專題06 直角三角形（解析版）-【挑戰(zhàn)壓軸題】2022屆中考數(shù)學(xué)專題精選匯編

2021-2022學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題06直角三角形一．選擇題1．（2021春?章丘區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAC＝5∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【完整解答】解：設(shè)∠BAE＝x°，則∠BAC＝5x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝5x°﹣x°＝4x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴4x+5x＝90，解得：x＝10，即∠C＝40°，故選：B．2．（2020秋?蔡甸區(qū)期末）將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC﹣∠CEA＝15°；④∠COB+∠AOD＝180°．A．0 B．1 C．2 D．3【完整解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，即∠AOC＝∠BOD，故②正確；∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正確；如圖，AB與OC交于點(diǎn)P，∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正確；沒有條件能證明OE平分∠AOD，故①錯(cuò)誤．故選：D．3．（2020秋?臨河區(qū)期末）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，BN，CM為高，連接MN，下列結(jié)論：①BN＝CM；②當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，MN∥BC；③BN＝2AN；④AN：AB＝AM：AC；其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【完整解答】解：∵BN，CM為高，∴∠BNA＝∠CMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝∠ACM＝30°，∴AB＝2AN，AC＝2AM，由勾股定理得：BN＝＝＝AN，同理CM＝AM，因?yàn)橐阎獥l件不能推出AM＝AN，故BN和CM不一定相等，故①錯(cuò)誤；∵∠BAC＝60°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形），∴AB＝AC＝BC，∵BN，CM為高，∴AM＝BM，CN＝AN，∴MN為△ABC的中位線，∴MN∥BC，故②正確；∵AB＝2AN，AB＞BN，∴BN＝2AN錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤；設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，∵∠BAC＝∠BAC，∠ABN＝∠ACM＝30°，∴AB＝2y，BN＝y(tǒng)，AC＝2x，CM＝x，∴AN：AB＝y(tǒng)：2y＝1：2，AM：AC＝x：2x＝1：2，即AN：AB＝AM：AC，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是2，故選：B．4．（2020春?南崗區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°【完整解答】解：如圖，取CF的中點(diǎn)T，連接DT，AT．∵∠BAC＝90°，F(xiàn)D⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故選：C．5．（2020秋?夏津縣期末）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在OA邊上，OP＝8cm，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，則OM為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【完整解答】解：過P作PD⊥OB于D，∵PM＝PN，MN＝2cm，∴MD＝ND＝1（cm），∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∵∠POB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP，∵OP＝8cm，∴OD＝4（cm），∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），故選：B．6．（2020秋?河北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正確；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，③正確．故選：C．7．（2021春?懷化期末）如圖，CD是△ABC的邊AB上的中線，且CD＝AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．△ADC與△BCD的面積相等【完整解答】解：∵CD是△ABC的邊AB上的中線，且CD＝AB，∴AD＝BD＝CD，故選項(xiàng)A正確，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠ACB＝90°，故選項(xiàng)C正確；∵AD＝BD，∴△ADC與△BCD是等底同高的兩個(gè)三角形，∴△ADC與△BCD的面積相等，故選項(xiàng)D正確；無法判斷∠A的度數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選：B．8．（2021?河南二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD的長為半徑在△ABC外畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F．若AB＝6，AC＝8，則DF的長為（）A． B．4 C． D．5【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，∴四邊形ADCE是菱形，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∴AH＝．∵△AHD≌△DFC，∵AD⊥DF，∴∠ADH+∠FDC＝90°，∵AH⊥BD，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠FDC＝∠DAH，∵∠AHD＝∠DFC＝90°，∵AD＝DF，∴△AHD≌△DFC，∴DF＝AH＝．故選：C．二．填空題9．（2020?深圳模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠DCB，AE＝3，BC＝4，則DE＝．【完整解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE，即∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AE＝3，∴AC＝3，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵S△ABC＝，∴CD＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∵AE＝3，∴DE＝AE﹣AD＝3﹣＝，故答案為：．10．（2020?綿陽）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為3﹣2．