條件為2．梁邊界條件中含有非基本邊界條件情形110將它代入(6.6.12)與(6.6.10)，可得將它代入(6.6.12)與(6.6.10)，可得111當(dāng)梁l端具有附加質(zhì)量時(shí)，邊界條件為將它代入(6.6.12)與(6.6.10)，可得當(dāng)梁l端具有附加質(zhì)量時(shí)，邊界條件為1126.7連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)離散系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)分析中，利用主振型的正交性，使微分方程解耦，從而使多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)分析可以轉(zhuǎn)化為多個單自由度系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)問題。在求得各模態(tài)的響應(yīng)后，再進(jìn)行疊加，就可以得到原系統(tǒng)的響應(yīng)。這種模態(tài)分析方法也稱主振型疊加法。6.7連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)離散系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)分析中，利用主113對于具有無限多自由度的連續(xù)系統(tǒng)，也可以用這種方法來求系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。前已對一維連續(xù)系統(tǒng)舉例說明了過程，下面用梁的彎曲振動為例更一般地再次說明。設(shè)有彎曲剛度為EI(x)，質(zhì)量分布密度為r(x)的梁。在分布載荷p(x，t)的作用下，梁的彎曲振動微分方程(6.4.4)可改寫為對于具有無限多自由度的連續(xù)系統(tǒng)，也可以用這種方法來求系統(tǒng)的強(qiáng)114梁的各階振型函數(shù)Xi(x)滿足下列方程和相應(yīng)的邊界條件。對于基本邊界條件，振型函數(shù)也滿足下列正交關(guān)系梁的各階振型函數(shù)Xi(x)滿足下列方程和相應(yīng)的邊界條115設(shè)方程(6.7.1)的解可以表示為振型函數(shù)的無窮級數(shù)，即其中各qi(t)可以看做系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)(相當(dāng)于多白由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo))?？捎美窭嗜辗匠虂硗茖?dǎo)各廣義坐標(biāo)滿足的運(yùn)動微分方程。設(shè)方程(6.7.1)的解可以表示為振型函數(shù)的無窮級數(shù)，即116系統(tǒng)動能表達(dá)式由(6.7.5)，梁各點(diǎn)的速度可表示為考慮到(6.7.3)，系統(tǒng)的動能可表達(dá)為系統(tǒng)動能表達(dá)式117式中式中118系統(tǒng)勢能表示式只考慮梁的彎曲勢能，由(6.7.5)，梁各截面上的彎矩M(x)可表示為系統(tǒng)勢能表示式119式中式中120

Ki稱為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義剛度。且有廣義力Qi由式(6.7.5)，梁的虛位移可表示為Ki稱為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義剛度。且有121梁的分布載荷p(x,t)在上述虛位移上所做的虛功為式中定義了廣義力Qi為梁的分布載荷p(x,t)在上述虛位移上所做的虛功為式中定義122將上得到的動能Ek、勢能Ep以及廣義力Qi的表示式代入拉格朗日方程可得廣義坐標(biāo)qi的下列運(yùn)動微分方程將上得到的動能Ek、勢能Ep以及廣義力Qi的表示式代入123方程(6.7.1)即是廣義坐標(biāo)qi(t)應(yīng)滿足的方程。它的解可利用單自由度系統(tǒng)討論的結(jié)果得到。假設(shè)梁的初始條件為方程(6.7.1)即是廣義坐標(biāo)qi(t)應(yīng)滿足的方程。它的解124利用振型函數(shù)的正交性，得到用廣義坐標(biāo)表示的初始條件為利用振型函數(shù)的正交性，得到用廣義坐標(biāo)表示的初始條件為125方程(6.7.11)的通解可確定為方程(6.7.11)的通解可確定為126將上式代入式(6.7.5)中，得到梁在初始激擾及廣義力作用下的響應(yīng)，即將上式代入式(6.7.5)中，得到梁在初始激擾及廣義力127討論：(1)如作用在梁上的載荷不是分布力，而是作用在梁上某點(diǎn)x1處的集中力p(t)，那末利用d函數(shù)，可將集中力的分布集度表示為討論：(1)如作用在梁上的載荷不是分布力，而是作用128(2)在方程(6.7.11)中，要遇到積分因?yàn)閄i(x)包含有雙曲函數(shù)，所以要完成這個積分有時(shí)比較困難的，常借助于數(shù)值積分完成。對集中力來說，利用d函數(shù)的性質(zhì)可以避免這一困難。(2)在方程(6.7.11)中，要遇到積分因?yàn)閄i(x129例均勻簡支梁在t＝0時(shí)除兩個端點(diǎn)外，其它各點(diǎn)均獲得橫向初速度v，在x＝l/2處作用有一正弦激勵力p(t)=Psinwt，求此后梁的響應(yīng)。解均勻簡支梁的固有頻率為相應(yīng)的振型函數(shù)為例均勻簡支梁在t＝0時(shí)除兩個端點(diǎn)外，其它各點(diǎn)均獲得橫向初速130第i階振型的廣義質(zhì)量mi為故i=1,2,…第i階振型的廣義質(zhì)量mi為131設(shè)梁的響應(yīng)可表示仍為i=1,2,… 設(shè)梁的響應(yīng)可表示仍為i=1,2,… 132模態(tài)坐標(biāo)hi(t)所滿足的方程為模態(tài)坐標(biāo)hi(t)所滿足的方程為133i=1,2,…

