光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件

第二章光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性第二章光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性1本章內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本章內(nèi)容光纖的結(jié)構(gòu)與類型光纖的射線光學(xué)理論分析光纖的波動(dòng)光學(xué)理論分析光纖的損耗、色散和非線性特性光纜的構(gòu)造、結(jié)構(gòu)與型號(hào)本章重點(diǎn)光纖的損耗、色散和非線性特性本章難點(diǎn)光纖的波動(dòng)光學(xué)理論分析本章內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本章內(nèi)容學(xué)習(xí)本章目的和要求了解光纖的結(jié)構(gòu)與類型學(xué)會(huì)用射線和波動(dòng)光學(xué)理論分析光纖的特性掌握光纖的損耗、色散和非線性特性熟悉光纜的構(gòu)造、結(jié)構(gòu)與型號(hào)學(xué)習(xí)本章目的和要求了解光纖的結(jié)構(gòu)與類型2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.2階躍光纖的模式理論2.3單模光纖的色散2.4光纖損耗2.5光纖的非線性效應(yīng)2.6光纖光纜設(shè)計(jì)與制造2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1.1光纖的結(jié)構(gòu) 光纖(OpticalFiber，OF)就是用來導(dǎo)光的透明介質(zhì)纖維，一根實(shí)用化的光纖是由多層透明介質(zhì)構(gòu)成的，一般可以分為三部分：折射率較高的纖芯、折射率較低的包層和外面的涂覆層，如圖2.1所示。2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1.1光纖的圖2.1光纖結(jié)構(gòu)示意圖圖2.1光纖結(jié)構(gòu)示意圖2.1.2光纖的類型光纖的分類方法很多，既可以按照光纖截面折射率分布來分類，又可以按照光纖中傳輸模式數(shù)的多少、光纖使用的材料或傳輸?shù)墓ぷ鞑ㄩL來分類。2.1.2光纖的類型1.按光纖截面上折射率分布分類 按照截面上折射率分布的不同可以將光纖分為階躍型光纖(Step-IndexFiber，SIF)和漸變型光纖(Graded-IndexFiber，GIF)，其折射率分布如圖2.2所示。1.按光纖截面上折射率分布分類圖2.2光纖的折射率分布圖2.2光纖的折射率分布 光纖的折射率變化可以用折射率沿半徑的分布函數(shù)n(r)來表示。 光纖的折射率變化可以用折射率沿半徑的分布函數(shù)n(r)來表示2.按傳輸模式的數(shù)量分類 按光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)量，可以將光纖分為多模光纖(Multi-ModeFiber，MMF)和單模光纖(SingleModeFiber，SMF)。 在一定的工作波上，當(dāng)有多個(gè)模式在光纖中傳輸時(shí)，則這種光纖稱為多模光纖。2.按傳輸模式的數(shù)量分類 單模光纖是只能傳輸一種模式的光纖，單模光纖只能傳輸基模(最低階模)，不存在模間時(shí)延差，具有比多模光纖大得多的帶寬，這對(duì)于高碼速傳輸是非常重要的。3.按光纖的工作波長分類 按光纖的工作波長可以將光纖分為短波長光纖、長波長光纖和超長波長光纖。 單模光纖是只能傳輸一種模式的光纖，單模光纖只能傳輸基模(最4.按ITU-T建議分類 按照ITU-T關(guān)于光纖類型的建議，可以將光纖分為G.651光纖(漸變型多模光纖)、G.652光纖(常規(guī)單模光纖)、G.653光纖(色散位移光纖)、G.654光纖(截止波長光纖)和G.655(非零色散位移光纖)光纖。 按套塑(二次涂覆層)可以將光纖分為松套光纖和緊套光纖。 現(xiàn)在實(shí)用的石英光纖通常有以下三種：階躍型多模光纖、漸變型多模光纖和階躍型單模光纖。4.按ITU-T建議分類2.1.3基本光學(xué)定義和定律 光在均勻介質(zhì)中是沿直線傳播的，其傳播速度為v=c/n 式中：c＝2.997×105km/s，是光在真空中的傳播速度；n是介質(zhì)的折射率(空氣的折射率為1.00027，近似為1；玻璃的折射率為1.45左右)。2.1.3基本光學(xué)定義和定律 反射定律：反射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，反射光線和入射光線處于法線的兩側(cè)，并且反射角等于入射角，即：θ1′＝θ1。 折射定律：折射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，折射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)，且滿足：n1sinθ1=n2sinθ2 反射定律：反射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，反射光折射光到達(dá)纖芯包層界面時(shí)，若人射角ф滿足關(guān)系sinф<n2／nl，則將再次發(fā)生折射。若入射角ф大于臨界角ф

c

，光線在纖芯——包層界面將發(fā)生全反射，ф

c定義為

sinф

c=n2／n1這種全反射發(fā)生在整條光纖上，所有ф

>ф

c的光線都將被限制在纖芯中，這就是光纖約束和導(dǎo)引光傳輸?shù)幕緳C(jī)制。折射光到達(dá)纖芯包層界面時(shí)，若人射角ф滿足關(guān)系2.1.4光纖中光的傳播 一束光線從光纖的入射端面耦合進(jìn)光纖時(shí)，光纖中光線的傳播分兩種情形：一種情形是光線始終在一個(gè)包含光纖中心軸線的平面內(nèi)傳播，并且一個(gè)傳播周期與光纖軸線相交兩次，這種光線稱為子午射線，那個(gè)包含光纖軸線的固定平面稱為子午面；另一種情形是光線在傳播過程中不在一個(gè)固定的平面內(nèi)，并且不與光纖的軸線相交，這種光線稱為斜射線。2.1.4光纖中光的傳播2.1.5階躍光纖 階躍型光纖是由半徑為a、折射率為常數(shù)n1的纖芯和折射率為常數(shù)n2的包層組成，并且n1>n2，如圖2.3所示。2.1.5階躍光纖圖2.3光線在階躍型光纖中的傳播圖2.3光線在階躍型光纖中的傳播1.數(shù)值孔徑(NA)對(duì)入射光來講，只要進(jìn)入纖芯中的光線滿足ф

>ф

c，都將被限制在纖芯中，這樣就可得到將入射光限制在纖芯所要求的與光纖軸線間的最大角度n0sinθ1=

n1sinθ2=(n12-n22)1/2n0sinθ1稱為光纖的數(shù)值孔徑(NA)，代表光纖的集光能力。對(duì)于n1≈n2，NA可近似為NA=n1(2△)1/2，△=(n1-n2)/n1△為纖芯——包層相對(duì)折射率差1.數(shù)值孔徑(NA)2.模間色散（多徑色散）表面上看，NA越大可以耦合進(jìn)光纖的光線越多，以不同角度進(jìn)入光纖的光線，在光纖中將延不同的途徑傳播，雖然在輸入端同時(shí)進(jìn)入光纖，但卻不同時(shí)到達(dá)輸出端，出現(xiàn)了時(shí)間上的分散，導(dǎo)致脈寬嚴(yán)重展寬，這種現(xiàn)象稱為多徑色散，模式理論中稱為模間色散。2.模間色散（多徑色散）經(jīng)歷最短和最長路徑的二束光線間的時(shí)差是輸入脈沖展寬的一種度量，最短路徑正好等于光纖長度L，最長路徑為L／sinф

c，則這兩條光線到達(dá)輸出端時(shí)差△T為為了使種展寬不產(chǎn)生碼間干擾，△T應(yīng)小于信息傳輸容量決定的比特間隔，即△T<TB,而TB=1/B，則應(yīng)有B△T<1，于是可得光纖信息傳輸?shù)娜萘繛榻?jīng)歷最短和最長路徑的二束光線間的時(shí)差是輸入2.1.6漸變光纖 漸變型光纖與階躍型光纖的區(qū)別在于其纖芯的折射率不是常數(shù)，而是從芯區(qū)中心的最大值n1逐漸降低到纖芯—包層界面的最小值n2，大部分漸變光纖按二次方規(guī)律下降，可用所謂的“α分布”分析，其形式為對(duì)階躍光纖α=∞，對(duì)拋物線型光纖α=22.1.6漸變光纖在階躍光纖中光線以曲折的鋸齒形式向前傳播，而在漸變光纖中則以一種正弦振蕩形式向前傳播，如圖2.4所示圖2.4漸變光纖中的光線軌跡在階躍光纖中光線以曲折的鋸齒形式向前傳播，而在在傍軸近似條件下，光線軌跡可用下列微分方程描述當(dāng)折射率n為拋物線分布，α=2時(shí)，則上式可簡化為簡諧振蕩方程，其通解為ρ

=ρ0cos(pz)+(ρ0’/p)sin(pz)式中，p=(2n1△／α

2)1/2;ρ0和ρ0’分別為入射光線的位置和方向。在傍軸近似條件下，光線軌跡可用下列微分方程描上式顯示，所有的射線在距離z=2mπp處恢復(fù)它們的初始位置和方向，其中m為整數(shù)。因此拋物線型光纖不存在多徑或模間色散。注意：這個(gè)結(jié)論是在幾何光學(xué)和傍軸近似下得到的，對(duì)于實(shí)際光纖，這些條件并不嚴(yán)格成立。更嚴(yán)格的分析發(fā)現(xiàn)，光線在長為L的漸變光纖中傳播時(shí)，其最大路徑時(shí)差，即模間色散△T／L將隨α而變。上式顯示，所有的射線在距離z=2mπp處恢復(fù)

圖2.5漸變光纖模間色散和脫積隨a的變化圖2.5漸變光纖模間色散和脫積隨a的變圖2.5給出了n1=1.5和△=0.01的漸變光纖模間色散隨α的變化，其最小色散發(fā)生在α=2(1-Δ)處，它與Δ的關(guān)系為ΔT／L=n1

Δ

2／8c利用準(zhǔn)則BΔT<l，可得比特率一距離積的極限為BL<8c／n1

Δ

2圖2.5給出了n1=1.5和△=0.01的2.1.7光纖中的模式傳輸1.傳導(dǎo)模的概念 模式是波動(dòng)理論的概念。在波動(dòng)理論中，一種電磁場的分布稱之為一個(gè)模式。在射線理論中，通常認(rèn)為一個(gè)傳播方向的光線對(duì)應(yīng)一種模式，有時(shí)也稱之為射線模式。2.1.7光纖中的模式傳輸2.相位一致條件 光纖中光波相位的變化情況如圖2.6所示，在這里以階躍型光纖為例來討論光纖的相位一致條件，不作復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只提及波動(dòng)光學(xué)中的基本觀點(diǎn)和結(jié)論。2.相位一致條件圖2.6光纖中光波相位的變化情況圖2.6光纖中光波相位的變化情況 相位一致條件就是說：如果圖中所示的這個(gè)模式在A、B處相位相等，則經(jīng)過一段傳播距離后，在A′、B′處也應(yīng)該相位相等或相差2π的整數(shù)倍。 光纖的相位一致條件也可以從另外一個(gè)角度出發(fā)得到。根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)可知：波在無限空間中傳播時(shí)，形成行波；而在有限空間傳播時(shí)，形成駐波。 相位一致條件就是說：如果圖中所示的這個(gè)模式在A、B處相位相 對(duì)于漸變型多模光纖，同樣，其導(dǎo)模不僅要滿足全反射條件，還要滿足相位一致條件。 在漸變型多模光纖中，低階模由于靠近光纖軸線，其傳播路程短，但靠近軸線處的折射率大，該處光線傳播速度慢；高階模遠(yuǎn)離軸線，它的傳播路程長，但離軸線越遠(yuǎn)折射率越小，該處光線的傳播速度越快。 對(duì)于漸變型多模光纖，同樣，其導(dǎo)模不僅要滿足全反射條件，還要2.1.8多模光纖與單模光纖 多模光纖和單模光纖是由光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)決定的，判斷一根光纖是不是單模傳輸，除了光纖自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)外，還與光纖中傳輸?shù)墓獠ㄩL有關(guān)。2.1.8多模光纖與單模光纖 為了描述光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)目，在此引入一個(gè)非常重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即光纖的歸一化頻率，一般用V表示，其表達(dá)式如下： 為了描述光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)目，在此引入一個(gè)非常重要的結(jié)構(gòu)參1.多模光纖 顧明思義，多模光纖就是允許多個(gè)模式在其中傳輸?shù)墓饫w，或者說在多模光纖中允許存在多個(gè)分離的傳導(dǎo)模。1.多模光纖2.單模光纖 只能傳輸一種模式的光纖稱為單模光纖。單模光纖只能傳輸基模(最低階模)，它不存在模間時(shí)延差，因此它具有比多模光纖大得多的帶寬，這對(duì)于高碼速傳輸是非常重要的。單模光纖的帶寬一般都在幾十GHz·km以上。2.單模光纖2.2階躍光纖的模式理論用射線光學(xué)理論分析法雖然可簡單直觀地得到光線在光纖中傳輸?shù)奈锢韴D像，但由于忽略了光的波動(dòng)性質(zhì)，不能了解光場在纖芯、包層中的結(jié)構(gòu)分布以及其他許多特性。尤其是對(duì)單模光纖，由于芯徑尺寸小，射線光學(xué)理論就不能正確處理單模光纖的問題。2.2階躍光纖的模式理論用射線光學(xué)理論分析因此，在光波導(dǎo)理論中，更普遍地采用波動(dòng)光學(xué)的方法，即把光作為電磁波來處理，研究電磁波在光纖中的傳輸規(guī)律，得到光纖中的傳播模式、場結(jié)構(gòu)、傳輸常數(shù)及裁止條件。本節(jié)先用波動(dòng)光學(xué)的方法求解波動(dòng)方程，而后引入模式理論得到光纖的一系列重要特性。因此，在光波導(dǎo)理論中，更普遍地采用波動(dòng)光學(xué)2.2.1平面波在理想介質(zhì)中的傳播1.均勻平面波的一般概念 所謂均勻平面波是指在與傳播方向垂直的無限大的平面上，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H的幅度和相位都相等的波型，簡稱為平面波。2.2.1平面波在理想介質(zhì)中的傳播 平面波是非常重要的波型，一些復(fù)雜的波可以由平面波疊加得到。在折射率為n的無限大的介質(zhì)中，一工作波長為λ0的平面波在其中傳播，其波數(shù)為： 式中：k0是真空中的波數(shù)，ω是光的角頻率，μ和ε分別是介質(zhì)的導(dǎo)磁率和介電常數(shù),設(shè)平面波傳播方向的單位矢量為as，則k=as·k稱為平面波在該介質(zhì)中的波矢量。 平面波是非常重要的波型，一些復(fù)雜的波可以由平面波疊加得到。2.平面波在介質(zhì)分界面上的反射和折射 反射波與入射波在原點(diǎn)處的復(fù)振幅之比稱為反射系數(shù)；傳遞波與入射波在原點(diǎn)處的復(fù)振幅之比稱為傳遞系數(shù)，表示為：2.平面波在介質(zhì)分界面上的反射和折射 式中：R、T都是復(fù)數(shù)，包括大小及相位。其模值分別表示反射波、傳遞波與入射波幅度的大小之比；2Ф1、2Ф2是R和T的相角，分別表示在介質(zhì)分界面上反射波、傳遞波比入射波超前的相位。 式中：R、T都是復(fù)數(shù)，包括大小及相位。其模值分別表示反射波3.平面波的全反射 全反射是一種重要的物理現(xiàn)象，當(dāng)光波從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)，且入射角大于臨界角時(shí)才能產(chǎn)生全反射，即全反射必須滿足：n1>n2，θc<θ1<90°。3.平面波的全反射 當(dāng)平面波由光密介質(zhì)射向兩介質(zhì)分界面上時(shí)，根據(jù)入射角θ1的大小，可以產(chǎn)生兩種類型的波：當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)產(chǎn)生導(dǎo)行波，能量集中在光密介質(zhì)及其界面附近；當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)產(chǎn)生輻射波，一部分能量輻射到光疏介質(zhì)中并在其中傳播。對(duì)于光波導(dǎo)來說，導(dǎo)波是一種重要的波型。 當(dāng)平面波由光密介質(zhì)射向兩介質(zhì)分界面上時(shí)，根據(jù)入射角θ1的大2.2.2光纖的波動(dòng)方程1.基本概念(1)麥克斯韋方程組和邊界條件［1］ 在均勻光纖中，介質(zhì)材料一般是線性和各向同性的，并且不存在電流和自由電荷，因此在無源區(qū)域，均勻、無損、簡諧形式的麥克斯韋方程組為：2.2.2光纖的波動(dòng)方程 式中：E為電場強(qiáng)度矢量；D為電位移矢量；H為磁場強(qiáng)度矢量；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。且D與E，B與H有下列關(guān)系。 式中：E為電場強(qiáng)度矢量；D為電位移矢量；H為磁場強(qiáng)度矢量；圖(a)因?yàn)閐0時(shí)，E的回線積分(▽×E的通量)為零，所以它們的切線分量連續(xù)。圖(b)因?yàn)楱尅的體積分為零(無源)，如果h0，則進(jìn)下表面的電通量等于出上表面的電通量，所以它們的法線分量連續(xù)．圖(a)因?yàn)閐0時(shí)，E的回線積分(▽×E的通量)為零，所(2)亥姆霍茲方程 從麥克斯韋方程組出發(fā)，可以導(dǎo)出光波所滿足的亥姆霍茲方程。根據(jù)矢量關(guān)系，有如下兩個(gè)等式。式中：A代表任何一個(gè)矢量，當(dāng)然E、H也滿足上式。(2)亥姆霍茲方程應(yīng)用在光纖中，μ=μ0，且▽?duì)?0，則可以得到光在非均勻介質(zhì)中傳播的基本方程，即矢量亥姆霍茲方程應(yīng)用在光纖中，μ=μ0，且▽?duì)?0，則可(3)波的類型和模式 在單一均勻介質(zhì)中傳播的波為平面波，稱為橫電磁波，用TEM表示，TEM波的電場和磁場方向與波的傳播方向垂直，即在波導(dǎo)的傳播方向上既沒有磁場分量也沒有電場分量，且三者兩兩相互垂直。(3)波的類型和模式 對(duì)于同一類型的波，其場強(qiáng)在圓周方向(即φ方向)或徑向方向(即r方向)的分布情況又會(huì)有所區(qū)別，即電磁場的分布會(huì)不盡相同。 目前通信用光纖的相對(duì)折射率差Δ<<1，稱為弱導(dǎo)光纖。這種光纖可以近似地用平面波束分析光的傳播。 對(duì)于同一類型的波，其場強(qiáng)在圓周方向(即φ方向)或徑向方向(2.階躍型光纖的波動(dòng)理論 階躍型光纖的波動(dòng)理論分析就是以麥克斯韋方程組為基礎(chǔ)，根據(jù)光纖的邊界條件，從亥姆霍茲方程解出階躍型光纖中導(dǎo)波的場方程，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其特征方程，研究其導(dǎo)波模式，分析其傳輸特性。2.階躍型光纖的波動(dòng)理論(1)亥姆霍茲方程的解在圓柱坐標(biāo)系中，設(shè)亥姆霍茲方程解有下述形式的解

