小升初數(shù)學(xué)銜接教材 第15講：角與角的運算 教師版

第15講角與角的運算【教材精講】教學(xué)目標(biāo)：1、掌握角的兩種定義形式和四種表示方法．2、會比較角的大小，能估計一個角的大?。?、認(rèn)識度、分、秒，會進行度、分、秒間單位互化及角的和、差、倍、分計算．4、認(rèn)識角的平分線；熟練掌握用尺規(guī)作一個角等于已知角．教學(xué)重點：角的概念與角的表示方法，角的大小比較方法，度、分、秒間單位互化及角的和、差、倍、分計算．用尺規(guī)作一個角等于已知角.教學(xué)難點：正確地表示角，度、分、秒間單位互化及角的和、差、倍、分計算．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)舊知小學(xué)中我們已經(jīng)認(rèn)識了角，學(xué)過哪些關(guān)于角的知識？下面我們更加詳細(xì)地研究角的有關(guān)知識.二、探求新知（一）角的概念1、在學(xué)生充分發(fā)表自己對角的認(rèn)識的基礎(chǔ)上，師生共同歸納得出：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。2、下面的三個圖形是角嗎？不是，因為不符合角的定義，即有公共端點的兩條射線組成的圖形。（二）角的表示我們發(fā)現(xiàn)了生活中有許多角的形象．那么，我們?nèi)绾谓o這些角取名呢？有四種方法來表示：用角的兩邊和角的頂點的字母來表示，如ZAOB，其中O為角的頂點;用角的頂點字母表示，如ZA,其中A為角的頂點；用數(shù)字書寫在角的內(nèi)部來表示，如Z1、Z2等；用希臘字母來表示，類似于用數(shù)字來表示一樣，如Za.Zp等。用旋轉(zhuǎn)觀點定義角思考：在一艘輪船正在大海上打開探照燈尋找目標(biāo)或一只掛鐘的鐘擺不停地擺動，在這個過程中，有以新的方式出現(xiàn)的角嗎？探照燈光線移動或鐘擺擺動所形成的圖形，也可看成是角。在討論的基礎(chǔ)上，歸納：角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。演示：當(dāng)射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條線時，會形成什么角？繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OB和OA重合時，又形成什么角？當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條線時，會形成平角，也即角的度數(shù)為1800，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OB和OA重合時，又形成周角，也即角的度數(shù)為3600。把圖中的角表示成下列形式，哪些正確，哪些不正確？ZAPO(2)ZAOP(3)OPC(4)ZOCP(5)ZO(6)ZP正確的有：(1)(3)(6)錯誤的有：(2)(4)(5)3?圖中以O(shè)點為頂點的角有幾個？以D點為頂點的角有幾個？以O(shè)點為頂點的角有3個：ZAOB、ZAOC、ZBOC；以D為頂點的角有4個。度分秒在實際生活中，有時還需要更精密的角度?因此我們把1度的角60等分，每份就是1分的角，記作1'；把1分的角60等份，每份就是1秒的角，記作1〃.即：1°=60'，1'=60〃歸納：以度、分、秒為單位的角的度量制叫做角度制．想一想：角度進位制和其他什么進位制相類似？(時間進位制)2、出示兩個問題：問題1：3.32小時=3小時19分12秒:3.32度=3度19分12秒。問題2：12小時9分36秒=12.16小時；12。9'36〃=12.16度分組討論后，請學(xué)生回答度、分、秒間的轉(zhuǎn)化方法．因為計算的時候要將十進制換算成60進制，可將0.32x3600(按照秒計算)得出19.2分，那么0.2分x60得出12秒。故答案為3小時19分12秒。角度由十進制換算成60進制也是同樣的道理。（2）先將秒換算成分，再將分換算成小時。6秒=36-60分=0.6分9分+0.6分=9.6分9.6分=9.6-60小時=0.16小時12小時9分36秒=12.16小時師生總結(jié)得出：由度化分，由分化秒，只要乘以60即可；由秒化分，由分化l度，只要除以60就行.例1：計算：（1）32°21'+68°48';（2）90°-25°32';（3）15°23'8”x4.【答案】（1）101°9'（2）64°28'（3）61°32'32”【解析】（1）32°21'+68°48'=100°69'=101°9'（2）90°-25°32'=89°60'-25°32'=64°28'（3）15°23'8”x4=60。92'32”=61。32'32”練習(xí)：計算：（1）13°29'+78°37'，（2）62°5'-21°39'，（3）107°43'-5【答案】（1）92。6'（2）40。26'（3）21。32'36〃【解析】（1）13。29'+78。37'=91。66'=92。6'（2）62。5'-21。39'=61。65'-21。39'=40。26'（3）107。43'十5=21.4。8.6'=21。32.6'=21。32'36〃3、平角、周角的度數(shù)：例2：把一個周角8等分，每一份是多少度的角？每一份角的度數(shù)：360。十8=45°（五）角的大小比較如圖已知ZABC和ZDEF。請大家討論一下，用什么方法可以比較這兩個角的大?。糠纸M討論角的比較方法．在學(xué)生討論過程中，教師深入學(xué)生中間巡視，觀察并聽取他們解決問題的方法和建議．可適當(dāng)組織交流或分組匯報．師生共同歸納角的比較方法：（1）度量方法：用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小。（2）疊合方法：把兩個角疊合在一起比較大小。2、觀察下列圖形，圖中共有幾個角？它們之間有什關(guān)系？3個，ZCOB、ZCOA、ZBOA；ZCOA=ZCOB+ZBOA（六）角的平分線問題問題1：用一副三角尺，你能畫出哪些度數(shù)的角？30°、45°、60°、90°；15°、75°、105°、120°、135°、150°。問題2：在一張紙上畫出一個角并剪下，將這個角對折，使其兩邊重合．想想看，折痕與角兩邊所成的兩個角的大小有什么關(guān)系？相等。折痕與角兩邊重合，相當(dāng)于把角平均分成兩份，所以兩角相等。由問題2的探討，引出角的平分線定義及其幾何表達式．類似的還有角的三等分線、四等分線等等．想一想，還有什么方法可畫出一個角的平分線呢？一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。可用量角器平分、尺規(guī)作圖等方法。（七）尺規(guī)作圖1、畫一個角等于已知角，除用量角器外，你還有別的辦法嗎？尺規(guī)作圖法。2、教師不用量角器和三角尺，而用直尺和圓規(guī)來畫一個角等于已知ZAOB.分組討論：角的頂點和角的一邊如何確定？角的另一邊怎樣畫出？畫圖的關(guān)鍵是什么？角的頂點和角的一邊直接作出即可；角的另一邊需要用尺規(guī)作圖法確定；畫圖的關(guān)鍵是確定角的另一邊上的一個點。3、教師按課本的步驟邊講邊畫，學(xué)生跟著老師的步驟畫．以O(shè)點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于OA，OB于點C，D；做一條射線O'A',以點O'為圓心，OC長為半徑作弧，交O'A，于點C'；以點C'為圓心，CD長為半徑作弧，交前弧于點D'；過點O',D'做射線O'B'；ZA'O'B'就是所求作的角。4、已知Z1和Z2如下圖所示，用尺規(guī)作圖畫出ZAOB=Z1+Z2，保留作圖痕跡（八）角的計算例3：已知在平面內(nèi)，ZAOB=7O°,ZBOC=4O。，求ZAOC的度數(shù).【答案】30°或110°【解析】試題分析：ZBOC可能在ZAOB里邊，也可能在ZAOB外邊，分情況計算即可。解：ZBOC在ZAOB里邊時，ZAOC=ZAOB—ZBOC=70。一40°=30°ZBOC在ZAOB外邊時，ZAOC=ZAOB+ZBOC=70°+40°=110°故答案為30°或110°。例4：如圖，ZAOB=35°,ZBOC=90°,OD是ZAOC的平分線，求ZBOD的度數(shù).【答案】27.5°【解析】ZBOD=ZAOD—ZAOB11ZAOD=2ZAOC=2(ZAOB+ZBOC)L-iL-i11???ZBOD=ZAOD—ZAOB=-(ZBOC—ZAOB)=-(90°—35°)=27.5°L-iL-i三、課堂小結(jié)：這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？【達標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇題(每題3分)【解析】試題分析：同一個角的表示方法有4種，其共同點是有共同的頂點和兩條邊，對比四個選項，只有D選項滿足。故選D?？键c：角的概念，角的表示。2.下列說法中正確的是()兩點之間的所有連線中，線段最短射線就是直線兩條射線組成的圖形叫做角小于平角的角可分為銳角和鈍角兩類【答案】A【解析】試題分析：選項A是線段公理，正確；射線有端點、直線無端點，選項B錯誤；有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，選項C錯誤；小于平角的角還有直角，D選項錯誤。故選A?？键c：線段公理，角的概念。已知，如圖，C、D是OA上兩點，E、F是OB上兩點，下列各式中，表示ZAOB錯誤的是（）ZCOEB.ZAOFC.ZDOBD.ZEOF【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)角的定義，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，逐一驗證選項。選項A、B、C中角的兩條邊都分別落在了射線OA和射線OB上，均表示的是ZAOBoD選項ZEOF的兩條邊均落在了射線OB上，是另一個角，不能表示ZAOBo故選Do考點：角的表示。4．8點30分時，時鐘的時針與分針?biāo)鶌A的銳角是（）A．70°B．75°C．80°D．60°【答案】B【解析】試題分析：8點30分，時針和分針中間相差2.5個大格．?/鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°???8點30分時針與分針的夾角是2.5。0。=75。故答選Bo考點：角度的計算。已知，ZAOC=90。，且ZAOB：ZAOC=2：3,則ZBOC的度數(shù)為（）A.30°B.150°C.30°或150°D.90°【答案】C【解析】試題分析：ZBOC可能落在ZAOC里邊，也可能落在ZAOC外邊，兩種情況就需要分情況計算。???ZAOB：ZAOC=2：3???ZAOB=60°ZBOC落在ZAOC里邊時，ZBOC=ZAOC-ZAOB=30°ZBOC落在ZAOC外邊時，ZBOC=ZAOC+ZAOB=150。故選Co考點；角度的計算。已知ZMON=30°,ZNOP=15。，則ZMOP=（）A.45°B.15°C.45°或15。D.無法確定【答案】C【解析】試題分析：ZNOP可能落在ZMON里邊，也可能落在ZMON外邊，兩種情況就需要分情況計算。ZNOP落在ZMON里邊時，ZMOP=30°-15°=15°ZNOP落在ZMON外邊時，ZMOP=30°+15°=45°故選Co考點：角度的計算。如圖，用尺規(guī)作出ZOBF=ZAOB,作圖痕跡MN是（）A.以點B為圓心，OD為半徑的圓B.以點B為圓心，DC為半徑的圓C.以點E為圓心，OD為半徑的圓D.以點E為圓心，DC為半徑的圓【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)尺規(guī)作圖法步驟，可直接推出作圖痕跡MN的由來。完整作圖步驟如下：以O(shè)點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于OA，OB于點C，D；以點B為圓心，OC長為半徑作弧，交OB于點E；以點E為圓心，DC長為半徑作弧，交前弧于點F；過點B，F(xiàn)做射線OF；ZOBF就是所求作的角?？芍鲌D痕跡MN是第③步“以點E為圓心，DC長為半徑作弧”得來的。故選Do考點：尺規(guī)作圖。8?如圖所示，已知O是直線AB上一點，Z1=40°,OD平分ZBOC，則Z2的度數(shù)是（）（A）20°（B）25°（C）30°（D）70°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系，以及角平分線的作用，確定Z2的等量關(guān)系式。???Z2=180°-Z1-ZCOD又OD平分ZBOC得ZCOD=Z2???Z2=180°-Z1-Z21Z2=2（180°-Z1）=70°乙故選D考點：角平分線，角度的計算。二、填空題（每題3分）計算：15。37'+42。51'=.【答案】58。28'【解析】試題分析：角度的運算為60進制，度加度、分加分，然后進位得到最終答案。15。37'+42。51'=57。88'=58。28'考點：度分秒的計算。如圖，OC平分ZAOB，若ZAOC=27°32f,則ZAOB=.【答案】55。4，【解析】試題分析：根據(jù)角平分線的關(guān)系，得出ZAOB的等量關(guān)系式，按照度分秒的計算規(guī)則計算即可。ZAOB=2ZAOC=2x27。32'=54。64'=55。4'考點：角平分線，度分秒的計算。如果ZAOB=34°，ZBOC=18°，則ZAOC的度數(shù)為.【答案】16°或52°【解析】試題分析：ZBOC可能落在ZAOB里邊，也可能落在ZAOB外邊，兩種情況就需要分情況計算。ZBOC落在ZAOB里邊時，ZAOC=ZAOB-ZBOC=34。一18°=16°ZBOC落在ZAOB外邊時，ZAOC=ZAOB+ZBOC=34°+18°=52°故答案為16°或52°。考點：角度的計算。直線AB、CD相交于點O,OE是ZAOD的平分線，ZAOC=26。