i=1,2,…134最后有

最后有135注意到對此問題，由于不考慮阻尼，除了以sinwt項(xiàng)代表的系統(tǒng)強(qiáng)迫穩(wěn)態(tài)響應(yīng)外，系統(tǒng)的初始激勵振動和伴隨自由振動響應(yīng)(以sinwit項(xiàng)代表)也不衰減。實(shí)際系統(tǒng)總是存在阻尼的，這些瞬態(tài)項(xiàng)理應(yīng)隨時(shí)間衰減掉，故對連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理中也應(yīng)當(dāng)考慮阻尼。注意到對此問題，由于不考慮阻尼，除了以sinwt項(xiàng)代表的系統(tǒng)136在連續(xù)系統(tǒng)模型中考慮一般阻尼，嚴(yán)格的說，如要保持振形函數(shù)的正交性，要求的數(shù)學(xué)處理要復(fù)雜的多。好在前面已經(jīng)看到，多自由度的適用于比例阻尼或無阻尼系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)方法，能夠在非比例阻尼的條件下保持相當(dāng)高的計(jì)算精度。在連續(xù)系統(tǒng)模型中考慮一般阻尼，嚴(yán)格的說，如要保持振形函數(shù)的正137類比到這里無窮多自由度的連續(xù)系統(tǒng)，推薦的處理方法是假設(shè)無阻尼連續(xù)系統(tǒng)所對應(yīng)振形函數(shù)的對質(zhì)量和剛度的正交性在有阻尼時(shí)總是保持；因此可以定義各階模態(tài)阻尼比zi(i=1,2,…)并獲解耦的有阻尼“單自由度”模態(tài)坐標(biāo)兩階微分方程,則各階模態(tài)坐標(biāo)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中就會有如exp(-ziwit)項(xiàng)出現(xiàn)以代表阻尼效應(yīng)。類比到這里無窮多自由度的連續(xù)系統(tǒng)，推薦的處理方法是假設(shè)無阻尼138最后所得就和前比例阻尼實(shí)模態(tài)疊加響應(yīng)公式類似了，只是對連續(xù)系統(tǒng)疊加項(xiàng)為無窮多。這一包括阻尼的處理過程對弦、桿、梁及后將討論的薄板問題都類似。最后所得就和前比例阻尼實(shí)模態(tài)疊加響應(yīng)公式類似了，只是對連續(xù)系139例均勻簡支梁受圖所示突加分布載荷

P(x,t)=cxF(t)/l的作用。求梁的動響應(yīng)。解簡支梁的固有頻率、振型函數(shù)和廣義質(zhì)量在前例中已經(jīng)確定，現(xiàn)將梁的動態(tài)響應(yīng)表示為例均勻簡支梁受圖所示突加分布載荷140彈性體振動課件141廣義坐標(biāo)qi(t)所滿足的微分方程為廣義坐標(biāo)qi(t)所滿足的微分方程為142其中廣義力Qi(t)為其中廣義力Qi(t)為143故廣義坐標(biāo)qi(t)的運(yùn)動微分方程為對應(yīng)零初始條件，上述方程的解為故廣義坐標(biāo)qi(t)的運(yùn)動微分方程為144故梁的動態(tài)響應(yīng)可確定為故梁的動態(tài)響應(yīng)可確定為145本章結(jié)束本章結(jié)束146下講一點(diǎn)薄板問題。下講一點(diǎn)薄板問題。147第六章

彈性體振動第六章

彈性體振動148前各章在討論振動問題時(shí)采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個自由度，且運(yùn)動規(guī)律由常微分方程來確定。事實(shí)上，它只是現(xiàn)實(shí)問題中的一類力學(xué)模型。6.1介紹前各章在討論振動問題時(shí)采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個149客觀現(xiàn)實(shí)的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng))，它的物理參數(shù)是分布型的，具有無限多個自由度，且運(yùn)動規(guī)律由偏微分方程來確定。客觀現(xiàn)實(shí)的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)150由于描述的都是振動現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度系統(tǒng)振動分析所形成的一系列重要概念。在彈性體振動分析中都有相應(yīng)的地位和發(fā)展。在彈性體振動中系統(tǒng)固有頻率的數(shù)目增大為無限多個；主振型的概念發(fā)展為固有振型函數(shù)，而且這些振型函數(shù)之間也存在關(guān)于分布質(zhì)量與剛度的加權(quán)正交性；由于描述的都是振動現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度151在線性振動問題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析法、脈沖響應(yīng)法、頻率響應(yīng)法等同樣適用于彈性體振動分析。在線性振動問題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析152在考察實(shí)際振動問題時(shí)，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對象作具體處理。例如。飛機(jī)蒙皮一般取為薄板模型，渦輪盤取為厚圓板模型。渦輪葉片則取為薄殼或厚殼模型等。當(dāng)考察振動體內(nèi)彈性波的傳播問題時(shí)，就得采用彈性體模型。在考察實(shí)際振動問題時(shí)，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對153討論理想彈性體的振動。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：1）勻質(zhì)分布；2）各向同性；3）服從虎克定律。通過對一些簡單形狀的彈性體的振動分析，著重說明彈性體振動的特點(diǎn)，弄清它與多自由度系統(tǒng)振動的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)。討論理想彈性體的振動。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：1546.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動

弦振動從有限多自由度模型到無限多自由度模型－連續(xù)系統(tǒng)6.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動

弦振動從有限多自由度模型到無限多155張力為T的弦振動－多自由度模型張力為T的弦振動－多自由度模型156根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點(diǎn)橫向振動的微分方程為假定作微小振動，因此根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點(diǎn)橫向振動的微分方程為157考慮到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動中保持不變。進(jìn)一步簡化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中張力可近似看做常量T。并且有在弦的兩端有y0＝y(tǒng)n+1＝0?？紤]到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動中保持不變。進(jìn)一步158寫成矩陣形式，有寫成矩陣形式，有159將上式兩端向除以Dxi，得隨著質(zhì)點(diǎn)數(shù)n的增加。質(zhì)點(diǎn)間的距離Dxi越來越小，弦上各質(zhì)點(diǎn)的位移yi(t)將趨于—連續(xù)函數(shù)y(x,t)。同時(shí)，分別是弦上單位長度的質(zhì)量和作用在弦上單位長度上的載荷。將上式兩端向除以Dxi，得160于是方程(6.2.4)演化為一階偏微分方程：其邊界條件y(0,t)=y(l,t)=0可見，對連續(xù)體若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似確定系統(tǒng)在外激擾力作用的響應(yīng)，這種做法在實(shí)際問題中常常用到。若把弦作為連續(xù)系統(tǒng)，精確地確定系統(tǒng)的響應(yīng)，則需求解偏微分方程(6.2.5)。于是方程(6.2.4)演化為一階偏微分方程：161弦的振動微分方程及其自由振動直接就連續(xù)體來推導(dǎo)弦橫向振動的微分方程。如圖在弦作微振動假設(shè)下，有：考慮到微元段在水平方向的平衡，弦中張力可近似看成是常量T。弦的振動微分方程及其自由振動直接就連續(xù)體來推導(dǎo)弦橫向振動的微162微元段的運(yùn)動微分方程為與方程(6.2.5)完全相同。微元段的運(yùn)動微分方程為163

討淪無阻尼自由振動的情形。此時(shí)p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可寫成

稱做一維波動方程，c就是波沿弦向的傳播速度。要求給出系統(tǒng)的邊界條件和初始條件討淪無阻尼自由振動的情形。164方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動解，另一種是振動解。波動解將弦的運(yùn)動表示為y(x,t)=f1(x－ct)+f2(x+ct)即把弦的運(yùn)動看成是由兩個相同形式的反向行進(jìn)波的疊加。振動解則將弦的運(yùn)動表示成各橫向同步運(yùn)動的疊加，各點(diǎn)的振幅在空間按特定的模式分布。方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動解，另一種165兩種解從不同的角度描述了弦的運(yùn)動，各有其特點(diǎn)。波動解能形象直觀地描述波動過程，給出任何時(shí)劃清晰的波形，但求解比較復(fù)雜；振動解揭示了弦的運(yùn)動由無窮多個簡諧運(yùn)動疊加而成。兩種解從不同的角度描述了弦的運(yùn)動，各有其特點(diǎn)。166對特定動力分析過程，選擇什么形式的解要視實(shí)際問題的需要來定。這既取決于擾動源的性質(zhì)，又取決于所考慮物體的相對尺寸，同時(shí)還與所關(guān)心的問題等因素有關(guān)。在一般機(jī)械系統(tǒng)中，直接進(jìn)行振動分析更為簡單可行。下面尋求方程(6.2.6)的振動解。對特定動力分析過程，選擇什么形式的解要視實(shí)際問題的需要來定。167觀察弦的自由振動可以發(fā)現(xiàn)。弦的運(yùn)動呈現(xiàn)同步振動，即在運(yùn)動中，弦的各點(diǎn)同時(shí)達(dá)到最大幅值，又同時(shí)通過平衡位置，而整個弦的振動形態(tài)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)語言來說，描述弦振動的函數(shù)y(x,t)可以分解為空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積。即y(x,t)=X(x)Y(t)(6.3.9)觀察弦的自由振動可以發(fā)現(xiàn)。弦的運(yùn)動呈現(xiàn)同步振動，即在運(yùn)動中，168其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個弦的振動形態(tài)。Y(t)描述弦各點(diǎn)的振動規(guī)律。將(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)，所以要使上式對任意的x、t都成立，只有兩邊都等于同一常數(shù)。設(shè)這一常數(shù)為a，有其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個弦的振動形態(tài)。Y(t)描169只有當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，才能從上述第一個方程中確定振動運(yùn)動。所以，取a=－p2于是，上述方程改為只有當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，才能從上述第一個方程中確定振動運(yùn)動。所以，170方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是Y(t)=Asinpt+Bcospt(6.2.12)X(x)=Csinbt+Dcosbt(6.2.12)其中A，B，C，D為積分常數(shù)。另外由邊界條件(6.2.7)，得X(0)=0(6.2.14)X(l)=0(6.2.15)于是有D=0方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是171而由條件(6.2.15)可得sinbl=0(6.2.16)上式稱做弦振動的特征方程。由此可確定一系列特征值bi所以系統(tǒng)的各階固有頻率為：而由條件(6.2.15)可得172與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為弦對應(yīng)于各階固有頻率pi的主振動為與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為173弦的自由振動可以表示為各階主振動的疊加，即有其中Ai，Bi由運(yùn)動的初始條件確定。將初始條件(6.2.8)代入上式，有弦的自由振動可以表示為各階主振動的疊加，即有174三角函數(shù)族具有正交性，即由此可得三角函數(shù)族具有正交性，即175由以上討論可見，張緊的弦的自由振動除了基頻(最低頻率p1)振動外，還可以包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動，這種倍頻振動亦稱諧波振動。由以上討論可見，張緊的弦的自由振動除了基頻(最低頻率p1)振176例求前圖(a)所示弦的前3階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)。解將i＝1，2，3分別代入式(6.2.18)和(6.2.19)中，有例求前圖(a)所示弦的前3階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)。177系統(tǒng)的前3階振型函數(shù)如下圖所示。系統(tǒng)的前3階振型函數(shù)如下圖所示。178討論：(1)弦的各階固有頻率由低到高成倍增長，相應(yīng)的波形的波數(shù)逐漸增多。振幅始終為零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)數(shù)隨振型階數(shù)的增向而逐一增加。一般地說，第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。(2)如果將弦縮聚成三自由度系統(tǒng)(如下圖所示)，用離散系統(tǒng)的振動分析方法，可以得到系統(tǒng)前3階固有頻率為討論：(1)弦的各階固有頻率由低到高成倍增長，相應(yīng)179與彈性體的分析結(jié)果比較，基頻的誤差為2.6%，一階主振型也較好地接近一階振型函數(shù)X1(x)，隨著階次的增加，誤差增大。與彈性體的分析結(jié)果比較，基頻的誤差為2.6%，一階主振型也較1806.3導(dǎo)致一維波動方程的

其它振動系統(tǒng)比較典型的有：桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動。6.3導(dǎo)致一維波動方程的

其它振動系統(tǒng)比較典型的有：181桿的縱向振動桿的縱向振動182以u(x，t)表示桿上距原點(diǎn)x處在t時(shí)刻的縱向位移。在桿上取微元段dx，它的受力如上圖(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，它的運(yùn)動方程為以u(x，t)表示桿上距原點(diǎn)x處在t時(shí)刻的縱向位移。在桿上取183將它代入式(6.3.1)并化簡，得將它代入式(6.3.1)并化簡，得184可見桿的縱向振動的運(yùn)動微分方程也是一維波動方程。方程的求解仍可采用上節(jié)中的分離變量法。將u(x,t)表為：u(x,t)=X(x)U(t)(6.3.5)可見桿的縱向振動的運(yùn)動微分方程也是一維波動方程。方程的求解仍185按上類似的方式可得：其中固有頻率p與振型函數(shù)X(x)由桿的邊界條件確定。典型的邊界條件有以下幾種：按上類似的方式可得：186(1)固定端該處縱向位移為零，即有u(x,t)=0,x=0orl(2)自由端該處軸向內(nèi)力為零，即有(3)彈性支承設(shè)桿的右端為彈性支承(如圖(a))，則此處軸向內(nèi)力等于彈性力，即(1)固定端該處縱向位移為零，即有187

(4)慣性載荷設(shè)桿的右端附—集中質(zhì)量塊(圖(b))，則此處桿的軸向內(nèi)力等于質(zhì)量塊的慣性力，即

188例一勻質(zhì)細(xì)直桿的左端固定，右端通過彈簧與固定點(diǎn)相連(如上圖(a))。試推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。解桿在兩端的邊界條件可表示為u(0,t)=0

和

即例一勻質(zhì)細(xì)直桿的左端固定，右端通過彈簧與固定點(diǎn)相連(如上189將此邊界條件代入振型函數(shù)X(x)，(式(6.3.7))中，可得由此可知，系統(tǒng)的頻率方程為將此邊界條件代入振型函數(shù)X(x)，(式(6.3.7))中，可190對應(yīng)給定的a值，不難找到各固有頻率pi的數(shù)值解，而與各個pi相應(yīng)的振型函數(shù)為對應(yīng)給定的a值，不難找到各固有頻率pi的數(shù)值解，而與各個pi191軸的扭轉(zhuǎn)振動長為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓截面對其中心的極慣性矩為Ip，材料剪切彈性模量為G。軸的扭轉(zhuǎn)振動長為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓192假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動。以q

(x,t)表示軸上x截面處在t時(shí)刻相對左端面的扭轉(zhuǎn)角。為推導(dǎo)軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程，從其中截取一微元段如上圖。列出運(yùn)動微分方程為其中T為軸上x截面處的扭矩。由材料力學(xué)知，代入式(6.3.8)，整理得假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動。以q(x,193其中c2=G/r。可見軸的扭轉(zhuǎn)振動微分方程仍為一維波動方程。常見的邊界條件有以下幾種：(1)固定端該處轉(zhuǎn)角為零，即有q(x,t)=0，x=0orl其中c2=G/r。可見軸的扭轉(zhuǎn)振動微分方程仍為一維波動方程。194(2)自由端該處扭矩為零，即(3)彈性支承若軸的右端通過剛度為Kt的扭簧與固定點(diǎn)相連，則有(4)慣性載荷若軸的右端附有一圓盤，則有(2)自由端該處扭矩為零，即195上(4)中J0為圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。例設(shè)軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖所示。圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量力J0，試考察這—系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。上(4)中J0為圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。196解設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動可表為q(x,t)=X(x)Q(t)且有Q(t)=Asinpt+BcosptX(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c)軸在左端有u(0,t)＝0，軸的右端有解設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動可表為197以上邊界條件也可表示為由上二式可得以上邊界條件也可表示為198或?qū)懗蒪tanb=a

(c)其中b=pl/c,a=Iprl/J0

式(c)即軸系的特征方程。

a的物理意義為軸的轉(zhuǎn)動慣量與園盤轉(zhuǎn)動慣量之比。對于給定的a值，不難找出軸系固有頻率的數(shù)值解。

在實(shí)用上，通常基頻振動最為重要。其對應(yīng)于基頻特征值b1。或?qū)懗?99注意，當(dāng)a取小值時(shí)，b1亦為小值。如近似地取tanb=b，則式(c)化簡為b2=a(d)可寫成p2=c2rIp/(J0l)=GIp/(J0l)GIp/l就是軸的扭轉(zhuǎn)彈簧常數(shù)，上式也就是略去軸的質(zhì)量后所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式?？煽吹剑?dāng)a＝0.3時(shí)，由上式給出的固有頻率近似值的誤差約為5%。注意，當(dāng)a取小值時(shí)，b1亦為小值。如近似地取tanb=200進(jìn)一步的近似可取tanb≈b+b

3/3，這時(shí)有即有再將式(d)中的b2代入上式右端。可得進(jìn)一步的近似可取tanb≈b+b3/3，這時(shí)有201或?qū)懗?e)上式也就是將軸轉(zhuǎn)動慣量的1/3加到圓盤后所得單自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。它和瑞利法所得的結(jié)果相一致?？煽吹?，當(dāng)a＝1時(shí)，用式(e)所得的基頻近似值的誤差還不到1%。所以，只要軸的轉(zhuǎn)動慣量不大于圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，那末計(jì)算基頻近似式(e)在實(shí)用上已足夠準(zhǔn)確。或?qū)懗?02一維連續(xù)彈性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動響應(yīng)總是工程實(shí)際所關(guān)心的。連續(xù)介質(zhì)的彈性系統(tǒng)強(qiáng)迫振動響應(yīng)也是建立在自由振動分析的基礎(chǔ)上，即在獲得了對該系統(tǒng)的特征值bi和振型函數(shù)Xi

(x)的基礎(chǔ)上。下以一個例子來說明過程。一維連續(xù)彈性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動響應(yīng)總是工程實(shí)際所關(guān)心的。203例考察左端固定、右端附有質(zhì)量M的桿，設(shè)AE為常數(shù)，初始條件為零，質(zhì)量M上作用有諧波力F(t)=F0sinwt。解：由題意有(a)設(shè)主振動為

(b)例考察左端固定、右端附有質(zhì)量M的桿，設(shè)AE為常數(shù)，初始條件204這里的wi，Xi(x)分別為前(c)，(d)所給，Xi(x)中Ai由(e)的歸一條件定出。將(b)代入(a)，兩邊前乘Xj(x)并沿桿長積分，注意(e)，(f)及對d函數(shù)的積分性質(zhì)，有這里的wi，Xi(x)分別為前(c)，(d)所給，Xi(x)205因?yàn)橛商卣鞣匠?，?Mw2X(l)=EAX’(l)，就有因?yàn)?06(c)(d)(e)(f)(c)207最后最后2086.4梁的彎曲振動梁彎曲振動的運(yùn)動方程考察勻質(zhì)等截面細(xì)直梁的橫向彎曲振動;假定梁只有縱向?qū)ΨQ平面，所受的外力也在此對稱平面內(nèi)，故梁在此平面內(nèi)作彎曲振動；還假定梁的長度與截面高度之比大于10。如下圖6.4梁的彎曲振動梁彎曲振動的運(yùn)動方程209設(shè)梁長為l，單位長度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建立如上圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)梁長為l，單位長度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建210根據(jù)材料力學(xué)“簡單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響；這種梁稱做歐拉—貝努利(Euler-Bernoulli)梁。梁上各點(diǎn)的運(yùn)動只需用梁軸線的橫向位移表示。根據(jù)材料力學(xué)“簡單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響；211在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位移可用y(x,t)表示。按其受力情況。微元段沿y方向的運(yùn)動方程為忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響，各力對右截面上任一點(diǎn)的矩之和應(yīng)為零，即在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位212略去二階微量，有由材料力學(xué)知，彎矩與撓曲線的關(guān)系為將(6.4.2)和(6.4.3)代入(6.4.1)中，得略去二階微量，有213上式就是梁彎曲振動的運(yùn)動微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振動，其運(yùn)動微分方程為(6.4.5)或?qū)懗?6.4.6)其中a2=EI/r上式就是梁彎曲振動的運(yùn)動微分方程。如p(x,t)=0，梁214粱的自由振動粱彎曲振動的運(yùn)動微分方程(6.4.6)是一個四階偏微分方程。為求其振動解，仍采用分離變量法，即假定方程(6.4.6)的解為y(x,t)=X(x)Y(t)(6.4.7)將(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得粱的自由振動粱彎曲振動的運(yùn)動微分方程(6.4.6)是215要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常數(shù)。取這一常數(shù)為－p2，于是有方程(6.4.9)的通解為要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常216方程(6.4.10)是一個四階常系數(shù)線性微分方程，它的特征方程是l4－b4=0其特征值為l1=b,l2=－b,l3=bj,l4=－bj所以，方程(6.4.10)的通解為X(x)=Cebx+De-bx+Eejbx+Fe-jbx方程(6.4.10)是一個四階常系數(shù)線性微分方程，它的217或表示為X(x)=c1chbx+c2shbx+c3cosbx+c4sinbx(6.4.12)特征值b及振型函數(shù)由梁的邊界條件來確定。對于梁的彎曲振動，基本的邊界條件有以下幾種：(1)固支端固支端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即或表示為218(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即(3)自由端自由端的彎矩與剪力都為零，即(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即219還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集中質(zhì)量。還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集220圖(a)所示梁右端的邊界條件為圖(a)所示梁右端的邊界條件為221圖(b)所示梁右端的邊界條件為

圖(b)所示梁右端的邊界條件為222在所有這些邊界條件中，反映對端點(diǎn)位移或轉(zhuǎn)角的約束條件稱為幾何邊界條件，反映對彎矩或剪力的約束條件稱為力邊界條件。在所有這些邊界條件中，反映對端點(diǎn)位移或轉(zhuǎn)角的約束條件稱為幾何223根據(jù)梁的邊界條件，可確定梁的無限多個固有頻率pi和相應(yīng)的振型函數(shù)Xi(x)因而梁彎曲自由振動的一般表達(dá)式為式中Ai，Bi

(i=1,2,…)由系統(tǒng)的初始條件y(x,0)和y(x,0)決定。.根據(jù)梁的邊界條件，可確定梁的無限多個固有頻率pi和相應(yīng)的振型224固有頻率與振型函數(shù)討論幾種常見梁的情形。1．簡支梁由簡支梁的邊界條件(6.4.14)推知固有頻率與振型函數(shù)討論幾種常見梁的情形。225有c1+c3=0,c1－c3=0c1=c3=0c2shbl+c4sinbl=0c2shbl－c4sinbl=0因?yàn)閎l0時(shí)，shbl0，得c2=0特征方程為sinbl=0(6.4.24)特征根為bi=ip/l,i=1,2,…,(6.4.25)有c1+c3=0,c1－c226因?yàn)閎2=p/a

系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)為因?yàn)閎2=p/a2272．固支梁由下圖固支梁的邊界條件(6.4.13)可推知2．固支梁228由(6.4.28)，(6.4.29)有c1+c3=0,c2＋c4=0c1=－c3，c2＝－c4(chbl－cosbl)c1+(shbl－sinbl)c2=0(shbl+sinbl)c1+(chbl－cosbl)c2=0(6.4.30)彈性體振動課件229要使c1，c2有非零解，上式的系數(shù)行列式必須為零，即考慮到ch2bl－sh2bl=1,cos2bl+sin2bl=1(6.4.31)可化簡為cosblchbl=1(6.4.32)要使c1，c2有非零解，上式的系數(shù)行列230這是兩端固支梁的特征方程。用數(shù)值解法可以求得一系列bi值(i＝1,2,…)。前5階的特征根如下(不包括零根）：其中，對應(yīng)于i2的各個特征根可足夠準(zhǔn)確地取為bil≈(i+1/2)p,i=2,3,4,…這是兩端固支梁的特征方程。231梁的各固有頻率相應(yīng)地為pi=bi2(EI/r)1/2

i=1,2,…(6.4.33)求得各特征根后，由(6.4.30)可確定系數(shù)c1，c2的gi。梁的各固有頻率相應(yīng)地為232故與pi相應(yīng)的各振型函數(shù)可取為Xi(x)=chbix－cosbix+gi(shbix－sinbix)(6.4.35)

其中前3階振型函數(shù)如圖。故與pi相應(yīng)的各振型函數(shù)可取為2333.自由梁可證明：從自由梁的邊界條件得到的自由梁彎曲振動的特征方程與固支梁特征方程(6.4.32)相同。3.自由梁234

不過自由梁還有b＝0的二重特征根。它們分別對應(yīng)于自由梁的兩種橫向剛體運(yùn)動，即在對稱面內(nèi)的鉛直平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。需要指出，雖然自由梁與固支梁有相向的彎曲振動固有頻率，但它們對應(yīng)的振型函數(shù)卻是不同的。不過自由梁還有b＝0的二重特征根。2354.懸臂梁一端固定，一端自由梁的邊界條件可表示為X(0)=X’(0)=0(6.4.36)X”(l)=X’”(l)=0(6.4.37)由上c3=－c1c4＝－c2(chbl＋cosbl)c1+(shbl＋sinbl)c2=0(shbl－sinbl)c1+(chbl＋cosbl)c2=0(6.4.38)4.懸臂梁236方程(6.4.38)有非零解的條件為化簡后有即為懸臂梁彎曲振動的特征方程。它的前5階特征根可借數(shù)值解法求得如下：方程(6.4.38)有非零解的條件為237其中對于i

3的各特征根可足夠準(zhǔn)確地取為bil≈(i－1/2)p,i=1,2,…各階固有頻率相應(yīng)地為pi=bi2(EI/r)1/2,i=1,2,…(6.4.40)將各特征根代入方程(6.4.38)，可確定系數(shù)c1與c2的比值zi其中對于i3的各特征根可足夠準(zhǔn)確地取為238故與pi相應(yīng)的振型函數(shù)可取為故與pi相應(yīng)的振型函數(shù)可取為239

懸臂梁的前3階振型函數(shù)如上圖所示。由基本邊界條件組合的共它梁的情形列于下表。懸臂梁的前3階振型函數(shù)如上圖所示。240彈性體振動課件241懸臂梁自由端加上橫向彈性支承，其彈簧剛度系數(shù)力k。對下圖所示梁，其邊界條件為：懸臂梁自由端加上橫向彈性支承，其彈簧剛度系數(shù)力k。對下242由固定端的邊界條件有c1=－c3，c2=－c4由邊界條件(6.4.44)及上式，有由固定端的邊界條件有243方程(6.4.45)有非零解的條件經(jīng)整理化簡后為方程(6.4.45)有非零解的條件經(jīng)整理化簡后為244兩種極端情形：(1)當(dāng)k＝0時(shí)，(6.