(1)亥姆霍茲方程的解標(biāo)量解法近似：所謂標(biāo)量近似就是把橫向電場及磁場作為標(biāo)量，它們的分量、例如橫向電場分量Er和Eφ的振幅都滿足標(biāo)量HelmhoItz方程。采用圓柱座標(biāo)系，Ez分量滿足標(biāo)量Helmholtz方程。這種近似前提條件：弱導(dǎo)行近似即光纖的相對(duì)折射率差Δ<<1。這種近似下，橫向場的幅度近似地認(rèn)為滿足標(biāo)量Helmholtz方程。標(biāo)量解法近似：這種近似在芯子和敷層的相對(duì)折射率之差Δ很小，光纖里射線入射角很大，射線趨近平行于光纖軸(即z座標(biāo))時(shí)是可以的。Δ越小，近似越好。原因是：Δ越小，射入角將越大，才能滿足諧振條件，才能組成正規(guī)模。射入角越大，即射線越平行于光纖軸線，電磁波越接近于平面波，平面波的極化，所以說Δ越小，近似越好。這種近似也可稱為平面波近似。這種近似在芯子和敷層的相對(duì)折射率之差Δ很小，從物理上來說，也是Δ越小，這樣的近似邊界條件越正確。Δ為零時(shí)，電磁場本身和它們沿法線方向的變化率必然連續(xù)。

從物理上來說，也是Δ越小，這樣的近似邊界條件將E和H分解為橫向和縱向分量將其代入矢量亥姆霍茲方程，可得將E和H分解為橫向和縱向分量對(duì)上式進(jìn)一步劃簡，可得前2式是場的橫向分量應(yīng)滿足的矢量波動(dòng)方程，后2式是縱向分量應(yīng)滿足的波動(dòng)方程，顯然是個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程。對(duì)上式進(jìn)一步劃簡，可得先利用標(biāo)量波動(dòng)方程求解縱向場分量，由于該式右邊不等于零，不是齊次方程，求解亦不容易。但是對(duì)階躍光纖，在芯區(qū)和包層中，ε和n是均勻的，因而有▽t