【完整解答】解：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當(dāng)O，M，E共線時(shí)，ME的值最小，最小值為3﹣2．11．（2020秋?梅列區(qū)校級期中）如圖，△ACD中，點(diǎn)B在邊CD上，BC＝BA，∠C＝2∠BAD，DE垂直于AB的延長線于點(diǎn)E，AE＝16，CD＝22，則邊AD的長為8．【完整解答】解：過D點(diǎn)作DF∥AC交AE延長線于F，在AB上取點(diǎn)G，使得AG＝DG，連接DG，∵DF∥AC，∴∠F＝∠CAB，∠BDF＝∠C，∵BC＝BA，∴∠C＝∠BAC，∴∠F＝∠BDF，∴BF＝BD，∴AF＝CD＝22，∵AE＝16，∴EF＝6，∵AG＝DG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠DGF＝2∠DAB，∵∠C＝2∠BAD，∴∠DGE＝∠C＝∠F，∴DG＝DF，∴GE＝EF＝6，∴AG＝DG＝10，∴DE＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝，故答案為8．12．（2021春?沂源縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為．【完整解答】解：過B點(diǎn)作BD⊥AC，交CA的延長線于點(diǎn)D，，∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠C＝∠ABC＝15°，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC＝8，∴BD＝AB＝4，∴AD＝，∴CD＝AC+AD＝8+，∴△ABC的面積為：．故答案為．13．（2021春?江夏區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，以AD為腰作等腰△DAE，使∠DAE＝∠BAC，連接BE、CD，若M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，MN＝1，則CD的長為2．【完整解答】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接FM，F(xiàn)N，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴FM是△BED的中位線，∴FM＝BE，F(xiàn)M∥BE，∴∠DFM＝∠EBD，同理得FN＝CD，F(xiàn)N∥CD，∴FM＝FN，∠FNB＝∠DCB，∵∠DFN＝∠DBC+∠FNB＝∠DBC+∠DCB，∴∠MFN＝∠DFM+∠DFN＝∠EBD+∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°，∴△FMN是等邊三角形，∴MN＝FN＝1，∴CD＝2．故答案為：2．14．（2021?樂山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個(gè)銳角為60°，AB＝4．若點(diǎn)P在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為2或或2．【完整解答】解：（1）當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，則BC＝AB＝2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，則PC＝BCcos30°＝2×＝；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在AB的延長線上時(shí)，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，∴P'C＝2PC＝2，（2）當(dāng)∠ABC＝30°時(shí)，如圖，∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△PAC為等邊三角形．∴PC＝AC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2．∴PC＝2．綜上，PC的長為：2或或2．故答案為2或或2．15．（2020秋?江岸區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D為BC上一動點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，若要使BF最大，則AF需要最小，∴以F為圓心，AF為半徑的圓與BC相切即可，∴FD⊥BD，∴AB＝AF+2AF＝4，∴AF＝，∴BF的最大值為4﹣＝，故答案為：．16．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD為中線，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接BF，若BF＝3，則BC的長為6．【完整解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，∴CD＝2BF＝6，∵AD＝＝DB，∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝12，∴BC＝＝＝6，故答案為：6．17．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD．分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD的長為半徑在△ABC外畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F．若AB＝12，AC＝16，則DF的長為．【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，∴四邊形ADCE是菱形，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB＝12，AC＝16，∴BC＝＝20，∴AH＝＝＝，∵四邊形ADCE是菱形，∴CD＝CE，∴S菱形ADCE＝EC?DF＝CD?AH，∴DF＝AH＝．故答案為．18．（2018?青山區(qū)模擬）如圖，在以AB為斜邊的兩個(gè)直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，則∠AEB＝120°．【完整解答】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝AB＝DF，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120°．三．解答題19．（2021春?通許縣期末）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF＝∠CFE．【完整解答】證明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．20．（2020春?崇州市期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB、CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）如圖1，若三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖2，小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30°角的頂點(diǎn)E落在AB上請你探索并說明∠AEG與∠CFG間的數(shù)量關(guān)系．