時(shí)間序列模型課件

15十二月2022時(shí)間序列模型課件12十二月2022時(shí)間序列模型課件1第十二章時(shí)間序列模型

§12.1時(shí)間序列定義§12.2時(shí)間序列模型的分類§12.3時(shí)間序列模型的建立§12.4時(shí)間序列模型的識(shí)別§12.5時(shí)間序列模型的估計(jì)§12.6時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)§12.7時(shí)間序列模型的預(yù)測§12.8案例分析§12.9回歸與ARMA組合模型第十二章時(shí)間序列模型

§12.1時(shí)間序列定義2時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。

注意序列的平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，應(yīng)先通過差分使其平穩(wěn)后，再建立時(shí)間序列模型。估計(jì)ARMA模型方法是極大似然法。對于給定的時(shí)間序列，模型形式的選擇通常并不是惟一的。在實(shí)際建模過程中經(jīng)驗(yàn)越豐富，模型形式選擇就越準(zhǔn)確合理。ARIMA模型的特點(diǎn)讓數(shù)據(jù)自己說話（第3版282頁）時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins(1973時(shí)間序列模型課件4當(dāng)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型體系當(dāng)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型體系5§12.1時(shí)間序列定義一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列二、平穩(wěn)性三、非平穩(wěn)性四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子五、兩種基本的隨機(jī)過程：白噪聲和隨機(jī)游走

§12.1時(shí)間序列定義一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列6隨機(jī)過程：隨時(shí)間由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過程，用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。時(shí)間序列：隨機(jī)過程的一次觀測結(jié)果(一次實(shí)現(xiàn)),時(shí)間序列中的元素稱為觀測值。時(shí)間序列也用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。假設(shè)樣本觀測值來自無窮隨機(jī)變量序列那么這個(gè)無窮隨機(jī)序列稱為隨機(jī)過程。

一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列（第3版282頁）隨機(jī)過程與時(shí)間序列的關(guān)系隨機(jī)過程：隨時(shí)間由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過程，用7

協(xié)方差平穩(wěn)過程（covariancestationaryprocess）

如果一個(gè)隨機(jī)過程xt滿足以下性質(zhì)，(1)均值：E(xt)=(常數(shù))(2)方差：var(xt)=2

(常數(shù))(3)自協(xié)方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一種更為簡便的方法是用自相關(guān)系數(shù)來描述自協(xié)方差，即通過自協(xié)方差除以方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后而得到ρk=rk/r0。）這時(shí)稱xt是協(xié)方差平穩(wěn)過程，也稱寬平穩(wěn)或弱平穩(wěn)過程。

平穩(wěn)過程指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化。直觀上，平穩(wěn)的時(shí)間序列可看作一條圍繞均值上下波動(dòng)的曲線。二、平穩(wěn)性（stationary）協(xié)方差平穩(wěn)過程（covariancestationar8單整過程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性（non-stationary）非平穩(wěn)過程指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。這些非平穩(wěn)的時(shí)間序列經(jīng)過差分變化以后，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)的。

對于隨機(jī)過程，如果必須經(jīng)過d次差分之后才能變換成為一個(gè)平穩(wěn)的過程，而當(dāng)進(jìn)行d-1次差分后仍是一個(gè)非平穩(wěn)過程，則稱此隨機(jī)過程具有d階單整性，記為檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性是建模的基礎(chǔ)！單整過程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性9差分指時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算。一階差分可表示為：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt

其中稱為一階差分算子；滯后算子：用L表示定義一階滯后算子為：Lxt=xt-1k階滯后算子定義為：Lnxt=xt-n

四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子差分指時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算。四、補(bǔ)充：差101.白噪聲（whitenoise）過程

若隨機(jī)過程{xt}(tT)滿足以下條件則稱為白噪聲過程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2

,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)

T,k

0五、兩種基本的隨機(jī)過程

a.由白噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列b.日元對美元匯率的收益率

白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過程經(jīng)典線性回歸對殘差的要求是一個(gè)白噪聲過程（第3版283頁）1.白噪聲（whitenoise）過程五、兩種基本的隨機(jī)112.隨機(jī)游走（randomwalk）過程

對于xt=xt-1+ut，若ut為白噪聲過程，稱xt為隨機(jī)游走過程。隨機(jī)游走過程的均值為零，方差為無限大。

xt=xt-1+ut

=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=

隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。對隨機(jī)游走進(jìn)行一階差分，可將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過程。xt=xt-xt-1=ute.由隨機(jī)游走過程產(chǎn)生時(shí)間序列f.日元對美元匯率（第3版291頁）2.隨機(jī)游走（randomwalk）過程e.由隨機(jī)游12§12.2時(shí)間序列模型的分類一、自回歸過程AR(p)二、移動(dòng)平均過程MA(q)三、自回歸移動(dòng)平均過程ARMA(p,q）四、單整自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)§12.2時(shí)間序列模型的分類一、自回歸過程AR(p)13一、自回歸過程AR(p)

1.p階自回歸過程AR(p)

xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut

其中：i,i=1,…p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過程。

xt是由它的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。上式用滯后算子表示為：(1-1L-2L2-…-pLp)xt

=L)xt=ut

L)=1-1L-2L2-…-pLp稱為特征多項(xiàng)式或自回歸算子平穩(wěn)性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1–Gpz)=0

的所有根的絕對值都大于1，則AR(p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。自回歸過程的變量xt，僅僅依賴于它的各個(gè)前期的值再加上一個(gè)誤差項(xiàng)。

之所以稱之為特征方程，是因?yàn)樗母鶝Q定了過程xt的特征。（第3版284頁）一、自回歸過程AR(p)1.p階自回歸過程AR(14（第3版284頁）（第3版284頁）152.AR(1)過程分析

xt=1xt-1+ut

平穩(wěn)性的條件是特征方程(1-1L)=0根的絕對值必須大于1，滿足|1/1|1，也就是|1|<1xt=ut

+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短記憶過程）因?yàn)閡t

是一個(gè)白噪聲過程，所以對于平穩(wěn)的AR(1)過程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12

u2+14u2+…=上式說明若保證xt平穩(wěn)，必須保證|1|<1。中國旅游人數(shù)差分序列（第3版284頁）2.AR(1)過程分析xt=1xt-116在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CAR(1)在Equationspecification對話框輸入：D17（第3版286頁）（第3版286頁）18習(xí)題1為了驗(yàn)證這一性質(zhì)，首先將yt-1用滯后算子表示Lytyt=Lyt

+utyt-Lyt

=ut

（1-L）

yt=ut

特征方程為：1-z=0其中有根z=1落在單位圓上，而不是單位圓之外。該過程是非平穩(wěn)的，它是隨機(jī)游走過程。下面的模型是平穩(wěn)的嗎？yt=yt-1+ut習(xí)題1為了驗(yàn)證這一性質(zhì)，首先將yt-1用滯后算子表示Lyt19xt=1xt-1+2xt-2+ut

平穩(wěn)性的條件是特征方程1-1L-2L2=0的兩個(gè)根在單位圓外：

3.AR(2)過程分析

2

+

1

<1

2

-

1

<1|

2|<1解得：

20時(shí)間序列模型課件21（第3版286頁）（第3版286頁）22

4.AR(p)的平穩(wěn)性條件(1)AR(p)平穩(wěn)性的必要條件是(p個(gè)自回歸系數(shù)之和小于1)：

1+

2++

p<1(2)AR(p)平穩(wěn)性的充分條件是特征方程的根在單位圓之外。

4.AR(p)的平穩(wěn)性條件(1)A23判斷根的可能情況判斷根的可能情況24時(shí)間序列模型課件251.q階移動(dòng)平均過程MA(q)xt=ut+1ut–1+

2ut-2+…+qut–q

=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut

其中：1,2,…,q是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過程。

xt是由q+1個(gè)ut和ut滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成。“移動(dòng)”是指隨著時(shí)間t而變化，“平均”是指加權(quán)和之意。任何一個(gè)MA(q)都是由q+1個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成，所以任何一個(gè)移動(dòng)平均過程都是平穩(wěn)的。與移動(dòng)平均過程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是可逆性。二、移動(dòng)平均模型MA(q)對于一個(gè)移動(dòng)平均模型，yt僅僅是白噪聲過程的線性組合，所以依賴于當(dāng)期和先前時(shí)期的白噪聲擾動(dòng)項(xiàng)的值。（第3版286頁）1.q階移動(dòng)平均過程MA(q)二、移動(dòng)平均模型MA(26

移動(dòng)過程具有可逆性的條件是：可逆性條件防止了在AR（∞）下出現(xiàn)的發(fā)散性。（第3版287頁）移動(dòng)過程具有可逆性的條件是：可逆性條件防止了在AR272.MA(q)的可逆性條件移動(dòng)平均過程具有可逆性的條件是特征方程：

z)=(1+1z+2z2+…+qzq)=0的全部根的絕對值必須大于1。

注意：對于無限階的移動(dòng)平均過程xt

=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q+…=ut(1+1L+2L2+…)方差為：Var(xt)=很明顯，雖然有限階MA過程都是平穩(wěn)的，但對于無限階MA過程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性，即{xt}的方差必須為有限值，該條件為：（第3版288頁）2.MA(q)的可逆性條件移動(dòng)平均過程具有可283.MA(1)過程分析

xt=(1+1L)ut

具有可逆性的條件是（1+1L)=0的根在單位圓之外，即|1/1|>1,或|1|<1。當(dāng)|1|<1時(shí)，MA(1)過程應(yīng)變換為ut=(1+1L)–1xt

=(1-1L+12L2-13L3+…)xt

這是一個(gè)無限階的以幾何衰減為權(quán)數(shù)的自回歸過程。對于MA(1)過程有E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut–1)=(1+12)u2（第3版288頁）3.MA(1)過程分析xt=(1+1L)ut29時(shí)間序列模型課件30時(shí)間序列模型課件31（第3版287頁）不同參數(shù)的移動(dòng)平均過程：（第3版287頁）不同參數(shù)的移動(dòng)平均過程：324.自回歸與移動(dòng)平均過程的關(guān)系(1)一個(gè)平穩(wěn)的AR(p)過程：

(1-1L-2L2-…-pLp)xt=ut可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無限階的移動(dòng)平均過程：

xt=(1-1L-2L2-…-pLp)-1ut=L)-1ut

(2)一個(gè)可逆的MA(p)過程：

xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無限階的自回歸過程：

(1+1L+2L2+…+qLq)-1xt=L)-1xt=ut(3)對于AR(p)過程只需考慮平穩(wěn)性問題，條件是L)=0的根（絕對值）必須大于1。不必考慮可逆性問題。(4)對于MA(q)過程只需考慮可逆性問題，條件是L)=0的根（絕對值）必須大于1，不必考慮平穩(wěn)性問題。4.自回歸與移動(dòng)平均過程的關(guān)系(1)一個(gè)平穩(wěn)的AR(p33自回歸移動(dòng)平均（autoregressivemovingaverage）過程:其平穩(wěn)性依賴于自回歸部分:(L)=0的根全部在單位圓之外。其可逆性依賴于移動(dòng)平均部分：

(L)=0的根全部在單位圓之外。實(shí)際中最常用的是ARMA(1,1)過程:

xt-1xt-1=ut+1ut-1(1-1L)xt=(1+1L)ut只有當(dāng)–1<1<1和–1<

1<1時(shí)，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。

xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q三、自回歸移動(dòng)平均過程ARMA(p,q)（第3版288頁）自回歸移動(dòng)平均（autoregressivemoving34時(shí)間序列模型課件35四、單整自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)根據(jù)ARMA特征方程(L)=0的根取值不同，分為三種情形：(1)若全部根取值在單位圓之外，則該過程是平穩(wěn)的；(2)若某個(gè)根或全部根在單位圓之內(nèi)，則該過程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如，xt

=1.3xt-1+ut

（特征方程的根=1/1.3=0.77）上式兩側(cè)同減xt-1得：xt

=0.3xt-1+ut

（仍然非平穩(wěn)）。(3)如果特征方程的若干根取值恰好在單位圓上，則這種根稱為單位根，這種過程也是非平穩(wěn)的。定義：

假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過程含有d個(gè)單位根，其經(jīng)過d次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸移動(dòng)平均過程。則該隨機(jī)過程被稱為單整自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)

。（第3版290頁）四、單整自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)根據(jù)AR36考慮隨機(jī)過程的一般表達(dá)式：

(L)dyt=

(L)ut

其中(L)是平穩(wěn)的自回歸算子，

(L)

d為廣義自回歸算子，

(L)是可逆的移動(dòng)平均算子。若取xt

=dyt，則上式可表示為:

(L)xt=

(L)ut

即yt經(jīng)過d次差分后，可用一個(gè)平穩(wěn)的、可逆的ARMA過程xt表示,稱yt為單整(單積)自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)。

當(dāng)p≠0,d=0,q≠0時(shí)，當(dāng)d=0,p=0,q≠0時(shí)當(dāng)d=0,p≠0,q=0時(shí)，當(dāng)p=d=q=0時(shí)，ARIMA變成ARMA(p,q)過程;ARIMA變成MA(q)過程;ARIMA變成AR(p)過程;ARIMA變成白噪聲過程;考慮隨機(jī)過程的一般表達(dá)式：ARIMA變成ARMA(37幾種常見的非平穩(wěn)隨機(jī)過程

(1)ARIMA(0,1,0)過程

yt=ut其中p=q=0,d=1(L)=1-1L,

(L)=1

(2)ARIMA(0,1,1)過程

yt=ut+1ut–1=(1+1L)ut

其中p=0,d=1,q=1,

(L)=1,(L)=1+1L

(3)ARIMA(1,1,0)過程

yt-1yt–1=ut

其中

p=1,d=1,q=0,(L)=1-1L,

(L)=1(4)ARIMA(1,1,1)過程

yt-1yt-1=ut+1ut-1或(1-1L)yt=(1+1L)ut其中p=1,d=1,q=1,(L)=1-1L,(L)=1+1L幾種常見的非平穩(wěn)隨機(jī)過程38建立時(shí)間序列ARIMA(p,d,q)模型流程圖§12.3時(shí)間序列模型的建立（第3版302頁）建立時(shí)間序列ARIMA(p,d,q)模型流程圖§12.339（第3版302頁）（第3版302頁）40（第3版301頁）§12.3時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測（第3版301頁）§12.3時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測411、如何識(shí)別？1、如何識(shí)別？42估計(jì)結(jié)果為：Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+vt

(8.7)(5.4)

R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0-1)=15.52、如何估計(jì)？估計(jì)結(jié)果為：Dyt=0.1429+0.6171(43因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(

10-1-0)=16.9，故可以認(rèn)為模型誤差序列為非自相關(guān)序列。

模型參數(shù)都通過了顯著性t檢驗(yàn)。殘差序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖3、如何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果？因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(10-1444、如何預(yù)測？4、如何預(yù)測？45

如何判別其是自回歸過程還是移動(dòng)平均過程？如何判別其過程的階數(shù)呢？如何判別其是自回歸過程還是移動(dòng)平均過程？46所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一個(gè)純AR過程、還是遵循一個(gè)純MA過程或ARMA過程。

所使用的工具主要是：自相關(guān)函數(shù)(autocorrelationfunction,ACF)偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelationfunction,PACF)所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對于一個(gè)平471.自相關(guān)函數(shù)定義

平穩(wěn)隨機(jī)過程{xt}的期望為常數(shù)，即E(xt)=

其方差也是常數(shù)：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E[(xt-)2]=x2

隨機(jī)變量xt

與xt-k的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差為：

k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-)(xt-k-)] 序列

k(k=0,1,…,K)稱為{xt}的自協(xié)方差函數(shù)。 當(dāng)k=0時(shí):0=Var(xt)=x2

自相關(guān)系數(shù)：

當(dāng)k=0時(shí)，有

0=1 以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列k(k=0,1,…,K)稱為自相關(guān)函數(shù)。一、自相關(guān)函數(shù)（ACF）1.自相關(guān)函數(shù)定義一、自相關(guān)函數(shù)（ACF）48對于平穩(wěn)序列有

。當(dāng)1為正時(shí)，自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)衰減至零，這種現(xiàn)象稱為拖尾。當(dāng)1為負(fù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯(cuò)地指數(shù)衰減至零。

圖a.1>>0（經(jīng)濟(jì)問題中常見）圖b.-1<<0（經(jīng)濟(jì)問題中少見）

平穩(wěn)AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)：

k

=

1k（k

0）2.平穩(wěn)自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)對于平穩(wěn)序列有。圖a.1>49AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)特征方程根取值的不同，自相關(guān)函數(shù)有兩種不同表現(xiàn)：當(dāng)根為實(shí)數(shù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)隨著k的增加呈現(xiàn)指數(shù)衰減；當(dāng)特征方程含有一對共軛復(fù)根時(shí)，自相關(guān)函數(shù)按正弦振蕩形式衰減。實(shí)際中平穩(wěn)AR過程的自相關(guān)函數(shù)常表現(xiàn)為指數(shù)衰減和正弦衰減混合形式。

圖a.兩個(gè)特征根為實(shí)根圖b.兩個(gè)特征根為共軛復(fù)根注意：當(dāng)根取值遠(yuǎn)離單位圓時(shí)，k不必很大，自相關(guān)函數(shù)就會(huì)衰減至零。當(dāng)特征方程的根接近1時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢。AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)特征方程根取值的503.移動(dòng)平均過程的自相關(guān)函數(shù)（1）MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)xt=ut+1ut-1

k=E(xtxt-k)=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]

當(dāng)k=0時(shí)，

0=E(xtxt)=E[(ut+1ut-1)(ut+1ut-1)]=E(ut2+1utut-1+1utut-1+12ut-12)=(1+12)2當(dāng)k=1時(shí)

1=E(xtxt-1)=E[(ut+1ut-1)(ut-1+1ut-2)]=E(utut-1+1ut-12+1utut-2+12ut-1ut-2)=1E(ut-1)2=12

當(dāng)k

1時(shí)，

k=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]=03.移動(dòng)平均過程的自相關(guān)函數(shù)（1）MA(1)51綜合以上三種情形，MA(1)過程自相關(guān)函數(shù)為圖a.1

0圖b.10MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征（當(dāng)k

1時(shí)，k=0）綜合以上三種情形，MA(1)過程自相關(guān)函數(shù)為圖a.152（2）MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)k

q時(shí)，k=0，說明k(k=0,1,…)

具有截尾特征。注意此特征可用來識(shí)別MA(q)過程的階數(shù)。（2）MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)kq時(shí)，53

4.ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)形式與AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)相類似。根據(jù)模型中自回歸部分的階數(shù)p以及參數(shù)i的不同，ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和（或）正弦衰減混合形式。相關(guān)圖可以識(shí)別ARMA過程中MA分量階數(shù)p。4.ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)ARMA(545.相關(guān)圖（Autocorrelogram）

——估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，樣本自相關(guān)函數(shù)

當(dāng)用樣本矩估計(jì)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，則稱其為相關(guān)圖或

估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)：其中，T是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的樣本容量。實(shí)際中T不應(yīng)太小。對于年度時(shí)間序列數(shù)據(jù)，相關(guān)圖一般取k=15就足夠了。相關(guān)圖是對自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。由于MA過程和ARMA過程中的MA分量的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以通過相關(guān)圖可以估計(jì)MA過程的階數(shù)q。相關(guān)圖是識(shí)別MA過程階數(shù)和ARMA過程中MA分量階數(shù)的一個(gè)重要方法。

5.相關(guān)圖（Autocorrelogram）

55虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度：ACF和PACF估計(jì)值的方差近似為T-1。在觀察相關(guān)圖和偏相關(guān)圖時(shí)，若ACF和PACF估計(jì)值的絕對值超過2T-1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），就被認(rèn)為是顯著不為零。虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度：ACF和PACF估計(jì)值56二、偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）之所以稱“偏自相關(guān)函數(shù)”，因?yàn)槊恳粋€(gè)回歸系數(shù)kk

恰好表示xt與xt-k在排除了其中間變量xt-1,xt-2,…,xt-k+1影響之后的自相關(guān)系數(shù)。xt=11

xt-1+utxt=21xt-1+22

xt-2+ut……xt=k1xt-1+k2xt-2+…+kk

xt-k+ut1.偏自相關(guān)函數(shù)的定義

二、偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）之所以稱“偏自相572.自回歸過程的偏自相關(guān)函數(shù)

對于AR(1)過程，xt=11

xt-1+ut當(dāng)k=1時(shí)，110；當(dāng)k>1時(shí)，kk=0。所以AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k=1出現(xiàn)峰值（11=1）然后截尾。圖a.11

>0

圖b.11

<0對于AR(p)過程，當(dāng)k

p時(shí)，kk

0；當(dāng)k>p時(shí)，kk

=0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，此特征可用來識(shí)別AR(p)過程的階數(shù)。注意2.自回歸過程的偏自相關(guān)函數(shù)對于AR(1)過程，xt58

對于MA(1)過程：xt

=ut+1ut-1整理：[1/(1+1L)]xt=ut

，(1-1L+12L2-…)xt=ut

,

xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-…+ut

當(dāng)1>0時(shí)，自回歸系數(shù)的符號(hào)是正負(fù)交替的；當(dāng)1<0時(shí)，自回歸系數(shù)的符號(hào)全是負(fù)的。因?yàn)镸A(1)過程可以轉(zhuǎn)換為無限階的AR過程，所以其偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。3.移動(dòng)平均過程的偏自相關(guān)函數(shù)