ε=0，▽tn=0，▽tlnn2=0，于是標(biāo)量波動(dòng)方程變成齊次標(biāo)量波動(dòng)方程

先利用標(biāo)量波動(dòng)方程求解縱向場分量，由于該式右通過齊次標(biāo)量波動(dòng)方程求出Ez、Hz分量，將其代入下式就可求出橫向場Er、Eφ、Hr、Hφ分量通過齊次標(biāo)量波動(dòng)方程求出Ez、Hz分量用標(biāo)量解法得出的模式是筒并的，這是因我們分析時(shí)把橫向場作為標(biāo)量，沒有考慮極化方向，所以一個(gè)標(biāo)量場包括兩個(gè)不同極化的波，此外，對(duì)于線極化波還有cosmθ和sinmθ之分，對(duì)橢圓極化波有exp(+mθ)和exp(-mθ)之分?？梢娨粋€(gè)標(biāo)量解包括四個(gè)簡并解，即四重簡并，或四個(gè)精確的模式。用標(biāo)量解法得出的模式是筒并的，這是因我們分析2.2.3階躍光纖中的光場(1)解的形式階躍光纖中，芯區(qū)半徑為a，介電常數(shù)、折射率、磁導(dǎo)率分別為ε1，n1和μ1，且分布均勻，包層中為ε2，n2和μ2而μ1=μ2=μ0在柱坐標(biāo)系中▽t2可展開為在圓周對(duì)稱光纖中，場沿圓周φ以2π為周期，采用分離變量法，設(shè)場Ψ(E或H)有如下形式的解2.2.3階躍光纖中的光場Ψz(r,φ)=Ψ(r)exp(jmφ)芯區(qū):包層:上式是貝塞爾函數(shù)的微分方程，顯然可能有多種Ψ(r)與多個(gè)分立β的組合都可使方程成立，每一種組合稱為一個(gè)導(dǎo)波模式。Ψz(r,φ)=Ψ(r)exp(jmφ)在r≤a的芯區(qū)，由于存在完全內(nèi)反射，光場在z向傳播的速度必小于平面波在n1介質(zhì)中的速度，因而有β<k0n1，或k12-β2>0，場在r方向應(yīng)是振形分布，且在r=0處場幅為有限值，所以在芯區(qū)場的橫向變化可用第一類貝塞爾函數(shù)表示，這個(gè)場稱為受導(dǎo)模或?qū)?，可表示為在r≤a的芯區(qū)，由于存在完全內(nèi)反射，光場在z向傳播的速度必小在r≥a的包層內(nèi)，場在z向的傳播速度必大于平面波在n2介質(zhì)中的速度，因而有β>k0n2，或k22-β2<0，場在r方向?yàn)樗p場或消逝場，且在r∞處，Ψ0，所以在包層區(qū)場的橫向變化可用第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)表示在r≥a的包層內(nèi)，場在z向的傳播速度必大采用同樣的方法，可求得磁場的解芯區(qū):包層:通過分量關(guān)系式即可得到電磁場的各橫向分量。采用同樣的方法，可求得磁場的解需要指出:由變態(tài)貝塞爾函數(shù)的漸近表示可知，當(dāng)wr∞時(shí)，Km(wr)ewr，因此當(dāng)r∞時(shí)，Km(wr)

必為零，所以對(duì)導(dǎo)引模必有w>0，β>k2。若w=0，β=k2，則不滿足Km(wr)|r0=0的條件，導(dǎo)引模將不再約束在纖芯中沿軸傳輸，能量將向橫向輻射出去，所以定義w=0為導(dǎo)引模的截止條件。需要指出:結(jié)合參量w和u，可以定義光纖的重要的結(jié)構(gòu)參量為

一方面與波導(dǎo)尺寸（芯徑a）成正比，另一方面又與真空中的波數(shù)k0成正比，因此稱為光纖的歸一化頻率。是決定光纖中模式數(shù)量重要參數(shù)。結(jié)合參量w和u，可以定義光纖的重要的結(jié)構(gòu)參量為

從以上的求解過程也可以的得出導(dǎo)模的傳輸條件。為了得到纖芯里振蕩、包層里迅速衰減的解的形式，必須滿足：

k12-β2>0和k22-β2<0

因此，導(dǎo)模的傳輸常數(shù)的取值范圍為：k2<β<k1

若β<k2，則w2<0，這時(shí)包層里也得到振蕩形式的解，這種模稱為輻射模。β<k2表示一種臨界狀態(tài)，成為模式截止?fàn)顟B(tài)，模式截止時(shí)的一些性質(zhì)往往通過w0時(shí)的特征方程式來討論。

相反地，β

k1或u0的情況是一種遠(yuǎn)離截止的情況，模式遠(yuǎn)離截止時(shí)其電磁場能量很好地封閉在纖芯中。

從以上的求解過程也可以的得出導(dǎo)模的傳輸條件2.2.4本征值方程與模式求出來的Ez和Hz分量應(yīng)滿足纖芯和包層界面（r=a）上連續(xù)的條件，因而，可寫為

2.2.4本征值方程與模式其他的場分量其他的場分量確定光纖中導(dǎo)波的特性，還須利用光纖的邊界條件。在纖芯和包層的邊界上，電磁場的切向方向均連續(xù)，即在纖芯和包層界面（r=a）上Eφ和Hφ也應(yīng)連續(xù)，可得到特征方程為：

確定光纖中導(dǎo)波的特性，還須利用光纖的邊界條對(duì)于通信中所用的弱導(dǎo)波光纖（弱導(dǎo)光纖），n1≈n2，特征方程可簡化為：就是弱導(dǎo)光纖特征方程。式中“±”表示方程有兩組解，取“+”號(hào)為一組解，對(duì)應(yīng)的模式為EH模；取“-”號(hào)為另一組解，對(duì)應(yīng)的模式為HE模。對(duì)于通信中所用的弱導(dǎo)波光纖（弱導(dǎo)光纖），n1(3)光纖中的導(dǎo)模類型及特征方程 上面已經(jīng)得到了光纖中場的亥姆霍茲方程和弱導(dǎo)光纖中導(dǎo)波的特征方程，接下來分析光纖中存在哪些模式及這些模式的特征方程。(3)光纖中的導(dǎo)模類型及特征方程①TEM波 光纖中是否存在TEM波呢?根據(jù)定義，TEM波在波導(dǎo)的傳播方向(Z方向)上既沒有電場分量，又沒有磁場分量。即Ez＝0、Hz＝0。如果光纖中存在TEM波，則根據(jù)Ez、Hz的表達(dá)式可以得到A＝B＝0，再將A＝B＝0代入相關(guān)算式得到Er、Eφ、Hr、Eφ都為零，即光纖中不存在電磁場，所以光纖中根本不存在TEM波。①TEM波②TE波和TM波 光纖中是否存在TE波和TM波，實(shí)際上是看單獨(dú)的TE波和TM波是否滿足邊界條件。如果光纖中存在TE波，根據(jù)TE波的定義，TE波在波導(dǎo)的傳播方向(Z方向)上沒有電場分量，只有磁場分量，即Ez＝0，根據(jù)Ez表達(dá)式可以得到A＝0，然后將A＝0代入相關(guān)算式中得到②TE波和TM波ββm=0意味著TE模和TM模的場分量沿圓周方向沒有變化?？傻玫絋E0n模和TM0n模有相同特征方程,為

截止?fàn)顟B(tài)下的特征方程為J0(uc)=0其根有2.4048,5.5201,8.6537,……它們分別對(duì)應(yīng)著TE01(TM01)模、TE02(TM02)模、TE03(TM03)模、的截止頻率m=0意味著TE模和TM模的場分量沿圓周方向沒有變化就是說，若歸一化頻率V>2.4048,

TE01(TM01)模就能在光纖中存在；反之，若歸一化頻率V<2.4048，TE01(TM01)模

就不是導(dǎo)模。對(duì)其他模式可以次類推。

應(yīng)該注意，TE0n和TM0n模有相同截止頻率，它們是相互簡并的。就是說，若歸一化頻率V>2.4048③EH波和HE波 從上面的闡述中可以看到，當(dāng)m≠0時(shí)，光纖中不能存在TE波和TM波，而只能是Ez、Hz同時(shí)存在的EH波和HE波。導(dǎo)模的特性 模的特性可以用3個(gè)特征參數(shù)U、W和β來描述。U表示導(dǎo)模場在纖芯內(nèi)部的橫向分布規(guī)律；W表示導(dǎo)模場在纖芯外部的橫向分布規(guī)律。③EH波和HE波①導(dǎo)模的截止條件→①導(dǎo)模的截止條件→

→→光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件②遠(yuǎn)離截止時(shí)的U值 光纖中導(dǎo)模的U值是隨頻率而變化的。上面所討論的Uc值只適用于導(dǎo)模截止時(shí)的情況。

②遠(yuǎn)離截止時(shí)的U值

2.2.5單模光纖(1)階躍折射率分布光纖的單模條件單模光纖只能傳輸一個(gè)模式，即HE11模，稱為光纖的基模。單模光纖應(yīng)設(shè)計(jì)在使工作波長處所有高階模均被截止。2.2.5單模光纖各模式的截止條件決定于V，并用Vc來表示，基模不會(huì)截止。除基模外，TE01(TM01)模是最有可能存在的模式，前面已經(jīng)分析，若歸一化頻率V<2.4048,則連TE01(TM01)模都截止。就只能承載基模HEll模。

各模式的截止條件決定于V，并用Vc來表示，基光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件(2)單模光纖的模折射率與歸一化傳播常數(shù)模折射率為b為歸一化傳播常數(shù)(2)單模光纖的模折射率與歸一化傳播常數(shù)(3)單模場結(jié)構(gòu)基模的場分布可通過已求得的Ez和Hz求得。單模光纖實(shí)際上承載兩個(gè)簡并的正交偏振模，因?yàn)樗鼈冇邢嗤哪Ｕ凵渎省Ｏ聢D給出了弱導(dǎo)光纖中幾個(gè)低階線偏振模的電力線在橫截面內(nèi)的分布。(3)單模場結(jié)構(gòu)幾個(gè)低階模的場型(實(shí)線為電力線，虛線為磁力線，λg=2π/β)幾個(gè)低階模的場型(實(shí)線為電力線，(4)單模光纖的雙折射特性正交偏振模的簡并特性，只對(duì)具有均勻直徑的理想圓柱形纖芯的光纖才能保持。實(shí)際光纖的纖芯形狀沿光纖長度難免出現(xiàn)變化，光纖也可能受非均勻應(yīng)力而使圓柱對(duì)稱性受到破壞。這些因素使光纖正交偏振的簡并特性遭到破壞，使光纖呈現(xiàn)雙折射現(xiàn)象。(4)單模光纖的雙折射特性雙折射程度定義為B=(βx-

βy)/k0=Δβλ/2π雙折射率將導(dǎo)致兩個(gè)偏振分量間功率的周期交換，該周期稱為拍長，可表示為LB=λ/B=2π/Δβλ雙折射程度定義為(5)模場半徑常用模場直徑(2w)的概念，代表基模場強(qiáng)在空間分布的集中程度的一種度量。模場直徑的大小對(duì)光纖連接及與其他光器件的耦合有重要的影響。模場直徑通過遠(yuǎn)場強(qiáng)度分布來定義。一般將光場作為高斯分布來近似計(jì)算模場半徑。(5)模場半徑(6)纖芯中的功率流模場半徑描述場強(qiáng)在空間分布的集中程度，與此相應(yīng)，導(dǎo)?？v向傳輸?shù)墓β柿髟谛景鼉蓞^(qū)中同時(shí)傳輸，大部分集中在芯區(qū)傳輸，小部分在包層內(nèi)傳輸，其分配比隨模式而變。在弱導(dǎo)光纖中，只有橫向場分量，縱向傳輸?shù)墓β柿骺煞奖愕赜幂S向坡印廷矢量積分求得(6)纖芯中的功率流模的場量代人積分，可得光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性課件第二章光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性第二章光纖的結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)特性101本章內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本章內(nèi)容光纖的結(jié)構(gòu)與類型光纖的射線光學(xué)理論分析光纖的波動(dòng)光學(xué)理論分析光纖的損耗、色散和非線性特性光纜的構(gòu)造、結(jié)構(gòu)與型號(hào)本章重點(diǎn)光纖的損耗、色散和非線性特性本章難點(diǎn)光纖的波動(dòng)光學(xué)理論分析本章內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本章內(nèi)容學(xué)習(xí)本章目的和要求了解光纖的結(jié)構(gòu)與類型學(xué)會(huì)用射線和波動(dòng)光學(xué)理論分析光纖的特性掌握光纖的損耗、色散和非線性特性熟悉光纜的構(gòu)造、結(jié)構(gòu)與型號(hào)學(xué)習(xí)本章目的和要求了解光纖的結(jié)構(gòu)與類型2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.2階躍光纖的模式理論2.3單模光纖的色散2.4光纖損耗2.5光纖的非線性效應(yīng)2.6光纖光纜設(shè)計(jì)與制造2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1.1光纖的結(jié)構(gòu) 光纖(OpticalFiber，OF)就是用來導(dǎo)光的透明介質(zhì)纖維，一根實(shí)用化的光纖是由多層透明介質(zhì)構(gòu)成的，一般可以分為三部分：折射率較高的纖芯、折射率較低的包層和外面的涂覆層，如圖2.1所示。2.1光纖的導(dǎo)光原理與結(jié)構(gòu)特性的射線分析2.1.1光纖的圖2.1光纖結(jié)構(gòu)示意圖圖2.1光纖結(jié)構(gòu)示意圖2.1.2光纖的類型光纖的分類方法很多，既可以按照光纖截面折射率分布來分類，又可以按照光纖中傳輸模式數(shù)的多少、光纖使用的材料或傳輸?shù)墓ぷ鞑ㄩL來分類。2.1.2光纖的類型1.按光纖截面上折射率分布分類 按照截面上折射率分布的不同可以將光纖分為階躍型光纖(Step-IndexFiber，SIF)和漸變型光纖(Graded-IndexFiber，GIF)，其折射率分布如圖2.2所示。1.按光纖截面上折射率分布分類圖2.2光纖的折射率分布圖2.2光纖的折射率分布 光纖的折射率變化可以用折射率沿半徑的分布函數(shù)n(r)來表示。 光纖的折射率變化可以用折射率沿半徑的分布函數(shù)n(r)來表示2.按傳輸模式的數(shù)量分類 按光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)量，可以將光纖分為多模光纖(Multi-ModeFiber，MMF)和單模光纖(SingleModeFiber，SMF)。 在一定的工作波上，當(dāng)有多個(gè)模式在光纖中傳輸時(shí)，則這種光纖稱為多模光纖。2.按傳輸模式的數(shù)量分類 單模光纖是只能傳輸一種模式的光纖，單模光纖只能傳輸基模(最低階模)，不存在模間時(shí)延差，具有比多模光纖大得多的帶寬，這對(duì)于高碼速傳輸是非常重要的。3.按光纖的工作波長分類 按光纖的工作波長可以將光纖分為短波長光纖、長波長光纖和超長波長光纖。 單模光纖是只能傳輸一種模式的光纖，單模光纖只能傳輸基模(最4.按ITU-T建議分類 按照ITU-T關(guān)于光纖類型的建議，可以將光纖分為G.651光纖(漸變型多模光纖)、G.652光纖(常規(guī)單模光纖)、G.653光纖(色散位移光纖)、G.654光纖(截止波長光纖)和G.655(非零色散位移光纖)光纖。 按套塑(二次涂覆層)可以將光纖分為松套光纖和緊套光纖。 現(xiàn)在實(shí)用的石英光纖通常有以下三種：階躍型多模光纖、漸變型多模光纖和階躍型單模光纖。4.按ITU-T建議分類2.1.3基本光學(xué)定義和定律 光在均勻介質(zhì)中是沿直線傳播的，其傳播速度為v=c/n 式中：c＝2.997×105km/s，是光在真空中的傳播速度；n是介質(zhì)的折射率(空氣的折射率為1.00027，近似為1；玻璃的折射率為1.45左右)。2.1.3基本光學(xué)定義和定律 反射定律：反射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，反射光線和入射光線處于法線的兩側(cè)，并且反射角等于入射角，即：θ1′＝θ1。 折射定律：折射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，折射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)，且滿足：n1sinθ1=n2sinθ2 反射定律：反射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，反射光折射光到達(dá)纖芯包層界面時(shí)，若人射角ф滿足關(guān)系sinф<n2／nl，則將再次發(fā)生折射。若入射角ф大于臨界角ф