，則ZAOE的度數(shù)為【答案】77°【解析】試題分析：根據(jù)角平分線以及相關(guān)角度的關(guān)系，得出ZAOE的等量關(guān)系式。TOC\o"1-5"\h\z111ZAOE=2ZAOD=-(180-ZAOC)=-(180。一26°)=77°L-iL-iL-i故答案為77°。考點：角平分線，角度的計算。57.32°=°'〃.【答案】571912【解析】試題分析：角度從十進制轉(zhuǎn)化為60進制時，將度的小數(shù)部分乘以60轉(zhuǎn)化為分，然后再將分的小數(shù)部分乘以60轉(zhuǎn)化為秒。0.32°=0.32x60,=19202=0.2x60〃=12〃故答案為571912考點：度分秒的轉(zhuǎn)化。三、解答題(每題10分)14.計算：22°18,x5；90°-57°23'27〃.【答案】(1)111°30,(2)32°36,33〃【解析】試題分析：度分秒的乘法計算，分別乘以度分秒，然后再進位，得到最終答案；度分秒的減法計算，被減數(shù)首先化為與減數(shù)一致的度分秒，然后度減度、分減分、秒減秒，最后再進位得到最終結(jié)果。解：(1)22°18,x5=110°90,=111°30,(2)90°-57°23,27〃=89°59,60〃-57°23,27〃=32°36,33〃考點：度分秒的計算。15?如圖，ZAOB=ZCOD=90°,OC平分ZAOB,ZBOD=3ZDOE.試求ZCOE的度數(shù).答案】75°【解析】試題分析：根據(jù)角平分線和相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系，確定ZCOE的等量關(guān)系式，直接計算即可得出答案。解：???ZCOE=ZCOB+ZBOE2而ZBOE=ZBOD-ZDOE=ZBOD3又ZAOB=ZCOD=90°,OC平分ZAOB1得ZCOB=ZBOD=2ZCOD=45。L-i2???ZCOE=ZCOB+ZBOE=ZCOB+ZBOD=75°3故答案為75°?？键c：角平分線，角度的計算。【闖關(guān)測驗】一、選擇題（每題3分）1．如圖，下列表示角的方法中，不正確的是（）A.ZAB.ZEC.ZaD.Z1【答案】B【解析】試題分析：角的表示方法有4種。用角的兩邊和角的頂點的字母來表示，如ZAOB，其中O為角的頂點；用角的頂點字母表示，如ZA,其中A為角的頂點；用數(shù)字書寫在角的內(nèi)部來表示，如Z1、Z2等；用希臘字母來表示，類似于用數(shù)字來表示一樣，如Za、Z卩等。不難發(fā)現(xiàn)選項A、C、D均為正確的角的表示方法；而ZE不確定表示的是ZBEC還是ZAEC,B選項不正確。故選B?？键c：角的表示方法。2.如圖，AB是直線，O是直線上一點，OC、OD是兩條射線，則圖中小于平角的角有（）A．3個B．4個C．5個D．6個【答案】C【解析】試題分析：平角為180°，數(shù)出圖中小于180°的角即可。從左往右依次有，ZAOC、ZAOD；ZCOD、ZCOB；ZDOB；共5個。故選Co考點：角的概念。3．用一副三角板可以畫出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板畫出的是（）A．15°B．75°C．85°D．105°【答案】C【解析】試題分析：一副三角板包括一個等邊三角形、一個等腰直角三角形和一個含30度角的直角三角形。能用一副三角板畫出的角一定是這些三角板中包含的度數(shù)以及這些度數(shù)的加減。一副三角板可直接畫出的度數(shù)有：30°、45°、60°、90°；一副三角板通過拼接可畫出的度數(shù)有：15°、75°、105°、120°、135°、150°o故選Co考點：角的概念，角度的計算。把15。48'36〃化成以度為單位是（）A.15.8°B.15.4836°C.15.81°D.15.36°【答案】C【解析】試題分析：先將秒化為分，再將分化為度即可。???36〃=06又48.6'=48.6-60=0.81°???15°48'36〃=15.81°故選Co考點：度分秒的轉(zhuǎn)化。如圖，ZAOB是直角，ZAOC=38°,OD平分ZBOC，則ZAOD的度數(shù)為（）A.52°B.38°C.64°D.26°答案】D【解析】試題分析：根據(jù)相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系，確定ZAOD的等量關(guān)系式。ZAOD=ZAOC+ZCOD1=ZAOC+2ZBOC乙1=ZAOC+2（90°-ZAOC）乙1=45。一-?38。乙=26。故選D?？键c：角度的計算。6．將21.54。用度、分、秒表示為（）A.21。54'B.21。50'24〃C.21。32'40〃D.21。32'24〃【答案】D【解析】試題分析：角度從10進制轉(zhuǎn)化為60進制。將度的小數(shù)部分乘以60得到分，將分的小數(shù)部分乘以60得到秒。???0.54°=0.54X60'=32.4'04=0.4X60〃=24〃???21.54°=21。32'24〃故選D。考點：度分秒的計算。計算15°23*4的結(jié)果是（）A.60°92'B.60.92°C.60°32'D.61°32'【答案】D【解析】試題分析：度分秒的乘法計算，度分秒分別乘以乘數(shù)，然后再對分秒進位得到最終結(jié)果。15°23'x4=60°92'=61°32'故選D。考點：度分秒的計算。如圖，從點O出發(fā)的五條射線，可以組成（）個角.A．4B．6C．8D．10【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)角的概念，從上往下依次列舉出所有的角，做到不重不漏。AOB、AOC、AOD、AOE；BOC、BOD、BOE；COD、COE；DOE。共10個角。故選Do考點：角的概念。9．下面等式成立的是（）83.5。=83。50'37。12'36〃=37.48。24。24'24〃=24.44。41.25。=41。15'【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)10進制轉(zhuǎn)60進制的規(guī)則、60進制轉(zhuǎn)10進制的規(guī)則，逐一驗證選項。A選項錯誤，0.5°轉(zhuǎn)化為分是30'；1236〃轉(zhuǎn)化為度是0.21°，B選項錯誤；24'24〃轉(zhuǎn)化為度小于0.41°，C選項錯誤；0.25°轉(zhuǎn)化為分是15'，D選項正確。故選Do考點：度分秒的轉(zhuǎn)化。已知ZAOB=80°，OM是ZAOB的平分線，ZBOC=20°,ON是ZBOC的平分線，則ZMON的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.30°或50°【答案】D【解析】試題分析：ZBOC可能在ZAOB里邊，也可能在外邊，分情況計算。11ZBOC可能在ZAOB里邊時，ZMON=ZMOB-ZBON=§ZAOB-§ZB0C=30°L-iL-i11ZBOC可能在ZAOB外邊時，ZMON=ZMOB+ZBON=§ZAOB+§ZBOC=50°L-iL-iZMON的度數(shù)為30?；?0。。故選D?？键c：角平分線，角度的計算。二、填空題（每題3分）計算：42。48'+36。25』°【答案】7913【解析】試題分析：度分秒的加法計算，度分秒分別相加，然后進位得到最終結(jié)果42。48'+36。25'=78。73'=79。13'故答案為79,13?？键c：度分秒的計算。計算5400〃=°.【答案】1.5【解析】試題分析：秒除以3600，即可化為度5400〃=5400三3600=1.5°故答案為1.5?？键c：度分秒的轉(zhuǎn)化。13?角度換算：45.18度=度分秒.【答案】451048【解析】試題分析：角度從10進制轉(zhuǎn)化為60進制。將度的小數(shù)部分乘以60得到分，將分的小數(shù)部分乘以60得到秒。???0.18°X60=10.8’0.8ZX60=48〃???45.18°=45°10’48〃故答案為45,10,48?？键c：度分秒的轉(zhuǎn)化。如圖所示，ZAOB=90°,OE,OC分別是ZAOD,ZDOB的平分線，則ZEOC=°.【答案】45°【解析】試題分析：根據(jù)相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系，確定ZEOC的等量關(guān)系。ZEOC=ZEOD+ZCOD11=2ZAOD+2ZBOD1=2ZAOB=45°故答案為45°。考點：角平分線、角度的計算。15?鐘表時間是2時15分時，時針與分針的夾角.【答案】22.5°【解析】試題分析：鐘表盤面有12個大格，每個大格有5個小格，一大格30°，一小格6°。丁時鐘指示2時15分時，分針指到3,時針指到2與3之間，時針從2到這個位置經(jīng)過了15分鐘，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，因而轉(zhuǎn)過7.5°，???時針和分針?biāo)傻匿J角是30°-7.5=22.5°.故答案為：22.5°?？键c：角度的計算。已知在平面內(nèi)，ZAOB=60°,OD是ZAOB的角平分線，ZBOC=20°，則ZCOD的度數(shù)是.【答案】10°或50°【解析】試題分析：ZBOC可能在ZAOB里邊，也可能在ZAOB外邊，分情況計算即可。ZBOC在