圖a.1

0圖b.10對于MA(1)過程：xt=ut+1ut-59因?yàn)槿魏我粋€(gè)可逆的MA(q)過程都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無限階的系數(shù)按幾何遞減的AR過程，所以：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減特征。ARMA(p,q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)相類似。根據(jù)模型中移動(dòng)平均部分的階數(shù)q以及參數(shù)i的不同，ARMA(p,q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和（或）正弦衰減混合形式。因?yàn)槿魏我粋€(gè)可逆的MA(q)過程都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無限階的系604.偏相關(guān)圖（PartialCorrelogram）對于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的，可以用樣本估計(jì)偏自相關(guān)函數(shù)。

因?yàn)锳R過程和ARMA過程中AR分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可利用偏相關(guān)圖估計(jì)自回歸過程的階數(shù)p。實(shí)際中對于偏相關(guān)圖取k=15就足可以了。ACF和PACF估計(jì)值的方差近似為T-1。所以在觀察相關(guān)圖和偏相關(guān)圖時(shí)，若ACF和PACF估計(jì)值的絕對值超過2T-1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），就被認(rèn)為是顯著不為零。

4.偏相關(guān)圖（PartialCorrelogram）61用EViews計(jì)算估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。點(diǎn)擊View選correlogram功能。虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度：用EViews計(jì)算估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。點(diǎn)擊Vie62特征總結(jié)自回歸過程的特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)呈幾何衰減；其偏自相關(guān)函數(shù)的非零個(gè)數(shù)就等于AR模型的階數(shù)。移動(dòng)平均過程的特點(diǎn)：其自相關(guān)函數(shù)的非零個(gè)數(shù)等于MA模型的階數(shù)；偏自相關(guān)函數(shù)呈幾何衰減。自回歸移動(dòng)平均過程的特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)呈幾何衰減；偏自相關(guān)函數(shù)呈幾何衰減。特征總結(jié)自回歸過程的特點(diǎn)：63

AR(1)實(shí)根AR(2)實(shí)根AR(2)復(fù)根MA(1)MA(2)MA(2)※AR(1)實(shí)根AR(2)64※

AR(1)AR(2)AR(2)MA(1)實(shí)根MA(2)實(shí)根MA(2)復(fù)根※AR(1)A65AR(1)序列與相關(guān)圖AR(1)序列與相關(guān)圖66MA(1)序列與相關(guān)圖

MA(1)序列與相關(guān)圖67（第3版304頁）（第3版304頁）68時(shí)間序列模型課件69時(shí)間序列模型課件70時(shí)間序列模型課件71ARIMA模型識(shí)別舉例ARIMA模型識(shí)別舉例72習(xí)題Yt的差分變量Yt的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如下，Yt有可能是個(gè)什么形式的過程？寫出Yt的表達(dá)式。能事先說出參數(shù)的符號(hào)嗎？習(xí)題Yt的差分變量Yt的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如下，Yt有73§12.4時(shí)間序列模型的估計(jì)對于時(shí)間序列模型，一般采用極大似然法估計(jì)參數(shù)。需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)（漂移項(xiàng)）。如果包含漂移項(xiàng)，該漂移項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖冃危蓪祈?xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含漂移項(xiàng)的模型。

§12.4時(shí)間序列模型的估計(jì)對于時(shí)間序列模型，一般采用極74（第3版293頁）Wold分解定理

（第3版293頁）Wold分解定理75（第3版第293頁）Wold分解定理

（第3版第293頁）Wold分解定理76（第3版第293頁）Wold分解定理

（第3版第293頁）Wold分解定理77Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut

(8.7)(5.4)

在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CAR(1)注意：EViews輸出結(jié)果表示的是對序列(Dyt-0.142862)估計(jì)AR(1)模型

Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-78Dyt=0.0076+0.2627(Dyt-1-0.0076)+0.2767(Dyt-3-0.0076)+ut(7.4)(3.0)(3.2)在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CAR(1)AR(3)Dyt=0.0076+0.2627(Dyt-1-79dLnyt=0.0271+ut

+0.5963ut-1(2.1)(5.6)在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CMA(1)dLnyt=0.0271+ut+0.5963u80Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.0367)+ut+0.4758ut-1(0.7)(6.7)(2.8)在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CAR(1)MA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.036781

習(xí)題習(xí)題82習(xí)題

習(xí)題83時(shí)間序列模型課件84§12.5時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)估計(jì)完模型后，應(yīng)對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行診斷與檢驗(yàn)。估計(jì)的模型是否成立主要從以下幾個(gè)方面檢查：①模型參數(shù)估計(jì)量必須通過t檢驗(yàn)；②模型的殘差序列必須通過Q檢驗(yàn)；③模型的全部特征根的倒數(shù)都必須在單位圓以內(nèi)（自回歸、移動(dòng)平均兩部分滿足平穩(wěn)性和可逆性）。同時(shí)也要盡量做到：④模型結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)盡量簡練；⑤參數(shù)穩(wěn)定性要好；⑥預(yù)測精度要高?！?2.5時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)估計(jì)完模型后，應(yīng)對估計(jì)結(jié)果進(jìn)85殘差序列的Q檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)的零假設(shè)是H0：1=2=…=K

=0即模型誤差項(xiàng)的K階自相關(guān)系數(shù)全為零，誤差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲過程。