【完整解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；（2）∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP，∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG，∵∠EFG＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°，∵∠FEG＝30°，∠EFG＝90°，∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝300°．21．（2017春?海陵區(qū)校級期末）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B．（1）如圖1，求證：CD⊥AB；（2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)．①如圖2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度數(shù)；②若∠B＝n°，請直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．【完整解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB；（2）①當(dāng)∠B＝34°時(shí)，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝34°，由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，∴∠BCD＝56°，由折疊知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；②當(dāng)∠B＝n°時(shí)，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．22．（2015春?興化市月考）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE．（1）求證：AD⊥BC（請用一對互逆命題進(jìn)行證明）（2）寫出你所用到的這對互逆命題．【完整解答】（1）證明：在直角△ABC中，∵∠BAC＝90°∴∠1+∠AFE＝90°∵BF平分∠ABC∴∠1＝∠2∵∠AEF＝∠AFE又∵∠3＝∠AEF∴∠3＝∠AFE∴∠2+∠3＝90°∴∠BDE＝90°∴AD⊥BC；（2）互逆命題：直角三角形的兩銳角互余；有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．23．（2021春?成都期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，E為邊AC上一點(diǎn)，連接DE，EC＝ED，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．（1）判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度數(shù)．【完整解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝60°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．24．（2021春?碑林區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，過點(diǎn)作AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥AC，DF交∠CAD的平分線于點(diǎn)F，求AF長．【完整解答】解：過D作DE⊥AF，垂足為E，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠CAD＝60°，AD＝3，∵AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∵DE⊥AF，∴∠ADE＝90°，∴DE＝AD＝，∴AE＝，∵DF∥AC，∴∠F＝∠CAF，∴∠F＝∠DAF，∴AD＝FD，∴AF＝2AE＝．25．（2021春?江夏區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AB、AC、CB為底作頂角為120°的等腰三角形，頂角頂點(diǎn)分別為D、E、F（點(diǎn)E、F在AB的同側(cè)，點(diǎn)D在另一側(cè)），AB＝12．（1）如圖1，AD＝4；（2）如圖2，①求證：△DEF為等邊三角形；②連接CD，若∠ADC＝90°，請直接寫出EF的長．【完整解答】解：（1）過D作DG⊥AB于G，∵AD＝BD，∠ADB＝120°，∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6，∴AD＝2GD，∵AD2＝GD2+AG2，∴4CD2＝GD2+62，∴GD＝2，∴AD＝4，故答案為：4；（2）①延長FC交AD于H，連接HE，如圖2，∵CF＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∵∠CFB＝120°，∴∠FCB＝∠FBC＝30°，同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，∴AD∥EC∥BF，同理AE∥CF∥BD，∴四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形，∴EC＝AH，BF＝HD，∵AE＝EC，∴AE＝AH，∵∠HAE＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，∴∠DHE＝120°，∴∠DHE＝∠FCE．∵DH＝BF＝FC，∴△DHE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴∠DEF＝∠CEH＝60°，∴△DEF是等邊三角形；②如圖3，過E作EM⊥AB于M，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠DBC＝30°，∴CD＝BC＝AC，∵AB＝12，∵AC＝8，BC＝CD＝4，∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°+60°＝90°，∵AE＝CE，∴CM＝AC＝4，∵∠ACE＝30°，∴CE＝，Rt△DEC中，DE＝＝＝，由①知：△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE＝，故答案為：．26．（2020秋?上海期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）【完整解答】證明：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等邊對等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中點(diǎn)（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半），∴AC＝DF（等量代換）．27．（2021春?亳州期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．（1）求證：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E兩點(diǎn)間的距離．【完整解答】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）解：連接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝3．即C，E兩點(diǎn)間的距離是3．28．（2021春?白云區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD