2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古烏海市中考數(shù)學(xué)測(cè)試模擬試題（一模）含答案

第頁(yè)碼20頁(yè)/總NUMPAGES總頁(yè)數(shù)20頁(yè)2021-2022學(xué)年烏海市中考數(shù)學(xué)測(cè)試模擬試題（一模）一、選一選（每小題3分，共36分）1.若3（a+1）的值與1互為倒數(shù)，則a的值為（）A.﹣ B.﹣ C.0 D.【答案】A【解析】【詳解】解：由題意得：3（a+1）=1，解得：a=﹣．故選A．2.下列運(yùn)算正確的是（）A.（a+b）2=a2+b2 B.（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2C.a4?a2=a8 D.（﹣2x）3=﹣6x3【答案】B【解析】【詳解】解：A．（a+b）2=a2+2ab+b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2，故本選項(xiàng)正確；C．a(chǎn)4?a2=a4+2=a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．（﹣2x）3=（﹣2）3x3=﹣8x3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．3.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.x≠1 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0且x≠1【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)分式及二次根式有意義的條件：二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母沒(méi)有為0的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須，據(jù)此列出關(guān)于x的沒(méi)有等式組，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得x≥0且x≠1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．4.某市測(cè)一周PM2.5的月均值（單位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40【答案】A【解析】【詳解】試題分析：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：37、40、40、50、50、50、75，數(shù)據(jù)50出現(xiàn)了三次至多，所以50為眾數(shù)；50處在第4位是中位數(shù)．故選A．考點(diǎn)：中位數(shù)；眾數(shù)．5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=，那么BC的值為（）A.2 B.4 C. D.6【答案】A【解析】【詳解】解：∵sinA=，∴∠A=30°，∴tan30°==，∴BC=2．故選A．6.從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的有4種情況，∴其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)2倍的概率是：=．故選A．7.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范圍是且．故選：D．8.圓錐的底面直徑是80cm，母線長(zhǎng)90cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）A.320° B.40° C.160° D.80°【答案】C【解析】【詳解】解：∵圓錐的底面直徑是80cm，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為：πd=80π，∵母線長(zhǎng)90cm，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的面積為：lr=×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故選C．點(diǎn)睛：本題考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，解答此類題目的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形與圓錐的關(guān)系．9.化簡(jiǎn)，其結(jié)果A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，各分子分母因式分解后，約分即可得到結(jié)果：．故選A．10.有下列命題：①若x2＝x，則x＝1；②若a2＝b2，則a＝b；③線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；④相等的弧所對(duì)的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【詳解】解：若x2=x，則x=1或x=0，所以①錯(cuò)誤；若a2=b2，則a=±b，所以②錯(cuò)誤；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，所以③正確；相等弧所對(duì)的圓周角相等，所以④正確．四個(gè)命題的逆命題都是真命題．故選B．點(diǎn)睛：本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論；命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．11.已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5，0），OB=4，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（1，） C.（，） D.（，）【答案】D【解析】【詳解】解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此時(shí)PC+PD最短．在RT△AOG中，AG===，∴AC=．∵OA?BK=?AC?OB，∴BK=4，AK==3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4），∴直線OB解析式為，直線AD解析式為，由，解得：，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，）．故選D．12.拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(﹣1，3)，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(﹣3，0)和(﹣2，0)之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()①若點(diǎn)P(﹣3，m)，Q(3，n)在拋物線上，則m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】通過(guò)比較點(diǎn)和到直線的距離大小可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用對(duì)稱軸方程得到，再利用時(shí)，可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，則利用當(dāng)時(shí)，可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，而點(diǎn)比到直線的距離小，；所以①錯(cuò)誤；，，時(shí)，，，，即，所以②正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，當(dāng)時(shí)，，即，所以③正確；拋物線的頂點(diǎn)為，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開(kāi)口方向和大小．當(dāng)時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即，對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即，對(duì)稱軸在軸右；常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)位置：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△時(shí)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)；△時(shí)，拋物線與軸有1個(gè)交點(diǎn)；△時(shí)，拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)．