c

，光線在纖芯——包層界面將發(fā)生全反射，ф

c定義為

sinф

c=n2／n1這種全反射發(fā)生在整條光纖上，所有ф

>ф

c的光線都將被限制在纖芯中，這就是光纖約束和導(dǎo)引光傳輸?shù)幕緳C(jī)制。折射光到達(dá)纖芯包層界面時(shí)，若人射角ф滿足關(guān)系2.1.4光纖中光的傳播 一束光線從光纖的入射端面耦合進(jìn)光纖時(shí)，光纖中光線的傳播分兩種情形：一種情形是光線始終在一個(gè)包含光纖中心軸線的平面內(nèi)傳播，并且一個(gè)傳播周期與光纖軸線相交兩次，這種光線稱為子午射線，那個(gè)包含光纖軸線的固定平面稱為子午面；另一種情形是光線在傳播過程中不在一個(gè)固定的平面內(nèi)，并且不與光纖的軸線相交，這種光線稱為斜射線。2.1.4光纖中光的傳播2.1.5階躍光纖 階躍型光纖是由半徑為a、折射率為常數(shù)n1的纖芯和折射率為常數(shù)n2的包層組成，并且n1>n2，如圖2.3所示。2.1.5階躍光纖圖2.3光線在階躍型光纖中的傳播圖2.3光線在階躍型光纖中的傳播1.數(shù)值孔徑(NA)對(duì)入射光來講，只要進(jìn)入纖芯中的光線滿足ф

>ф

c，都將被限制在纖芯中，這樣就可得到將入射光限制在纖芯所要求的與光纖軸線間的最大角度n0sinθ1=

n1sinθ2=(n12-n22)1/2n0sinθ1稱為光纖的數(shù)值孔徑(NA)，代表光纖的集光能力。對(duì)于n1≈n2，NA可近似為NA=n1(2△)1/2，△=(n1-n2)/n1△為纖芯——包層相對(duì)折射率差1.數(shù)值孔徑(NA)2.模間色散（多徑色散）表面上看，NA越大可以耦合進(jìn)光纖的光線越多，以不同角度進(jìn)入光纖的光線，在光纖中將延不同的途徑傳播，雖然在輸入端同時(shí)進(jìn)入光纖，但卻不同時(shí)到達(dá)輸出端，出現(xiàn)了時(shí)間上的分散，導(dǎo)致脈寬嚴(yán)重展寬，這種現(xiàn)象稱為多徑色散，模式理論中稱為模間色散。2.模間色散（多徑色散）經(jīng)歷最短和最長路徑的二束光線間的時(shí)差是輸入脈沖展寬的一種度量，最短路徑正好等于光纖長度L，最長路徑為L／sinф

c，則這兩條光線到達(dá)輸出端時(shí)差△T為為了使種展寬不產(chǎn)生碼間干擾，△T應(yīng)小于信息傳輸容量決定的比特間隔，即△T<TB,而TB=1/B，則應(yīng)有B△T<1，于是可得光纖信息傳輸?shù)娜萘繛榻?jīng)歷最短和最長路徑的二束光線間的時(shí)差是輸入2.1.6漸變光纖 漸變型光纖與階躍型光纖的區(qū)別在于其纖芯的折射率不是常數(shù)，而是從芯區(qū)中心的最大值n1逐漸降低到纖芯—包層界面的最小值n2，大部分漸變光纖按二次方規(guī)律下降，可用所謂的“α分布”分析，其形式為對(duì)階躍光纖α=∞，對(duì)拋物線型光纖α=22.1.6漸變光纖在階躍光纖中光線以曲折的鋸齒形式向前傳播，而在漸變光纖中則以一種正弦振蕩形式向前傳播，如圖2.4所示圖2.4漸變光纖中的光線軌跡在階躍光纖中光線以曲折的鋸齒形式向前傳播，而在在傍軸近似條件下，光線軌跡可用下列微分方程描述當(dāng)折射率n為拋物線分布，α=2時(shí)，則上式可簡化為簡諧振蕩方程，其通解為ρ

=ρ0cos(pz)+(ρ0’/p)sin(pz)式中，p=(2n1△／α

2)1/2;ρ0和ρ0’分別為入射光線的位置和方向。在傍軸近似條件下，光線軌跡可用下列微分方程描上式顯示，所有的射線在距離z=2mπp處恢復(fù)它們的初始位置和方向，其中m為整數(shù)。因此拋物線型光纖不存在多徑或模間色散。注意：這個(gè)結(jié)論是在幾何光學(xué)和傍軸近似下得到的，對(duì)于實(shí)際光纖，這些條件并不嚴(yán)格成立。更嚴(yán)格的分析發(fā)現(xiàn)，光線在長為L的漸變光纖中傳播時(shí)，其最大路徑時(shí)差，即模間色散△T／L將隨α而變。上式顯示，所有的射線在距離z=2mπp處恢復(fù)

圖2.5漸變光纖模間色散和脫積隨a的變化圖2.5漸變光纖模間色散和脫積隨a的變圖2.5給出了n1=1.5和△=0.01的漸變光纖模間色散隨α的變化，其最小色散發(fā)生在α=2(1-Δ)處，它與Δ的關(guān)系為ΔT／L=n1

Δ

2／8c利用準(zhǔn)則BΔT<l，可得比特率一距離積的極限為BL<8c／n1

Δ

2圖2.5給出了n1=1.5和△=0.01的2.1.7光纖中的模式傳輸1.傳導(dǎo)模的概念 模式是波動(dòng)理論的概念。在波動(dòng)理論中，一種電磁場的分布稱之為一個(gè)模式。在射線理論中，通常認(rèn)為一個(gè)傳播方向的光線對(duì)應(yīng)一種模式，有時(shí)也稱之為射線模式。2.1.7光纖中的模式傳輸2.相位一致條件 光纖中光波相位的變化情況如圖2.6所示，在這里以階躍型光纖為例來討論光纖的相位一致條件，不作復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只提及波動(dòng)光學(xué)中的基本觀點(diǎn)和結(jié)論。2.相位一致條件圖2.6光纖中光波相位的變化情況圖2.6光纖中光波相位的變化情況 相位一致條件就是說：如果圖中所示的這個(gè)模式在A、B處相位相等，則經(jīng)過一段傳播距離后，在A′、B′處也應(yīng)該相位相等或相差2π的整數(shù)倍。 光纖的相位一致條件也可以從另外一個(gè)角度出發(fā)得到。根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)可知：波在無限空間中傳播時(shí)，形成行波；而在有限空間傳播時(shí)，形成駐波。 相位一致條件就是說：如果圖中所示的這個(gè)模式在A、B處相位相 對(duì)于漸變型多模光纖，同樣，其導(dǎo)模不僅要滿足全反射條件，還要滿足相位一致條件。 在漸變型多模光纖中，低階模由于靠近光纖軸線，其傳播路程短，但靠近軸線處的折射率大，該處光線傳播速度慢；高階模遠(yuǎn)離軸線，它的傳播路程長，但離軸線越遠(yuǎn)折射率越小，該處光線的傳播速度越快。 對(duì)于漸變型多模光纖，同樣，其導(dǎo)模不僅要滿足全反射條件，還要2.1.8多模光纖與單模光纖 多模光纖和單模光纖是由光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)決定的，判斷一根光纖是不是單模傳輸，除了光纖自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)外，還與光纖中傳輸?shù)墓獠ㄩL有關(guān)。2.1.8多模光纖與單模光纖 為了描述光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)目，在此引入一個(gè)非常重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即光纖的歸一化頻率，一般用V表示，其表達(dá)式如下： 為了描述光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)目，在此引入一個(gè)非常重要的結(jié)構(gòu)參1.多模光纖 顧明思義，多模光纖就是允許多個(gè)模式在其中傳輸?shù)墓饫w，或者說在多模光纖中允許存在多個(gè)分離的傳導(dǎo)模。1.多模光纖2.單模光纖 只能傳輸一種模式的光纖稱為單模光纖。單模光纖只能傳輸基模(最低階模)，它不存在模間時(shí)延差，因此它具有比多模光纖大得多的帶寬，這對(duì)于高碼速傳輸是非常重要的。單模光纖的帶寬一般都在幾十GHz·km以上。2.單模光纖2.2階躍光纖的模式理論用射線光學(xué)理論分析法雖然可簡單直觀地得到光線在光纖中傳輸?shù)奈锢韴D像，但由于忽略了光的波動(dòng)性質(zhì)，不能了解光場在纖芯、包層中的結(jié)構(gòu)分布以及其他許多特性。尤其是對(duì)單模光纖，由于芯徑尺寸小，射線光學(xué)理論就不能正確處理單模光纖的問題。2.2階躍光纖的模式理論用射線光學(xué)理論分析因此，在光波導(dǎo)理論中，更普遍地采用波動(dòng)光學(xué)的方法，即把光作為電磁波來處理，研究電磁波在光纖中的傳輸規(guī)律，得到光纖中的傳播模式、場結(jié)構(gòu)、傳輸常數(shù)及裁止條件。本節(jié)先用波動(dòng)光學(xué)的方法求解波動(dòng)方程，而后引入模式理論得到光纖的一系列重要特性。因此，在光波導(dǎo)理論中，更普遍地采用波動(dòng)光學(xué)2.2.1平面波在理想介質(zhì)中的傳播1.均勻平面波的一般概念 所謂均勻平面波是指在與傳播方向垂直的無限大的平面上，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H的幅度和相位都相等的波型，簡稱為平面波。2.2.1平面波在理想介質(zhì)中的傳播 平面波是非常重要的波型，一些復(fù)雜的波可以由平面波疊加得到。在折射率為n的無限大的介質(zhì)中，一工作波長為λ0的平面波在其中傳播，其波數(shù)為： 式中：k0是真空中的波數(shù)，ω是光的角頻率，μ和ε分別是介質(zhì)的導(dǎo)磁率和介電常數(shù),設(shè)平面波傳播方向的單位矢量為as，則k=as·k稱為平面波在該介質(zhì)中的波矢量。 平面波是非常重要的波型，一些復(fù)雜的波可以由平面波疊加得到。2.平面波在介質(zhì)分界面上的反射和折射 反射波與入射波在原點(diǎn)處的復(fù)振幅之比稱為反射系數(shù)；傳遞波與入射波在原點(diǎn)處的復(fù)振幅之比稱為傳遞系數(shù)，表示為：2.平面波在介質(zhì)分界面上的反射和折射 式中：R、T都是復(fù)數(shù)，包括大小及相位。其模值分別表示反射波、傳遞波與入射波幅度的大小之比；2Ф1、2Ф2是R和T的相角，分別表示在介質(zhì)分界面上反射波、傳遞波比入射波超前的相位。 式中：R、T都是復(fù)數(shù)，包括大小及相位。其模值分別表示反射波3.平面波的全反射 全反射是一種重要的物理現(xiàn)象，當(dāng)光波從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)，且入射角大于臨界角時(shí)才能產(chǎn)生全反射，即全反射必須滿足：n1>n2，θc<θ1<90°。3.平面波的全反射 當(dāng)平面波由光密介質(zhì)射向兩介質(zhì)分界面上時(shí)，根據(jù)入射角θ1的大小，可以產(chǎn)生兩種類型的波：當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)產(chǎn)生導(dǎo)行波，能量集中在光密介質(zhì)及其界面附近；當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)產(chǎn)生輻射波，一部分能量輻射到光疏介質(zhì)中并在其中傳播。對(duì)于光波導(dǎo)來說，導(dǎo)波是一種重要的波型。 當(dāng)平面波由光密介質(zhì)射向兩介質(zhì)分界面上時(shí)，根據(jù)入射角θ1的大2.2.2光纖的波動(dòng)方程1.基本概念(1)麥克斯韋方程組和邊界條件［1］ 在均勻光纖中，介質(zhì)材料一般是線性和各向同性的，并且不存在電流和自由電荷，因此在無源區(qū)域，均勻、無損、簡諧形式的麥克斯韋方程組為：2.2.2光纖的波動(dòng)方程 式中：E為電場強(qiáng)度矢量；D為電位移矢量；H為磁場強(qiáng)度矢量；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。且D與E，B與H有下列關(guān)系。 式中：E為電場強(qiáng)度矢量；D為電位移矢量；H為磁場強(qiáng)度矢量；圖(a)因?yàn)閐0時(shí)，E的回線積分(▽×E的通量)為零，所以它們的切線分量連續(xù)。圖(b)因?yàn)楱尅的體積分為零(無源)，如果h0，則進(jìn)下表面的電通量等于出上表面的電通量，所以它們的法線分量連續(xù)．圖(a)因?yàn)閐0時(shí)，E的回線積分(▽×E的通量)為零，所(2)亥姆霍茲方程 從麥克斯韋方程組出發(fā)，可以導(dǎo)出光波所滿足的亥姆霍茲方程。根據(jù)矢量關(guān)系，有如下兩個(gè)等式。式中：A代表任何一個(gè)矢量，當(dāng)然E、H也滿足上式。(2)亥姆霍茲方程應(yīng)用在光纖中，μ=μ0，且▽?duì)?0，則可以得到光在非均勻介質(zhì)中傳播的基本方程，即矢量亥姆霍茲方程應(yīng)用在光纖中，μ=μ0，且▽?duì)?0，則可(3)波的類型和模式 在單一均勻介質(zhì)中傳播的波為平面波，稱為橫電磁波，用TEM表示，TEM波的電場和磁場方向與波的傳播方向垂直，即在波導(dǎo)的傳播方向上既沒有磁場分量也沒有電場分量，且三者兩兩相互垂直。(3)波的類型和模式 對(duì)于同一類型的波，其場強(qiáng)在圓周方向(即φ方向)或徑向方向(即r方向)的分布情況又會(huì)有所區(qū)別，即電磁場的分布會(huì)不盡相同。 目前通信用光纖的相對(duì)折射率差Δ<<1，稱為弱導(dǎo)光纖。這種光纖可以近似地用平面波束分析光的傳播。 對(duì)于同一類型的波，其場強(qiáng)在圓周方向(即φ方向)或徑向方向(2.階躍型光纖的波動(dòng)理論 階躍型光纖的波動(dòng)理論分析就是以麥克斯韋方程組為基礎(chǔ)，根據(jù)光纖的邊界條件，從亥姆霍茲方程解出階躍型光纖中導(dǎo)波的場方程，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其特征方程，研究其導(dǎo)波模式，分析其傳輸特性。2.階躍型光纖的波動(dòng)理論(1)亥姆霍茲方程的解在圓柱坐標(biāo)系中，設(shè)亥姆霍茲方程解有下述形式的解

(1)亥姆霍茲方程的解標(biāo)量解法近似：所謂標(biāo)量近似就是把橫向電場及磁場作為標(biāo)量，它們的分量、例如橫向電場分量Er和Eφ的振幅都滿足標(biāo)量HelmhoItz方程。采用圓柱座標(biāo)系，Ez分量滿足標(biāo)量Helmholtz方程。這種近似前提條件：弱導(dǎo)行近似即光纖的相對(duì)折射率差Δ<<1。這種近似下，橫向場的幅度近似地認(rèn)為滿足標(biāo)量Helmholtz方程。標(biāo)量解法近似：這種近似在芯子和敷層的相對(duì)折射率之差Δ很小，光纖里射線入射角很大，射線趨近平行于光纖軸(即z座標(biāo))時(shí)是可以的。Δ越小，近似越好。原因是：Δ越小，射入角將越大，才能滿足諧振條件，才能組成正規(guī)模。射入角越大，即射線越平行于光纖軸線，電磁波越接近于平面波，平面波的極化，所以說Δ越小，近似越好。這種近似也可稱為平面波近似。這種近似在芯子和敷層的相對(duì)折射率之差Δ很小，從物理上來說，也是Δ越小，這樣的近似邊界條件越正確。Δ為零時(shí)，電磁場本身和它們沿法線方向的變化率必然連續(xù)。

從物理上來說，也是Δ越小，這樣的近似邊界條件將E和H分解為橫向和縱向分量將其代入矢量亥姆霍茲方程，可得將E和H分解為橫向和縱向分量對(duì)上式進(jìn)一步劃簡，可得前2式是場的橫向分量應(yīng)滿足的矢量波動(dòng)方程，后2式是縱向分量應(yīng)滿足的波動(dòng)方程，顯然是個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程。對(duì)上式進(jìn)一步劃簡，可得先利用標(biāo)量波動(dòng)方程求解縱向場分量，由于該式右邊不等于零，不是齊次方程，求解亦不容易。但是對(duì)階躍光纖，在芯區(qū)和包層中，ε和n是均勻的，因而有▽t

ε=0，▽tn=0，▽tlnn2=0，于是標(biāo)量波動(dòng)方程變成齊次標(biāo)量波動(dòng)方程

先利用標(biāo)量波動(dòng)方程求解縱向場分量，由于該式右通過齊次標(biāo)量波動(dòng)方程求出Ez、Hz分量，將其代入下式就可求出橫向場Er、Eφ、Hr、Hφ分量通過齊次標(biāo)量波動(dòng)方程求出Ez、Hz分量用標(biāo)量解法得出的模式是筒并的，這是因我們分析時(shí)把橫向場作為標(biāo)量，沒有考慮極化方向，所以一個(gè)標(biāo)量場包括兩個(gè)不同極化的波，此外，對(duì)于線極化波還有cosmθ和sinmθ之分，對(duì)橢圓極化波有exp(+mθ)和exp(-mθ)之分?？梢娨粋€(gè)標(biāo)量解包括四個(gè)簡并解，即四重簡并，或四個(gè)精確的模式。用標(biāo)量解法得出的模式是筒并的，這是因我們分析2.2.3階躍光纖中的光場(1)解的形式階躍光纖中，芯區(qū)半徑為a，介電常數(shù)、折射率、磁導(dǎo)率分別為ε1，n1和μ1，且分布均勻，包層中為ε2，n2和μ2而μ1=μ2=μ0在柱坐標(biāo)系中▽t2可展開為在圓周對(duì)稱光纖中，場沿圓周φ以2π為周期，采用分離變量法，設(shè)場Ψ(E或H)有如下形式的解2.2.3階躍光纖中的光場Ψz(r,φ)=Ψ(r)exp(jmφ)芯區(qū):包層:上式是貝塞爾函數(shù)的微分方程，顯然可能有多種Ψ(r)與多個(gè)分立β的組合都可使方程成立，每一種組合稱為一個(gè)導(dǎo)波模式。Ψz(r,φ)=Ψ(r)exp(jmφ)在r≤a的芯區(qū)，由于存在完全內(nèi)反射，光場在z向傳播的速度必小于平面波在n1介質(zhì)中的速度，因而有β<k0n1，或k12-β2>0，場在r方向應(yīng)是振形分布，且在r=0處場幅為有限值，所以在芯區(qū)場的橫向變化可用第一類貝塞爾函數(shù)表示，這個(gè)場稱為受導(dǎo)?；?qū)?，可表示為在r≤a的芯區(qū)，由于存在完全內(nèi)反射，光場在z向傳播的速度必小在r≥a的包層內(nèi)，場在z向的傳播速度必大于平面波在n2介質(zhì)中的速度，因而有β>k0n2，或k22-β2<0，場在r方向?yàn)樗p場或消逝場，且在r∞處，Ψ0，所以在包層區(qū)場的橫向變化可用第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)表示在r≥a的包層內(nèi)，場在z向的傳播速度必大采用同樣的方法，可求得磁場的解芯區(qū):包層:通過分量關(guān)系式即可得到電磁場的各橫向分量。采用同樣的方法，可求得磁場的解需要指出:由變態(tài)貝塞爾函數(shù)的漸近表示可知，當(dāng)wr∞時(shí)，Km(wr)ewr，因此當(dāng)r∞時(shí)，Km(wr)

必為零，所以對(duì)導(dǎo)引模必有w>0，β>k2。若w=0，β=k2，則不滿足Km(wr)|r0=0的條件，導(dǎo)引模將不再約束在纖芯中沿軸傳輸，能量將向橫向輻射出去，所以定義w=0為導(dǎo)引模的截止條件。需要指出:結(jié)合參量w和u，可以定義光纖的重要的結(jié)構(gòu)參量為

一方面與波導(dǎo)尺寸（芯徑a）成正比，另一方面又與真空中的波數(shù)k0成正比，因此稱為光纖的歸一化頻率。是決定光纖中模式數(shù)量重要參數(shù)。結(jié)合參量w和u，可以定義光纖的重要的結(jié)構(gòu)參量為

從以上的求解過程也可以的得出導(dǎo)模的傳輸條件。為了得到纖芯里振蕩、包層里迅速衰減的解的形式，必須滿足：

k12-β2>0和k22-β2<0

因此，導(dǎo)模的傳輸常數(shù)的取值范圍為：k2<β<k1

若β<k2，則w2<0，這時(shí)包層里也得到振蕩形式的解，這種模稱為輻射模。β<k2表示一種臨界狀態(tài)，成為模式截止?fàn)顟B(tài)，模式截止時(shí)的一些性質(zhì)往往通過w0時(shí)的特征方程式來討論。

相反地，β

k1或u0的情況是一種遠(yuǎn)離截止的情況，模式遠(yuǎn)離截止時(shí)其電磁場能量很好地封閉在纖芯中。

從以上的求解過程也可以的得出導(dǎo)模的傳輸條件2.2.4本征值方程與模式求出來的Ez和Hz分量應(yīng)滿足纖芯和包層界面（r=a）上連續(xù)的條件，因而，可寫為

2.2.4本征值方程與模式其他的場分量其他的場分量確定光纖中導(dǎo)波的特性，還須利用光纖的邊界條件。在纖芯和包層的邊界上，電磁場的切向方向均連續(xù)，即在纖芯和包層界面（r=a）上Eφ和Hφ也應(yīng)連續(xù)，可得到特征方程為：

確定光纖中導(dǎo)波的特性，還須利用光纖的邊界條對(duì)于通信中所用的弱導(dǎo)波光纖（弱導(dǎo)光纖），n1≈n2，特征方程可簡化為：就是弱導(dǎo)光纖特征方程。式