Q統(tǒng)計(jì)量定義為：其中，T表示樣本容量，rk

表示用殘差序列計(jì)算的自相關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)，p表示模型自回歸階數(shù)，q表示移動(dòng)平均階數(shù)。計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量的值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他成份，自相關(guān)系數(shù)不等于零，則Q值將很大。反之Q值將很小。判別規(guī)則是：若Q<2(K-p-q)，則接受H0。

若Q>2

(K-p-q)，則拒絕H0。殘差序列的Q檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)的零假設(shè)是其中，T表示樣本容量，rk86因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(

10-1-0)=16.9可以認(rèn)為模型誤差序列為非自相關(guān)序列。因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(10-1-087

設(shè)對時(shí)間序列樣本{xt},t=1,2,…,T，所擬合的模型是ARMA(1,1)

xt=1

xt-1+ut+1

ut-1

則理論上T+1期xt的值為：xT+1=1

xT+uT+1+1

uT

上式中1,

1和uT

用其估計(jì)值代替,uT+1未知，但E(uT+1)=0，故取uT+1=0，那么，xT+1的實(shí)際預(yù)測式為：理論上xT+2的預(yù)測式是：xT+2=1xT+1+uT+2+1

uT+1，此時(shí)仍取uT+1=0uT+2=0，則xT+2的預(yù)測式是：與此類推，xT+3的預(yù)測式是：

隨著預(yù)測期的加長，預(yù)測式中移動(dòng)平均項(xiàng)逐步淡出預(yù)測模型，預(yù)測式變成了純自回歸形式。§12.6時(shí)間序列模型的預(yù)測

設(shè)對時(shí)間序列樣本{xt},t=1,2,…,88對于MA(q)過程，當(dāng)預(yù)測期超過q時(shí)，預(yù)測值等于零。若上面所用的xt是一個(gè)差分變量，設(shè)yt=xt，則得到的預(yù)測值相當(dāng)于,(t=T+1,T+2,…)。因?yàn)閥t

=yt-1+yt所以原序列T+1期預(yù)測值應(yīng)按下式計(jì)算其中是相應(yīng)上一步的預(yù)測結(jié)果。對于MA(q)過程，當(dāng)預(yù)測期超過q時(shí)，預(yù)測值等于零。89file:li-12-1file:5arma07file:li-12-190案例1（中國人口時(shí)間序列模型）從人口序列圖可以看出，我國人口總水平除在1960和1961年出現(xiàn)回落外，其余年份基本上保持線性增長趨勢。51年間平均每年增加人口1423.06萬人，年平均增長率為16.8‰。由于總?cè)丝跀?shù)逐年增加，實(shí)際上的年人口增長率是逐漸下降的。把51年分為兩個(gè)時(shí)期，即改革開放以前時(shí)期和改革開放以后時(shí)期，則前一個(gè)時(shí)期的年平均增長率為20‰，后一個(gè)時(shí)期的年平均增長率為12.58‰。從人口序列的變化特征看，這是一個(gè)非平穩(wěn)序列。

中國人口序列中國人口一階差分序列（第3版310頁）案例1（中國人口時(shí)間序列模型）從人口序列圖可以看出91人口序列yt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖人口序列yt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖92人口差分序列Dyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖人口差分序列Dyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖93表達(dá)式是Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut

(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9（1）t檢驗(yàn)通過；（2）Q檢驗(yàn)通過；（3）特征根倒數(shù)在單位圓之內(nèi)EViews估計(jì)結(jié)果是(Dyt-0.1429)的AR(1)過程估計(jì)結(jié)果，而非Dyt的AR(1)過程估計(jì)結(jié)果。其中0.1429是用AR(1)模型估計(jì)的序列Dyt的均值，其含義是51年間平均年增加人口數(shù)是1428.62萬人。用樣本計(jì)算的均值是0.1431。表達(dá)式是Dyt=0.1429+0.6171(94Q(10)=5.2。因?yàn)镼(10)=5.2<Q0.05(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9，所以模型的隨機(jī)誤差序列也達(dá)到了非自相關(guān)的要求。特征根倒數(shù)在單位圓之內(nèi)Q(10)=5.2。因?yàn)镼(10)=5.2<Q095時(shí)間序列模型課件96差分序列Dyt中的常數(shù)，在原序列yt中是斜率。差分序列Dyt中的常數(shù)，在原序列yt中是斜率。97時(shí)間序列模型課件98時(shí)間序列模型課件99

（1）在打開工作文件的基礎(chǔ)上，從EViews主菜單中點(diǎn)擊Quick鍵，選擇EstimateEquation功能。會(huì)彈出Equationspecification對話框。輸入1階自回歸時(shí)間序列模型估計(jì)命令如下：D(Y)CAR(1)

其中C表示漂移項(xiàng)。點(diǎn)擊OK鍵。（2）模型中若含有移動(dòng)平均項(xiàng)，EViews命令用MA(q)表示。（3）點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的View鍵，選ResidualTests,Correlogram-Q-statistics功能，在隨后彈出的對話框中指定相關(guān)圖的最大滯后期，比如選15，點(diǎn)擊OK鍵，即可得到模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖以及Q統(tǒng)計(jì)量。（4）點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的Forcast鍵，在隨后彈出的對話框中做出適當(dāng)選擇，就可以得到y(tǒng)t和Dyt的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)、結(jié)構(gòu)、非結(jié)構(gòu)預(yù)測值。附錄：用EViews估計(jì)時(shí)間序列模型的方法（1）在打開工作文件的基礎(chǔ)上，從EViews主菜單中點(diǎn)擊100點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的Forcast鍵，在隨后彈出的對話框中做出適當(dāng)選擇，就可以得到y(tǒng)t和Dyt的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)預(yù)測值，結(jié)構(gòu)預(yù)測和非結(jié)構(gòu)預(yù)測值。12.788EViews7點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的Forcast鍵，在隨后彈出101案例2天津市GDP模型（1978-2008）案例2天津市GDP模型（1978-2008）102時(shí)間序列模型課件1032009年天津GDP的預(yù)測值為：7859.987億元2009年天津GDP的預(yù)測值為：7859.987億元1042009年天津GDP的預(yù)測值為：7983.388億元2009年天津GDP的預(yù)測值為：7983.388億元105用1872-1994年的日本人口數(shù)（Y，單位：億人）序列的差分序列（記作：DY）得估計(jì)模型和模型殘差序列的相關(guān)圖。寫出模型的估計(jì)式。解釋常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際含義。求模型的漂移項(xiàng)的值。寫出估計(jì)模型對應(yīng)的特征方程。計(jì)算特征根倒數(shù)-0.24+0.56i的模等于多少。說明此模型建立的是否合理？如果估計(jì)結(jié)果為真，Dyt的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，還是截尾的？已知Dy1994=0.0027,Dy1992=0.00409,y1994=1.25034,試對1995年的日本人口總數(shù)Y1995做樣本外靜態(tài)預(yù)測。并計(jì)算預(yù)測誤差（給定y1995=1.25569億）課堂練習(xí)用1872-1994年的日本人口數(shù)（Y，單位：億人）序列的差106時(shí)間序列模型課件107

108

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111

112

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122

123用組合模型重新考慮第六章案例分析

Yt和Xt散點(diǎn)圖殘差圖用組合模型重新考慮第六章案例分析Yt和Xt散點(diǎn)圖124

125時(shí)間序列模型課件126

127注意：（1）R2值有所下降。不應(yīng)該不相信估計(jì)結(jié)果。原因是兩個(gè)回歸式所用變量不同，所以不可以直接比較確定系數(shù)R2的值。（2）兩種估計(jì)方法的回歸系數(shù)有差別。計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為回歸系數(shù)廣義最小二乘估計(jì)量優(yōu)于誤差項(xiàng)存在自相關(guān)的OLS估計(jì)量。所以0.6782應(yīng)該比0.7118更可信。特別是最近幾年，天津市城鎮(zhèn)居民人均收入的人均消費(fèi)邊際系數(shù)為0.6782更可信。（3）用EViews生成新變量的方法：從工作文件主菜單中點(diǎn)擊Quick鍵，選擇GenerateSeries…功能。打開生成序列（GenerateSeriesbyEquation）對話框。在對話框中輸入如下命令（每次只能輸入一個(gè)命令），Y=CONSUM/PRICEX=INCOME/PRICE按OK鍵。變量Y和X將自動(dòng)顯示在工作文件中。注意：128組合模型克服自相關(guān)組合模型克服自相關(guān)129時(shí)間序列模型課件130組合模型結(jié)果：組合模型結(jié)果：131GLS估計(jì)結(jié)果：

R2=0.95，DW=2.31MARMA結(jié)果：

(3.54)(19.6)(4.34)R2=0.9938，DW=2.25

隨機(jī)誤差項(xiàng)已不存在自相關(guān)。GLS估計(jì)結(jié)果：(3.54)132例6.2天津市保費(fèi)收入和人口的回歸關(guān)系

本案例主要用來展示當(dāng)模型誤差項(xiàng)存在2階自回歸形式的自相關(guān)時(shí)，怎樣用廣義差分法估計(jì)模型參數(shù)。1967~1998年天津市的保險(xiǎn)費(fèi)收入（Yt，萬元）和人口（Xt，萬人）數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖見圖。Yt與Xt的變化呈指數(shù)關(guān)系。對Yt取自然對數(shù)?？梢栽贚nYt與Xt之間建立線性回歸模型:

LnYt=0+1

Xt+ut

Yt和Xt散點(diǎn)圖LnYt和Xt散點(diǎn)圖例6.2天津市保費(fèi)收入和人口的回歸關(guān)系133時(shí)間序列模型課件134

135時(shí)間序列模型課件136組合模型克服自相關(guān)組合模型克服自相關(guān)137組合模型結(jié)果：組合模型結(jié)果：13815十二月2022時(shí)間序列模型課件12十二月2022時(shí)間序列模型課件139第十二章時(shí)間序列模型

§12.1時(shí)間序列定義§12.2時(shí)間序列模型的分類§12.3時(shí)間序列模型的建立§12.4時(shí)間序列模型的識(shí)別§12.5時(shí)間序列模型的估計(jì)§12.6時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)§12.7時(shí)間序列模型的預(yù)測§12.8案例分析§12.9回歸與ARMA組合模型第十二章時(shí)間序列模型

§12.1時(shí)間序列定義140時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。

注意序列的平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，應(yīng)先通過差分使其平穩(wěn)后，再建立時(shí)間序列模型。估計(jì)ARMA模型方法是極大似然法。對于給定的時(shí)間序列，模型形式的選擇通常并不是惟一的。在實(shí)際建模過程中經(jīng)驗(yàn)越豐富，模型形式選擇就越準(zhǔn)確合理。ARIMA模型的特點(diǎn)讓數(shù)據(jù)自己說話（第3版282頁）時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins(197141時(shí)間序列模型課件142當(dāng)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型體系當(dāng)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型體系143§12.1時(shí)間序列定義一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列二、平穩(wěn)性三、非平穩(wěn)性四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子五、兩種基本的隨機(jī)過程：白噪聲和隨機(jī)游走

§12.1時(shí)間序列定義一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列144隨機(jī)過程：隨時(shí)間由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過程，用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。時(shí)間序列：隨機(jī)過程的一次觀測結(jié)果(一次實(shí)現(xiàn)),時(shí)間序列中的元素稱為觀測值。時(shí)間序列也用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。假設(shè)樣本觀測值來自無窮隨機(jī)變量序列那么這個(gè)無窮隨機(jī)序列稱為隨機(jī)過程。

一、隨機(jī)過程與時(shí)間序列（第3版282頁）隨機(jī)過程與時(shí)間序列的關(guān)系隨機(jī)過程：隨時(shí)間由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過程，用145

協(xié)方差平穩(wěn)過程（covariancestationaryprocess）

如果一個(gè)隨機(jī)過程xt滿足以下性質(zhì)，(1)均值：E(xt)=(常數(shù))(2)方差：var(xt)=2

(常數(shù))(3)自協(xié)方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一種更為簡便的方法是用自相關(guān)系數(shù)來描述自協(xié)方差，即通過自協(xié)方差除以方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后而得到ρk=rk/r0。）這時(shí)稱xt是協(xié)方差平穩(wěn)過程，也稱寬平穩(wěn)或弱平穩(wěn)過程。

平穩(wěn)過程指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化。直觀上，平穩(wěn)的時(shí)間序列可看作一條圍繞均值上下波動(dòng)的曲線。二、平穩(wěn)性（stationary）協(xié)方差平穩(wěn)過程（covariancestationar146單整過程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性（non-stationary）非平穩(wěn)過程指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。這些非平穩(wěn)的時(shí)間序列經(jīng)過差分變化以后，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)的。

對于隨機(jī)過程，如果必須經(jīng)過d次差分之后才能變換成為一個(gè)平穩(wěn)的過程，而當(dāng)進(jìn)行d-1次差分后仍是一個(gè)非平穩(wěn)過程，則稱此隨機(jī)過程具有d階單整性，記為檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性是建模的基礎(chǔ)！單整過程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性147差分指時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算。一階差分可表示為：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt

其中稱為一階差分算子；滯后算子：用L表示定義一階滯后算子為：Lxt=xt-1k階滯后算子定義為：Lnxt=xt-n

四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子差分指時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算。四、補(bǔ)充：差1481.白噪聲（whitenoise）過程

若隨機(jī)過程{xt}(tT)滿足以下條件則稱為白噪聲過程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2

,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)

T,k

0五、兩種基本的隨機(jī)過程

a.由白噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列b.日元對美元匯率的收益率

白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過程經(jīng)典線性回歸對殘差的要求是一個(gè)白噪聲過程（第3版283頁）1.白噪聲（whitenoise）過程五、兩種基本的隨機(jī)1492.隨機(jī)游走（randomwalk）過程

對于xt=xt-1+ut，若ut為白噪聲過程，稱xt為隨機(jī)游走過程。隨機(jī)游走過程的均值為零，方差為無限大。

xt=xt-1+ut

=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=

隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。對隨機(jī)游走進(jìn)行一階差分，可將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過程。xt=xt-xt-1=ute.由隨機(jī)游走過程產(chǎn)生時(shí)間序列f.日元對美元匯率（第3版291頁）2.隨機(jī)游走（randomwalk）過程e.由隨機(jī)游150§12.2時(shí)間序列模型的分類一、自回歸過程AR(p)二、移動(dòng)平均過程MA(q)三、自回歸移動(dòng)平均過程ARMA(p,q）四、單整自回歸移動(dòng)平均過程ARIMA(p,d,q)§12.2時(shí)間序列模型的分類一、自回歸過程AR(p)151一、自回歸過程AR(p)

1.p階自回歸過程AR(p)

xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut

其中：i,i=1,…p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過程。

xt是由它的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。上式用滯后算子表示為：(1-1L-2L2-…-pLp)xt

=L)xt=ut

L)=1-1L-2L2-…-pLp稱為特征多項(xiàng)式或自回歸算子平穩(wěn)性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1–Gpz)=0

的所有根的絕對值都大于1，則AR(p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。自回歸過程的變量xt，僅僅依賴于它的各個(gè)前期的值再加上一個(gè)誤差項(xiàng)。

之所以稱之為特征方程，是因?yàn)樗母鶝Q定了過程xt的特征。（第3版284頁）一、自回歸過程AR(p)1.p階自回歸過程AR(152（第3版284頁）（第3版284頁）1532.AR(1)過程分析

xt=1xt-1+ut

平穩(wěn)性的條件是特征方程(1-1L)=0根的絕對值必須大于1，滿足|1/1|1，也就是|1|<1xt=ut

+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短記憶過程）因?yàn)閡t

是一個(gè)白噪聲過程，所以對于平穩(wěn)的AR(1)過程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12

u2+14u2+…=上式說明若保證xt平穩(wěn)，必須保證|1|<1。中國旅游人數(shù)差分序列（第3版284頁）2.AR(1)過程分析xt=1xt-1154在Equationspecification對話框輸入：D(Y)CAR(1)在Equationspecification對話框輸入：D155（第3版286頁）（第3版286頁）156習(xí)題1為了驗(yàn)證這一性質(zhì)，首先將yt-1用滯后算子表示Lytyt=Lyt