二、填空題（每小題3分，共24分）13.某種計(jì)算機(jī)完成基本運(yùn)算的時(shí)間約為0.000000001s，把0.000000001用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)____．【答案】1×10﹣9．【解析】【詳解】解：0.000000001=1×10﹣9．故答案為1×10﹣9．14.若x=3﹣，則代數(shù)式x2﹣6x+9的值為_(kāi)____．【答案】2.【解析】【詳解】根據(jù)完全平方公式可得x2﹣6x+9=（x﹣3）2，當(dāng)x=3﹣時(shí)，原式=（3﹣﹣3）2=2.15.計(jì)算：2cos45°﹣（π+1）0+=______．【答案】．【解析】【詳解】解：原式==．故答案為．16.如圖，□ABCD的周長(zhǎng)為20cm，AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AC交AD于E，則△CDE的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm.【答案】10【解析】【分析】先由平行四邊形的性質(zhì)和周長(zhǎng)求出AD+DC=10，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，即可得出△CDE的周長(zhǎng)=AD+DC．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，∵ABCD的周長(zhǎng)為20cm，∴AD+DC=10cm，又∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周長(zhǎng)=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；故答案是：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形周長(zhǎng)的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17.如圖，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD＝OB，DC切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，弦CF交AB于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為2，則CF＝________．【答案】【解析】【詳解】試題解析：連接OC，∵DC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCD=90°，∵BD=OB，∴OB=OD，∵OC=OB，∴OC=OB，∴∠D=30°，∴∠COD=60°，∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴CF⊥OB，CE=EF，∴CE=OC?sin60°=2×=，∴CF=2．考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．含30度角的直角三角形；3．垂徑定理．18.已知雙曲線Rt△OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，若S△OAC=3，則k=______．【答案】﹣2．【解析】【詳解】解：設(shè)D（m，）．∵雙曲線Rt△OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，∴A（2m，）．∵S△OAC=3，∴?（﹣2m）?+k=3，∴k=﹣2．故答案為﹣2．點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．19.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD上一點(diǎn)，分別以EA，EB為折痕將兩個(gè)角（∠D，∠C）向內(nèi)折疊，點(diǎn)C，D恰好落在AB邊的點(diǎn)F處．若AD=2，BC=3，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】．【解析】【詳解】試題分析：先根據(jù)折疊的性質(zhì)得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，則DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，則可判斷四邊形ADCH為矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理計(jì)算出AH=2，所以EF=．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）．.20.菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F點(diǎn)，下列結(jié)論：（1）BF為∠ABE的角平分線；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF?DB；（4）sin∠BAE=．其中正確的結(jié)論為_(kāi)__（填序號(hào)）【答案】（1）（3）（4）【解析】【詳解】試題分析：（1）正確．根據(jù)菱形性質(zhì)即可判定．（2）錯(cuò)誤．假設(shè)成立推出矛盾即可．（3）正確．由△ADO∽△FDA，得，AD2=DO?DF，兩邊乘2即可得到證明（4）正確．由AD∥BC，得==，又sin∠BAE=，由此即可證明．故答案為（1）（3）（4）．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．三、解答題（共6小題，滿分60分）21.今年10月，某公司隨機(jī)抽取所屬的a家連鎖店進(jìn)行評(píng)估，將各連鎖店按照評(píng)估成績(jī)分成了A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，繪制了如圖尚沒(méi)有完整的統(tǒng)計(jì)圖表．根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）求a的值；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求B等級(jí)所在扇形的圓心角的大??；（結(jié)果用度、分、秒表示）（3）從評(píng)估成績(jī)沒(méi)有少于80分的連鎖店中任選2家介紹營(yíng)銷，求其中至少有一家是A等級(jí)的概率．【答案】（1）2；（2）28°48′；（3）．【解析】【詳解】試題分析：（1）利用扇形統(tǒng)計(jì)圖得到C等級(jí)所占的百分比，再用C等級(jí)的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后用樣本容量分別減去A、C、D等級(jí)的頻數(shù)即可得到a的值；（2）用B等級(jí)所占的百分比乘以360°可得到B等級(jí)所在扇形的圓心角的大??；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出至少有一家是A等級(jí)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．試題解析：解：（1）15÷60%=25，所以a=25﹣2﹣15﹣6=2；（2）B等級(jí)所在扇形的圓心角=×360°=28°48′；（3）評(píng)估成績(jī)沒(méi)有少于80分的連鎖店中A等級(jí)有2家，B等級(jí)有2家，畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中至少有一家是A等級(jí)的結(jié)果數(shù)為10，所以其中至少有一家是A等級(jí)的概率==．22.某市在新農(nóng)村改造工程中需要修建一段東西方向全長(zhǎng)1000米的道路（記作AB）．已知C點(diǎn)周圍350米范圍內(nèi)有一電力設(shè)施區(qū)域．在A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上，在B處測(cè)得C在B的北偏西45°方向上．（≈1.732，≈1.414）（1）道路AB是否穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域？為什么？（2）在施工250米后，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，加快了施工進(jìn)度，實(shí)際工作效率變成了原計(jì)劃工作效率的1.5倍，結(jié)果提前5天完成了修路任務(wù)，則原計(jì)劃每天修路多少米？【答案】（1）沒(méi)有穿過(guò)；（2）50．【解析】【詳解】試題分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD=x米，然后利用三角函數(shù)，即可表示出AD與BD的長(zhǎng)，繼而可得方程x+x=1000，求得CD的長(zhǎng)，與350米比較，即可得道路AB沒(méi)有穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域；（2）首先設(shè)原計(jì)劃每天修路y米，根據(jù)題意即可得分式方程，解分式方程即可求得答案．試題解析：解：（1）道路AB沒(méi)有穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD=x米．由題意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣45°=45°．在Rt△ACD中，AD==（米）．在Rt△BCD中，BD=CD=x（米）．∵AB=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500﹣500≈366．∵366米＞350米，∴道路AB沒(méi)有穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域；（2）設(shè)原計(jì)劃每天修路y米，依題意得：解得：y=50，經(jīng)檢驗(yàn)，y=50是原分式方程的解．答：原計(jì)劃每天修路50米．點(diǎn)睛：本題考查了方向角問(wèn)題與分式方程的應(yīng)用．注意構(gòu)造直角三角形并利用解直角三角形的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．23.我市某電器商場(chǎng)根據(jù)民眾健康需要，代理某種家用空氣凈化器，其進(jìn)價(jià)是200元/臺(tái)．市場(chǎng)后發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)月內(nèi)，當(dāng)售價(jià)是400元/臺(tái)時(shí)，可售出200臺(tái)，且售價(jià)每降低10元，就可多售出50臺(tái)．若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)沒(méi)有能低于300元/臺(tái)，代理商每月要完成沒(méi)有低于450臺(tái)的任務(wù)．（1）試確定月量y（臺(tái)）與售價(jià)x（元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出售價(jià)x的范圍；（3）商場(chǎng)每月這種空氣凈化器所獲得的利潤(rùn)為w（元），寫出w關(guān)于x的關(guān)系？當(dāng)售價(jià)x（元/臺(tái)）定為多少時(shí)利潤(rùn)，是多少？【答案】（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）W=﹣5（x﹣320）2+72000，當(dāng)售價(jià)定為320元/臺(tái)時(shí)，商場(chǎng)每月這種空氣凈化器所獲得的利潤(rùn)w，利潤(rùn)是72000元．【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題中條件價(jià)每降低10元，月量就可多售出50臺(tái)，即可列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)沒(méi)有能低于300元/臺(tái)，代理商每月要完成沒(méi)有低于450臺(tái)的即可求出x的取值．（3）用x表示y，然后再用x來(lái)表示出w，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，即可求出w；試題解析：解：（1）根據(jù)題中條件價(jià)每降低10元，月量就可多售出50臺(tái)，則月量y（臺(tái)）與售價(jià)x（元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式：y=200+50×，化簡(jiǎn)得：y=﹣5x+2200；∴y與x之間函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣5x+2200；（2）供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)沒(méi)有能低于300元/臺(tái)，代理商每月要完成沒(méi)有低于450臺(tái)，根據(jù)題意得：，解得：300≤x≤350，∴售價(jià)x的范圍為：300≤x≤350；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350內(nèi)，∴當(dāng)x=320時(shí)，值為72000，即售價(jià)定為320元/臺(tái)時(shí)，商場(chǎng)每月這種空氣凈化器所獲得的利潤(rùn)w，利潤(rùn)是72000元．點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，還應(yīng)用到將函數(shù)變形求函數(shù)最值的知識(shí)．24.如圖，OA，OD是⊙O半徑．過(guò)A作⊙O的切線，交∠AOD的平分線于點(diǎn)C，連接CD，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B．(1)求證：直線CD是⊙O的切線；(2)如果D點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3cm，求的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留π)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)度為π.【解析】【詳解】（1）證明：∵AC是⊙O切線，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵CO平分∠AOD，∴∠AOC=∠COD，在△AOC和△DOC中，∴△AOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD⊥CD，∴直線CD是⊙O的切線．（2）∵OD⊥BC，DC=DB，∴OC=OB，∴∠OCD=∠B=∠ACO，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，∴的長(zhǎng)度=π．25.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若沒(méi)有成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）BD=CF成立．理由見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；

（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；

②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線段BG的長(zhǎng)．【詳解】解（1）BD=CF成立．

理由：∵△ABC等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．

∴BD=CF．（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．

∵△BAD≌△CAF（已證），

∴∠ABM=∠GCM．

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG．

∴∠BGC=∠BAC=90°．

∴BD⊥CF．②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∵在等腰直角△ABC

中，AB=4，

∴CN=AC-AN=3，∴在Rt△ABM中，∴在Rt△ABM中，∵△BMA∽△CMG，∴在Rt△BGC中，【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．26.已知拋物線y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式；（2）當(dāng)原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求k的值及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是否存在實(shí)數(shù)k使得△ABC的面積為？若存在，求出k的值；若沒(méi)有存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2